篇一：清华自招数学试题
2006清华大学自主招生数学试题 考试时间：2005.11.28
1．求最小正整数n，使得I?(?
12
123
i)n为纯虚数，并求出I．
2．已知a、b为非负数，M?a4?b4,a?b?1，求M的最值．
sin?、cos?为等差数列，sin?、3．已知sin?、sin?、cos?为等比数列，求cos2??
4．求由正整数组成的集合S，使S中的元素之和等于元素之积．
5．随机取多少个整数，才能有0.9以上的概率使得这些数中至少有一个偶数． 6．
1
cos2?的值． 2
y?x2上一点P(非原点)，在P处引切线交x、y轴于Q、R，求
PQPR
．
7．已知f(x)满足：对实数a、b有f(a?b)?af(b)?bf(a)，且f(x)?1，求证:f(x)恒为零． (可用以下结论：若limg(x)?0,f(x)?M，M为一常数，那么lim(f(x)?g(x))?0)
x??
x??
8. 在所有定周长的空间四边形ABCD中，求对角线AC和BD的最大值，并证明。
2007
届清华大学保送生暨自主招生北京冬令营
数学笔试试题（2006年12月30日）
ex
1.求f(x)?的单调区间及极值.
x
2.设正三角形T1边长为a，Tn?1是Tn的中点三角形，An为Tn除去Tn?1后剩下三个三角形内切圆面积之和.求
lim?Ak.
n??
k?1
n
3.已知某音响设备由五个部件组成，A电视机，B影碟机，C线路，D左声道和E右声道，其中每个部件工作的概率如下图所示.能听到声音，当且仅当A与B中有一工作，C工作，D与E中有一工作；且若D和E同时工作则有立体声效果.
求：（1）
（2）听不到声音的概率. 4.(1)求三直线x?y?60，y?
能听到立体声效果的概率；
1
x，y?0所围成三角形上的整点个数； 2
?y?2x?1?
(2)求方程组?y?x的整数解个数.
2???x?y?60
5.已知A(?1,?1)，△ABC是正三角形，且B、C在双曲线xy?1(x?0)一支上. (1)求证B、C关于直线y?x对称； (2)求△ABC的周长.
22
?r?0{P?RPP0?r}?M.判断集合6.对于集合M?R，称M为开集，当且仅当?P，，使得?M0
{(x,y)4x?2y?5?0}与{(x,y)x?0,y?0}是否为开集，并证明你的结论.
2008届清华大学保送生暨自主招生北京冬令营
数学笔试试题
1. 已知a,b,c
2. （1）一个四面体，证明：至少存在一个顶点，从其出发的三条棱组成一个三角形； （2）四面体一个顶点处的三个角分别是
??
23,
,arctan2，求
?
的面和arctan2的面所成的二面角； 3
3. 求正整数区间?m,n?(m?n)中，不能被3整除的整数之和； 4.
已知sin??cos???的取值范围； 5. 若limf(x)?f(0)?1,f(2x)?f(x)?x，求f(x)；
x?0
2
6. 证明：以原点为中心的面积大于4的矩形中，至少还有两个格点。
2008年清华大学自主招生数学试题
1.
?sin??cos?，求?的取值范围
2.已知单位圆上三点(a,b),(c,d),(x,y),求(ax?by?c)2?(bx?ay?d)2?(cx?dy?a)2?(dx?cy?b)2 3. 已知a,b,c
4. f(x)?(x?4ax?3?4a)(x??x??)(x??x??)与x轴至少有一个交点，求a的取值范围
2
2
2
k?1k352n?1
??（k为正数） （2
?.....kk?1242n?2
N
6. 整数m,n(m?n)，求?m,n?间可表示为（N为不含因子3的整数）的数之和
3
7. 抽奇偶数n次，求使之以?为概率（0???1）既抽到奇数又抽到偶数， n至少为多少？
5. 求证：（1）
8. 曲线 C:y??x2?5x?1，过原点O与C相切于P(P?I)的切线y?kx，（1）求k， 点P的坐标； （2）PQ?PO,Q在C上，求Q；（3）求是否存在R（R在C上），使S?POQ?S?PQR 9. 四面体
P?ABC
（1）求证：至少存在一个顶点，使相交于该顶点的三条棱可组成三角形；
??
