摘要：对求解极限时需要注意的问题进行了归纳，并通过案例对问题作出了具体分析。 关键词：极限概念；求解；案例分析 中图分类号：G4文献标识码：A文章编号：1672-3198（2012）06-0139-02
极限概念是微积分的灵魂，研究微积分问题离不开极限的计算，而对于初学者来说，极限的计算方法纷繁复杂，不易掌握，现就教学实践中发现的常见问题作出总结，对求极限问题进行几点注解，并通过案例，对比错误和正确的求解方法，使初学者能够对极限概念有更深刻的理解，对极限计算熟练掌握。
1 极限是函数某一过程中函数值的整体变化趋势，与其在局部一点的函数值无关
对于函数y=f（x）来说，当x→x0时，极限指的是在x无限接近点x0点的过程中，函数y相应取值的变化趋势,如有固定变化趋势并与某一确定值A无限接近，A就是所求的极限值，而这个数值与函数y在x0点是否有定义或定义值是多少没有任何关系。
例1 设函数f（x）=x+2，x≠2
3，x=2，求limx→2f（x）
解：limx→2f（x）=limx→2（x+2）=4。
常见的错解是：limx→2f（x）=limx→23=3。究其错误原因，是将x→2时函数的极限值与函数在x=2处的函数值相混淆，对极限的概念没有真正理解。
2 函数极限与自变量的变化过程有关，并且自变量的变化过程是多个方向同时进行的
函数的变化是依赖于自变量的变化的，因此极限计算要注意自变量的变化过程。即使是同一个函数，在不同的自变量变化过程中极限值也往往不一样。而自变量的变化过程又有多个方向，如一元函数会有两个方向，二元函数的方向和变化路径就有无数多个了，求极限时一定要注意这些方向和路径是同时进行，不能只顾其一。
例2 计算极限值（1）limx→1 sin xx
（2）limx→∞sin xx
解：（1）由第一个重要极限公式可知limx→1sin xx=1；
（2）当x→∞时，1x→0；?x∈R，都有|sin x|≤1，
因此由“无穷小乘以有界变量仍然是无穷小”的性质，可知limx→∞sin xx=0。
常见的错解是：（1）limx→1sin xx=1，（2）limx→∞sin xx=1。很明显，此解错在于只注意到两个小题中的函数是相同的，却没有关心自变量的变化过程，这其实还是对极限概念理解不透彻。要注意函数本身就是因变量和自变量的一种依存关系，极限计算一定要用动态的思维方式处理问题，函数本身及自变量的变化过程都要强调。
例3 计算极限limx→0e1x
解：∵limx→0+1x=+∞，∴limx→0+e1x=+∞；∵limx→0-1x =-∞，∴limx→0-e1x=0，
显然limx→0+e1x≠limx→0-e1x，因此limx→0e1x不存在。
常见的错解是：limx→0e1x=0或 limx→0e1x=∞。错误原因实际上就是只考虑了单方向的变化趋势，忽略了x→0是从大于0和小于0两个方向同时进行的，而在这两个方向的变化过程中，函数的变化趋势是不一样的，因此所求极限不存在。
3 运用极限的四则运算法则时首先要确保极限是存在的
极限的四则运算很简单，函数的和、差、积、商的极限等于极限的和、差、积、商，但是法则的使用前提必须是各函数的极限存在，并且进行商运算时还要保证分母的极限不能为0，如不满足条件就不能直接使用法则，需将函数做适当变形或另寻其法。
例4 计算极限limx→0sin x ?cos1x
解：∵limx→0sin x=0，|cos1x|≤1，因此，由“无穷小乘以有界变量仍然是无穷小”的性质，可知limx→0 sin x?cos1x=0。
常见的错解是：limx→0 sin x?cos1x=limx→0sin x?limx→0cos1x=0?limx→0.=0
当x→0时，cos1x的极限根本不存在，符号limx→0cos1x没有意义，不符合极限四则运算法则的条件，不能用法则计算。
例5 计算极限limx→2x22-x
解：先计算limx→22-xx2的极限，limx→22-xx2=limx→2（2-x）limx→2x2 =04=0，
由无穷大和无穷小的倒数关系可知，原极限式limx→2 x22-x=∞。
常见的错解是：limx→2x22-x=limx→2x2limx→2（2-x）=40=∞。分母极限为0，不能直接用法则，这样的做题步骤也没有意义.
