篇一：南充高中2013年省内外自主招生考试数学试题[1]
lass="txt">数 学 试 题（考试时间：120分钟试卷总分：150分）
第Ⅰ卷（选择.填空题）
一、选择题（每小题5分，共计50分.下列各题只有一个正确的选项，请将正确选项的番号填入答题卷的相应位置）
43x
的实根个数为 ?
xx
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
122
2.已知3m?2m?5?0,5n?2n?3?0，其中为m,n实数，则m?=
n
1.方程x?
A. 0 B. 8C. 5D. 0或8
3333.设x?0,y?0,2x?y?6，则u?4x2?3xy?y2?6x?3y的最大值为 A. 13.5 B. 18 C. 20D.不存在
4. 已知?ABC的三边长分别为a,b,c
且a?b?4,ab?1,c??ABC的形状为 A. 锐角三角形B. 钝角三角形 C. 直角三角形D. 不能确定
5.直角三角形ABC的三个顶点A,B,C均在抛物线y?x上，且斜边平行于x轴，若斜边上的高为h，则A. h?1B. h?1 C. 1?h?2 D. h?2
6.等腰梯形底角为?，以腰长为直径作圆与另一腰切于M，交较长底边AB于E，则的值为
A. 2sin?cos? B. sin? C. cos? D. cos2?
2
BE
AE
x2?bxm?1
7.若关于x的方程有绝对值相同，符号相反的两个根，则m的值应为 ?
ax?cm?1
1a?ba?b
A. cB. C.D.
ca?ba?b
8.若干人共同买一箱香烟，后来考虑到吸烟污染环境，有害健康，有15人戒烟，余下每人要多分担15元，到决定付款时，又有5人不买，最后余下的每人又多增加10元，则开始准备共同购买香烟的人数是多少
A. 40 B. 35C. 37 D. 45
9.设P是高为h的正三角形内的一点，P到三边的距离分别为x,y,z，(x?y?z)若以x,y,z为边可以组成三角形，则z应满足的条件为
3111113
A. h?z?h B. h?z?h C. h?z?h D. h?z?h
443322410.如图，AB?AC?AD,如果?DAC是?CAB的k(k?0)倍，
那么?DBC是?BDC的()倍
A. kB. 2k C. 3kD. 以上答案都不对
二、填空题（每小题5分，共计30分，请将你的答案填到答题卷的相应位置处）
D
C
1111
，再减去剩余的，再减去剩余数的 ，以此类推…….一直到减去剩余数的，
3201324
那么最后剩余数为
11312.已知函数y??x2?在0?a?x?b时有2a?y?2b，则(a,b
)2213.如图?MON两边上分别有A,C,E及B,D,F六个点，且
11.2013减去它的
S?OAB?S?ABC?S?BCD?S?CDE?S?DEF?1，则S?CDF?14.若有奖储蓄每1000张奖券中，有一等奖1张，奖金500元，二等奖张，奖金20元，纪念奖100张，奖金5元，某人买一张奖券，则他得奖不少于15.?16. 如图，已知菱形ABCD的边AB=10，对角线BD=12，BD边 上有2013个不同的点Pi(i?1,2,3.....2013) 1,P2,P3......P2013，过P作PE于Fi， ii?AB于Ei，PFii?AD
?P2012F2012?P2013E2013?P2013F2013PE11?PF11?P2E2?P2F2???P2012E2012
三、解答题：（本大题共6个小题,共70分,解答应写出必要的说明,217. (本小题10分) 设m是不小于-1的实数，使得关于x的方程x不相等的实数根x1,x2
22
22
（1）若x1?x2?6，求m的值;（2）求mx1?mx2的最大值.
1?x11?x2
2??(x?3x)(x?y)?40
18．(本小题10分)解方程组?2
??x?4x?y?14
19. (本小题12分)如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝4， tan∠ADC＝2.（1）求证：DC＝BC；
（2）E是梯形内一点，连接DE、CE，将△DCE绕 点C顺时针旋转90°，得△BCF，连接EF.判断
EF与CE的数量关系，并证明你的结论；
（3）在（2）的条件下，当CE＝2BE， ∠BEC＝135°时，求cos∠BFE的值.