,?APB?，?BPC??,2?arctan?，求二面角A?PB?C 26
a2
10. x?0,y?3x?3?45恒成立，求a的取值范围
x
（2）?APC?
11. f(x)满足limf(x)?f(0)?1,f(2x)?f(x)?x，求f(x)；
x?0
2
12. 坐标中整数点称为格子点，证：以O为中心，面积大于4的矩形必包含至少2个格子点。
2009年清华大学自主招生数学试题（理科）
1.
的整数部分为a，小数部分为b ab2
； ?3?求lim?b?b?
n??2
?1?求a,b； ?2?求a2?b2?
bn?
12
2n?1
2n2n
2．?1?x,y为实数，且x?y?1，求证：对于任意正整数n，x?y?
?2?a,b,c为正实数，求证：
abc
???3，其中x,y,z为a,b,c的一种排列 xyz
3．请写出所有三个数均为质数，且公差为8的等差数列，并证明你的结论
x2y2
4．已知椭圆2?2?1，过椭圆左顶点A??a,0?的直线L与椭圆交于Q，与y轴交于R，过原点与L平行的
ab
直线与椭圆交于P。 求证：AQ
，AR成等比数列 5．已知sint?cost?1，设s?cost?isint，求f(s)?1?s?s2?6．随机挑选一个三位数I
sn
?1?求I含有因子5的概率；?2?求I中恰有两个数码相等的概率
7．四面体ABCD中，AB?CD，AC?BD，AD?BC
?1?求证：四面体每个面的三角形为锐角三角形；
?2?设三个面与底面BCD所成的角分别为?,?,?，求证：cos??cos??cos??1
2
8．证明当p,q均为奇数时，曲线y?x?2px?2q与x轴的交点横坐标为无理数
9．设a1,a2,,a2n?1均为正整数，性质P为： 对a1,a2,,a2n?1中任意2n个数，存在一种分法可将其分
为两组，每组n个数，使得两组所有元素的和相等 求证：a1,a2,
,a2n?1全部相等当且仅当a1,a2,,a2n?1具有性质P
2009届清华大学保送生暨自主招生北京冬令营
数学笔试试题（2009年1月1日）
1.09理3
2.证明：一个2n+1项的整数数列，它们全部相等的充分必要条件是满足条件p，条件p为任意取出2n个数，都存在一种划分方法，使得两堆数每堆含有n个数，并且这两堆数的和相等。 3.同09理74.同09理25.同09理6 6.同09理47、同09理5 8、同09理1
2009届清华大学保送生暨自主招生北京冬令营
理科综合（数学部分）
2i5
6i5
1.求2?2e?e
2.
请写出一个含有根
f(x)。
3.有数条抛物线（线和线的内部）能够覆盖整个平面吗？证明你的结论。
4.现有一数字游戏：有1到100的数，2个人轮流写。设已经写下的数为a1,a2,...,an，则形如?xiai
i?1n
（xi为非负整数）的数不能够被写。（如若3，5已被写，则8=3+5不能再写，13=3+5*2，9=3*3+5*0也不能再被写）现在甲和乙玩这个游戏，已知5，6已经被写，现在轮到甲写。问：谁有必胜策略？ 5.一场跑马比赛最多只能有8匹马参加，假设同一匹马参加每一场比赛的表现都是一样的。问：是否有不多于50场比赛，完全将64匹马的实力顺序排序？
6.现有100个集装箱，每个集装箱装2个物品。现在将集装箱的物品全部拆卸，并且所有物品被打乱顺序。问：最坏情况下，需要多少个集装箱再次把所有物品装好？
7.现有一游戏：图上有若干个点和若干条线，甲提供若干个硬币，乙可以任意将这些硬币全部摆放在点上，并且指定一个目标定点u。现定义操作：甲从一个至少有两个硬币的点v取走2个硬币，在它一个相邻的点w上放回一个硬币。在指定的图下，甲最少提供多少个硬币，可以保证经过若干次操作，一定能使目标顶点u至少有一枚硬币？（1）图是一个包含5个点的线段；（2）图是一个包含7个点的圈。
2009年清华大学自主招生数学试题（文科）
1．已知数列?an?，且Sn?na?n?n?1?
?1?求证：?an?是等差数列；?2?求??an,
?
Sn
n
?
?所在的直线方程 ?