4 用等价无穷小替换进行计算时要注意分子、分母替换的整体性
在学习等价无穷小概念时常常总结出x→0 时一些常见等价无穷小关系，并通过这些等价关系，利用等价无穷小替换定理简化极限的计算。此法在使用时，一定要注意是分子及分母整体分别用其对应的无穷小进行替换，而不是仅仅对分子或分母中个别元素替换。因此，在用无穷小替换时要注意定理只对乘除适用，对代数和必须将其化为乘除后再选择合适的等价无穷小量做相应代换，以保证替换时分子、分母的整体性。
例6 计算极限limx→0tan x -sin xx3
解：当x→0时，tan x、sin x都为无穷小量，并且tan x ～sin x～x，由等价无穷小替换定理得limx→0tan x -sin x x3 =limx→0sin x（1-cos x）x3cos x=limx→0x?12x2x3 cos x=limx→012 cosx=12。
常见的错解是：limx→0tan x-sin xx3=limx→0x-xx3=0。分子为两个无穷小量的差，分别用其等价无穷小x进行替换，此时分子被替换为0，和原来的分子tan x-sin x并没有等价关系，事实上0应该是较tan x-sin x的高阶无穷小，这不符合等价无穷小替换定理的内容.此时将分子变形为乘除的形式sin x（1-cosx）cosx，每个因子再用相应等价无穷小替换，保证了替换后整个分子和原来分子是等价的。
例7 计算极限limx→πsin 3xtan 5x
解：这是00型未定式，用罗比达法则可得limx→πsin 3xtan 5x=limx→π3 cos 3x5 sec2 5x=-35。
常见的错解是：由常见等价无穷小sin 3x～3x，tan 5x～5x，进行替换得limx→πsin 3xtan 5x=limx→π3x5x=35。实际上，当 x→π时，3x、5x根本不是无穷小量，给出的等价关系不正确。在用等价无穷小替换定理计算极限时，替换后的量一定也是无穷小，不能单纯套用常见等价无穷小结论的形式而篡改定理的实质。
这一部分的题目结合罗比达法则解法非常灵活，初学者容易出错，学习时一定不能“形而上学”，要充分理解等价无穷小的概念，并多加练习才能有效掌握。
5 罗比达法则使用时要验证条件
罗比达法则只是针对00 或∞∞ 这两种类型的未定式可直接使用，使用前必须对此条件进行验证. 在法则使用时还需验证条件“分子、分母导数比值的极限存在或为无穷大”，如果在具体解题过程中不满足此条件应立即停止换用它法。
例8 计算极限limx→0x2 sin 1xsin x
解：limx→0x2sin1xsin x=limx→0x2sin x ?sin 1x，limx→0x2sin x=limx→0x2x=0,|sin1x|≤1，由“无穷小乘以有界变量仍然是无穷小”的性质，可知limx→0 x2sin1xsin x=0。
常见的错解是：这是一个00型未定式，由罗比达法则可知
limx→0x2sin1xsin x=limx→0 x2sin 1x′（sin x）′=limx→02xsin 1x-cos1xcos x=Λ，
到此为止注意到limx→02sin1x=0，而limx→0cos1x极限不存在，因此使用罗比达法则失败。
6 利用导数定义求极限时应正确运用定义的极限形式
函数在一点处导数的定义为f′（x0）=limΔx→0ΔyΔx，是指y在已知点x0而非其他点处的变化率。因此定义中的Δx一定是从 x0点开始的自变量的改变量，Δy作为因变量改变量必须与Δx相对应，即Δy=f（x0+Δx）-f（x0）。
例9 设f′（x0）存在，按照导数定义求极限：limΔx→0f（x0+Δx）-f（x0-Δx）Δx
解：limΔx→0 f（x0+Δx）-f（x0-Δx）Δxlimh→0
f（x0+Δx）-f（x0）Δx-f（x0-Δx）-f（x0）Δx
=limΔx→0f（x0+Δx）-f（x0）Δx-limΔx→0f（x0-Δx）-f（x0）Δx
=f′（x0）-=［-f′（x0）］=2f′（x0）
常见的错解是：
limΔx→0f（x0+Δx）-f（x0-Δx）Δx=2limΔx→0f（x0+Δx）-f（x0-Δx）2Δx=2f′（x0）。
虽然错解的最终答案和正确答案一样，但是在做题过程中却错误使用了f′（x0）的定义。错解求解极限时将f（x0+Δx）-f（x0-Δx）作为导数定义中的Δy，显然这并不是x从x0点开始变化时对应的y的改变量。
求解极限问题是学习微积分的基础，其题目灵活多样不易掌握，在学习时首先要充分理解相应概念的实质涵义，然后多练习、多归纳总结，才能达到做到熟练掌握，达到较好的学习效果。
参考文献
［1］侯风波.应用数学（理工类）［M］.北京：科学出版社，2007.
［2］同济大学数学系.高等数学［M］.第6版.北京:高等教育出版社，2007.