D
C
F
20. (本小题12分)为加速南充森林建设，市政府决定对树苗育苗基地实行政府补贴，规定每年培植一亩树苗一次性补贴若干元，随着补贴数字的不断增大，某地苗圃每年育苗规模也不断增加，但每年每亩苗圃的收益会相应下降，经调查每年培植亩数y（亩）与政府每亩补贴数额x（元）之间有如下关系(政府
而每年每亩的收益p（元）与政府每亩补贴数额x（元）之间满足一次函数关系p=－5x+9000
(1)请观察题中的表格，用学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识求出育苗亩数y（亩）与政府每亩补贴数额x（元）之间的函数关系式；
(2)当2012年政府每亩补贴数额x（元）是多少元时，该地区苗圃收益w（元）最大，最大收益是多少元？ (3)在2012年苗圃取得最大收益的育苗情况下，该地区培植面积刚好达到最大化，要想增收，只能提高每亩收益.经市场调查，培育银杏树苗畅销，每亩的经济效益相应会更好.2013年该地区用去年育苗面积的（30－a）%的土地培育银杏树苗，其余面积继续培植一般类树苗，预计今年培育银杏类树苗每亩收益在去年培植一般类树苗每亩收益的基础上增加了（100+3a）%，由于培育银杏类树苗每亩多支出1000元，2013年该地区因培育银杏类树苗预计比去年增收399万元.请参考以下数据，通过计算，估算出a的整数值.（参考数据：?5.916,37?6.082,39?6.244）
21．(本小题l3分) 如图①，OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=5，OC=4.
（1）在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处，求D、E两点的坐标； （2）如图②，若AE上有一动点P（不与A、E重合）自A点沿AE方向向E点匀速运动，运动的速度为每秒1个单位长度，设运动的时间为t秒(0?t?5)，过P点作ED的平行线交AD于点M，过点M作AE的平行线交DE于点N.求四边形PMNE的面积S与时间t之间的函数关系式；当t取何值时，S有最大值？最大值是多少？
（3）在（2）的条件下，当t为何值时，以A、M、E为顶点的三角形为等腰三角形，并求出相应时刻点M的坐标.
篇二：1.高考数学自主招生习题集(2014修订版)
">一. 2000年交大保送生试题1．若今天是星期二，则31998天之后是 ( )
A．星期四 B．星期三 C．星期二 D．星期一
2．用13个字母A，A，A，C，E，H，I，I，M，M，N，T，T作拼字游戏，
若字母的各种排列是随机的，恰好组成“MATHEMATICIAN”一词的概率是
( )
4821617288A． B． C． D． 13!13!13!13!
223．方程cosx?sinx+sinx＝m+1有实数解，则实数m的取值范围是
( )
11A．m? B．m >?3 C．m >?1 D．?3?m? 88
4．若一项数为偶数2m的等比数列的中间两项正好是方程x2+px+q＝0的两个根，
则此数列各项的积是
( ) mA．p B．p2m C．qm D．q2m
f(x0?h)?f(x0?h)5．设f ’(x0)＝2，则lim h?0h
( )
A．?2 B．2 C．?4 D．4
6．设f(x)
1，则?f(2x)dx? 01
?11)的最小值是__________．7．设x?(0,)，则函数(sin2x?2)(cos2x? 2sinxcos2x
8．方程3?16x?2?81x?5?36x的解x＝__________．
9．向量a?i?2j在向量b?3i?4j上的投影(a)b?