2．12名职员（其中3名为男性）被平均分配到3个部门
?1?求此3名男性被分别分到不同部门的概率； ?2?求此3名男性被分到同一部门的概率；
?3?若有一男性被分到指定部门，求其他2人被分到其他不同部门的概率
3．一元三次函数f?x?的三次项数为
a
，f'(x)?9x?0的解集为?1,2? 3
?1?若f'(x)?7a?0仅有一解，求f'(x)的解析式； ?2?若f?x?在
上单调增，求a的范围
4
．已知PM?PN?M??2,0?，N?2,0?， （1）求点P的轨迹W；
（2）直线y?k?x?2?与W交于点A、B，求SOAB（O为原点） 5．设a?
x1?x2?
n
xn
?n??
??xn?1?a??xn?a?
Sn??x1?a??x2?a???x2?a??x3?a??
?1?求证：S3?0
?2?求S4的最值，并给出此时x1，x2，x3，x4满足的条件 ?3?若S5?0，求x1，x2，x3，x4，x5不符合时的条件
2010年五校合作自主选拔通用基础测试数学试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分） 1．设复数w?(
a?i2
)，其中a为实数，若w的实部为2，则w的虚部为（ ） 1?i
篇二：三个学霸的北大保送路
学霸的世界：三位“金牌男孩”的保送之路
昨天，扬子晚报记者从南京外国语学校获悉：今年该校“(转载自：www.dXf5.cOm 东星资源网:清华大学保送生冬令营)编程高手”王悦同因信息学竞赛金牌保送进清华[微博]大学[微博]，而朱耀宇、徐锦灏两位“奥数王”则因奥数竞赛金牌获得了北大的保送资格。他们三个是同学们眼里的“金牌”理科男，每人都曾拿奖拿到手软，也都走过一条不同寻常的“竞赛路”。学霸的世界你想了解吗？扬子晚报记者带你向他们“取经”。
王悦同：从“钢琴王子”跨界成“编程高手”
就读学校：丁家桥小学、苏杰小学、南京外国语学校
保送学校：参加第31届全国青少年信息学奥林匹克竞赛获得金牌，保送清华大学从每天练琴8小时“转行”编程
“我从5岁开始练钢琴，小时候参加比赛还拿了两次省第一名，如不是后来迷上编程，本打算要走音乐专业道路的。”王悦同上小学时有几年经常只上半天课，每天练琴8小时，两次参加中国音乐学院考级大赛，都拿过省里的第一名，一度梦想是当个钢琴家。小学三年级左右，家里有台电脑经常坏，王悦同对照说明书居然多次把电脑修好了。最早接触计算机竞赛源于偶然。“四年级上编程课时不知道有竞赛、保送等事，但学了一段时间后，自己对此越来越有兴趣。”王悦同对信息学的痴迷一发不可收拾。小学时大多数课余时间都花在了编程上。
自制训练记录，写了超十万行代码
“兴趣是促使我坚持参加计算机竞赛的主要动力。但只有兴趣是远不够的。虽然这些理科竞赛以考察思维著称，但实质上训练量的积累是永远不可忽视的环节。”说起成为“竞赛高手”的经验，王悦同说，如果做了一百题还没有进步，那就再做一百题。很长一段时间他为了参加在线比赛，晚上11:00爬起来参加然后做到凌晨，最晚一次将近5:00。他还给自己制定高强度的训练计划，总是敲错的代码就反复敲几十遍。“学信息竞赛的几年中我也写了超过十万行代码，这几乎是训练代码能力的唯一途径。另外数学很重要，我在高一时曾经花了两个月完全不搞信息只搞数学，这帮助我突破了之前的‘技术瓶颈’，能在后面进步更快。”
肯花时间，是少数坚持下来的人
王悦同凭借夺得全国信息学冬令营金牌而获得了保送清华大学的机会。“比赛最重要的是给了我继续做喜欢的事情的机会。2013年暑假我就拿到了保送，不过接下来我仍然一直在训练和参加各种比赛，整个过程充满乐趣。”说起对竞赛的经验，王悦同表示：“其实竞赛不是要求都必须超高智商，许多人都完全满足条件，关键是时间要花够。我是少数几个坚