10
．函数y?2x?的单调增加区间是__________．
11．两个等差数列200，203，206，…和50，54，58…都有100项，它们共同
的项的个数是__________．
12．方程7x2?(k+13)x+k2?k?2＝0的两根分别在区间(0,1)和(1,2)内，则k的取值
范围是__________．
13．将3个相同的球放到4个盒子中，假设每个盒子能容纳的球数不限，而且
各种不同的放法的出现是等可能的，则事件“有3个盒子各放一个球”的概率是________．
314．(6分)已知正数列a1，a2，…，an，且对大于1的n有a1?a2??an?n，2
n?1a1a2an?． 2
试证：a1，a2，…，an中至少有一个小于1．
15．(10分)设3次多项式f(x)满足：f(x+2)＝?f(?x)，f(0)＝1，f(3)＝4，试求f(x)．
1p?2p??np
(p?0)． 16．(8分)求极限limn??np?1
?x2?bx?c,x?017．(10分)设f(x)??在x＝0处可导，且原点到f(x)中直线的距x?0?lx?m,
1离为，原点到f(x)中曲线部分的最短距离为3，试求b，c，l，m的值．(b,c>0) 3
?18．(8分)
证明不等式：1??2，x?[0,]． 2
19．(8分)两名射手轮流向同一目标射击，射手甲和射手乙命中目标的概率都是
1．若射手甲先射，谁先命中目标谁就获胜，试求甲、乙两射手获胜的概率． 2
120．(11分)如图所示，设曲线y?上的x
点与x轴上的点顺次构成等腰直角三
角形△OB1A1，△A1B2A2，…，直角顶1点在曲线y?上．试求An的坐标表x
达式，并说明这些三角形的面积之和
是否存在．
二. 2000年复旦保送生试题
1．将自然数按顺序分组：第一组含一个数，第二组含二个数，第三组含三个数，……，第n组含n个数，即1；2，
3；4，5，6；……．令an为第n组数之和，则an＝________________．
??2．sin2??sin2(??)?sin2(??)＝_． 33
3． lim[(n?2)log2(n?2)?2(n?1)log2(n?1)?nlog2n]＝________________． n??34
4．已知平行六面体的底面是一个菱形且其锐角等于60度，又过此锐角的侧棱
与锐角两边成等角，和底面成60度角，则两对角面面积之比为
__________________．
5．正实数x,y满足关系式x2?xy?4＝0，又若x≤1，则y的最小值为__________．
6．一列火车长500米以匀速在直线轨道上前进，当车尾经过某站台时，有人驾
驶摩托车从站台追赶火车给火车司机送上急件，然后原速返回，返回中与车尾相遇时，此人发现这时正在离站台1000米处，假设摩托车车速不变，则摩托车从出发到站台共行驶了______________米．
7．数列{an}适合递推式an+1＝3an+4，又a1＝1，求数列前n项和Sn．
8．求证：从椭圆焦点出发的光线经光洁的椭圆壁反射后必经过另一个焦点．你
还知道其它圆锥曲线的光学性质吗？请叙述但不必证明．
19．正六棱锥的高等于h
，相邻侧面的二面角等于2arcsin， 2
?1求该棱锥的体积．
(cos?) 124
10．设z1,z2,z3,z4是复平面上单位圆上的四点，若z1+z2+z3+z4=0．
求证：这四个点组成一个矩形．
11
．设(1n?xn?y，其中xn,yn为整数，求n→∞时，xn的极限． yn
12．设平面上有三个点，任意二个点之间的距离不超过1．问：半径至少为多
大的圆盘才能盖住这三个点．请证明你的结论．
三.2000年交大联读班试题
1. 直线y?ax?b关于y??x的对称直线为_______________。
2. 已知a,b,c是?ABC的三边，a?1，b?c，且满足
logb?ca?logc?ba?2logb?calogc?ba，则?ABC是_______________的三角形。
3. 已知?3x?1??a8x8?a7x7?8?a1x?a0，则
a8?a6?a4?a2?a0?_______________。
1?f?x?4. 已知f?x?满足：f?x?1??，则f?x?的最小正周期是____ 1?fx5. 已知f?x?是偶函数， f?x?2?是奇函数，且f?0??1998，则
f?2000??_________周期为
6. a,b,c是?ABC的三边，且?b?c?:?a?c?:?a?b??4:5:6，则
sinA:sinB:sinC?___________(原文来自：wWW.DxF5.com 东 星资源网:数学省一与自主招生)____。
7. n是十进制的数，f?n?是n的各个数字之和，则使f?n??20成立的最小的n
是_______________。
?7?sin?sin?_______________。 8. 7cos?cos1212
9. 函数f?
x???x?R?的反函数是_______________。
n（k是不等于1的常数），则a1?a2?a3??an?________ kn
11. 从自然数1至100中任取2个相乘，其结果是3的倍数的情况有种
_______________。（取出的数不分先后） 10. 已知数列an?
f2?x0?3h??f2?x0?h?12. 己知f?x?在x0处可导，则lim?_______________。 h??h
13. 已知x,y为整数，n为非负整数，x?y?n，则整点?x,y?的个数为
_______________。
?1?14. 抛物线y?x2?x?0?上，点A坐标为??,0?，抛物线在P点的切线与y轴及?3?
直线PA夹角相等，求点P的坐标。
15. 在?an?中，a1?
4，an?an?3?
16. 已知u?y2?x2，v?2xy，
①若点?x,y?在单位圆上以?0,1?为起点按顺时针方向转一圈，求点?u,v?的轨迹； ②若点?x,y? 在直线y?ax?b上运动，而点?u,v?在过点?1,1?的直线上运动，求1an?1?3②求liman。 n??3a，b的值。
17. 若x,y
满足x2?2xy?y2?12?0，求下列函数的最小值：①x?y；
②xy；③x3?y3。
18. 若方程x3?27x?m?0有3个不同实根，求实数m的取值范围。
19. 己知函数f?x?满足f?x?y??f?x??f?y??xy?x?y?，又f'?0??1，求函数
f?x?的解析式。
20. 口袋中有4个白球，2个黄球，一次摸2个球，摸到的白球均退回口袋，保
留黄球，到第n次两个黄球都被摸出，即第n?1次时所摸出的只能是白球，则令这种情况的发生概率是Pn，求P2,P3,Pn。
四.2001年复旦基地班试题
x1. 设函数y?的反函数是它自身，则常数a?_______________。 x?a
22. 不等式??log2??x????log2x的解集是_______________。 2
3. 直线2x?7y?8?0与2x?7y?6?0间的距离是_______________。
4. 如果?3?x?的展开式的系数和是?1?y?的展开式的系数和的512倍，那么
自然数n与m的关系为_______________。
35. 椭圆??的焦距是_______________。 4?2cos?
6. 己知4x?3y?5?0，那么?x?1???y?3?的最小值为_______________。
7. 与正实轴夹角为arcsin?sin3?的直线的斜率记为k，则
arctank?_______________。（结果用数值表示）
8. 从n个人中选出m名正式代表与若干名非正式代表，其中非正式代表至少122nm
名且名额不限，则共有_______________种选法?m?n?。
9. 正方体ABCD?A1BC11D1中，BC1与截面BB1D1D所成的角为
_______________。
1?_______________。（结果用数值表示） 10. sec50?cot10
3??11. 函数g?x??cos?x?cos??x???的最小正周期是（ ） 2??
A．2?B．?C．2D．1
12. 设函数f?
x??f?1?x?，则对于?0,1?内的所有x值，一定成立
的是（ ）
A．f?x??f?1?x?B．f?x??f?1?x?C．f?x??f?1?x?D．f?x??f?1?x?
13. 813除以9所得的余数是（ ）
A．6B．?1C．8D．1
14. 抛物线y2??4?x?1?的准线方程为（ ）
A．x?1B．x?2C．x?3D．x?4
1?x?t???t15. 由参数方程?所表示的曲线是（ ）
?y?t?1
?t?
A．椭圆B．双曲线C．抛物线 D．圆
16. 己知抛物线y?x2?5x?2与y?ax2?bx?c关于点?3,2?对称，则a?b?c的
值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
17. 作坐标平移，使原坐标下的点?a,0?，在新坐标下为?0,b?，则y?f?x?在新
篇三：2015福州一中自主招生数学
p class="txt">综合素质测试数学试卷（满分100分，考试时间60分钟）
学 校 姓 名 准考证号注意：请将选择题、填空题、解答题的答案填写在答题卡上的相应位置． ．．．．．．．
一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选 项中，只有一个选项是正确的．）
1．实数a、b在数轴上的位置如下图所示，则化简a?b－a的结果为（★★★）
A．?2a?b B．?bD．b C．?2a?b
2．打开某洗衣机开关（洗衣机内无水），在洗涤衣服时，洗衣机经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续过程，其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量y（升）与时间x（分钟）之间满足某种函数关系，其函数图像大致为（★★★）
yyyy
A． B． C． D．
3．对福州市自行车协会某次野外训练的中学生的年龄进行统计，结果如下：
B．17，16 A．17，15.5 C．15，15.5 D．16，16
4．下图是一个切去了一个角的正方体纸盒，切面与棱的交点A、B、C均是棱的中点，现将纸盒剪开展成平面，则展开图不可能是（★★★）
A
A．B．C．D．
5．如下图所示，矩形纸片ABCD中，AB?2，AD?6，将其折叠，使点D与点B重合，得折痕EF，则tan?BFE的值是（★★★）
A．7 2B．1 C．2 D．3 y
AEDB2
1CB1B
B
C'CB3C23第5题图第6题图
6．如上图，在平面直角坐标系中有一边长为1的正方形OABC，边OA、OC分别在x轴、
y轴上，如果以对角线OB为边作第二个正方形OBBC11，再以对角线OB1为边作第三个正方形OB1B2C2，照此规律作下去，则点B2015的坐标为（★★★）
1008A．2,0
10091009C．2,2 ??10071007B．2,?2 ????10071007D．?
2,2 ??
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）
7．对正实数a，b作定义a?b?a，若2?x?6，则x? 8．已知一个口袋中装有7个只有颜色不同的球，其中3个白球，4个黑球，若往口袋中再放入x个白球和y个黑球，从口袋中随机取出一个白球的概率是
数关系式为★★★．
9．如图，在平面直角坐标系中，点A、B均在函数1，则y与x之间的函4
y?k?k?0，x?0?的图象上，⊙A与x轴相切， x
⊙B与y轴相切．若点A的坐标为?3，2?，且⊙A
的半径是⊙B的半径的2倍，则点B的坐标为★★★．
?x
?6?2?3x，?10．若关于x的不等式组?a?2x有且只有四个整数解，则实数a的取值范围是?x??4
★★★．
11．将一副三角板按下图1所示的位置摆放，使得两块三角板的直角边AC和MD重合．已
?知AB?AC?8，将?MED绕点A?M?逆时针旋转60后（如图2），两个三角形重
叠（阴影）部分的面积是★★★．
DEBA(M)
图1 图2
12．甲、乙、丙、丁、戊与小强六位同学参加乒乓球比赛，每两人都要比赛一场，到现在为
止，已知甲赛了5场，乙赛了4场，丙赛了3场，丁赛了2场，戊赛了1场，则小强赛了★★★场．
三、解答题（本大题共3小题，满分40分．）
13．（本小题满分13分）
如图，过圆O直径的两端点M、N各引一条切线，在圆QO上取一点P，过O、P两点的直线交两切线于R、Q．
（1）求证：△NPQ∽△PMR；
（2）如果圆OS?PMR?4S?PNQ，
求NP的长．
14．（本小题满分13分）
如图1，在平面直角坐标系中，直线y?RMN331x?与抛物线y??x2?bx?c交于A、424
B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为?8．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A、B重合）．过点P作x轴的垂．．
线，垂足为C，交直线AB于点D，作PE?AB于点E，设?PDE的周长为l，点P的横坐标为x，求l关于x的函数关系式，并求出l的最大值．
15．（本小题满分14分）
古希腊毕达哥拉斯学派的数学家常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究各种多边形数．比如：
…
136图1 10…
4图2 16，，，3610，… ，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角他们研究过图1中的1
，4，，916，… ，这样的数为正方形数（四边形数）形数；类似的，称图2中的1．
（1）请你写出既是三角形数又是正方形数且大于1的最小正整数为；
（2）试证明，当k为正整数时，k(k?1)(k?2)(k?3)?1必为正方形数；
（3）记第n个k边形数为N?n,k??k?3?，例如N?1,3??1，N?2,3??3，N?2,4??4．
（ⅰ）试直接写出N?n,3?，N?n,4?的表达式；
（ⅱ）通过进一步的研究发现N?n,5??321n?n，N?n,6??2n2?n，… ，请你22
推测N?n,k??k?3?的表达式，并由此计算N?10,24?的值．