持参加计算机竞赛的人之一，因为这样一个和高考[微博]不挂钩的学科往往是大家不愿意花时间参与并且能一直坚持下来的。”
朱耀宇：为躲作业学奥数，1个月看完高中数学书
就读学校：南京银城小学、南京树人国际学校、南京外国语学校
保送学校：参加第30届全国中学生数学奥林匹克冬令营(CMO)
比赛获得金牌，进入国家集训队，保送北大光华学院
从小爱算24，还爱玩“脑筋急转弯”
“兴趣决定方向！”朱耀宇笑着说，自己从小对数字敏感，喜欢数学。“记得在幼儿园中班的时候，我特别喜欢算24，爸爸妈妈一回家，我就要他们陪我算。刚开始的时候，爸爸妈妈会故意让着我，做游戏赢的感觉是很好的。不过，渐渐地，妈妈就真的赢不了我了，后来，爸爸也难赢我。我还特别喜欢智力游戏，爸妈就买来数学游戏和一些脑筋急转弯的书，陪我一起玩，这是我童年最快乐的一段记忆。”
奥数拿奖拿到手软，经常“求”老师减作业
“一年级到四年级，作业不多，也不知道外面有奥数培训班，家里面倒是买了一些数学思维的书，主要是消遣用的，因为确实好玩。五年级作业开始多了，参加竞赛可以不做作业，这大概就是我参加竞赛的初衷吧。”朱耀宇开玩笑地说。
第一次接触高中数学竞赛，朱耀宇才初二。他在初一时被选入南京创新代表队，参加了华罗庚杯两岸四地数学邀请赛，取得了初中组个人第一名的好成绩。他花了一个多月的课余时间，把高中数学教材看了一遍，然后一路过关斩将，联赛拿了全国高中数学联赛省一等奖。中考[微博]那年，他进了南外理科实验班。“班主任严青老师很开明，跟学校负责数学竞赛的黄志军老师配合得特默契，她对学有余力的同学参加数学竞赛，一直都很支持。”朱耀宇坦言，当时经常跟老师请求“削减”作业。“竞赛生如果淹没在大量缺乏创意的作业之中，就不会有自由思考的空间，思维也会受到限制。”
坚持搞竞赛，多吃了很多苦
让朱耀宇觉得幸运的是，他最终能顺着自己的想法，一路走到了国内数学竞赛的终极目标——国家集训队。“这个目标，我初三就定下来了。走竞赛路，就是要吃苦。这三年来，各种困难、挫折也陪伴了我。不过，我从未想过放弃。搞竞赛，即使没能脱颖而出，但竞赛能磨练出坚毅的品格，以及凡事都要做到极致的风格，还有思维的敏锐和缜密，这些都是宝贵的财富。”不过朱耀宇也直言不讳地说，参加竞赛也要慎重，要真正喜欢，毕竟这是很小众的活动。
徐锦灏：很少做题、不记笔记的“奥数狂人”
就读学校：南京市中山小学、南京市树人国际学校、南京外国语学校
保送学校：参加第30届全国中学生数学奥林匹克冬令营(CMO)比赛获得金牌，进入国家集训队，保送北京大学[微博]数科院
小学学奥数不肯做题，比赛却拿金牌
“很多竞赛书我都看过，但题几乎没做。我参加过很多集训，都是学校安排去听的，同样是题做得很少，大部分同学都比我刷得题多，听课我也不记笔记。因为我是一个不会一心二用的人，认真听课了就没时间动手记了，因为我听课不但要理解这题的解法，还要思考这题如果作些变换，那我又该如何去解决。”对于徐锦灏在文章中总结的竞赛经验，很多同学只能感叹：“天才啊”。
“因为我上一年级的时候觉得题目太简单，有时考试都不想写，所以我的成绩要么100分，要么0分。”徐锦灏在文章中这样讲述自己的“奥数启蒙”。“数学杨老师为了激励我好好学习，经常会给我一两题奥数题，非常有意思。小学二年级暑假正式开始我的竞赛生涯，一个星期一个半小时的奥数成了我最快乐的时光。四年级是我收获最多的一年，拿了走进美妙数学花园，世少赛，IMC等所有总决赛的金牌。小学奥数根本不用做题，我都能解决掉，但是因为我不肯做题也经常被妈妈说，有一次我把辅导班发的希望杯100道题花四个半小时做完了，只错了三题，从那以后妈妈也不再唠叨了。”
曾遭受比赛重创，10个月不愿碰数学
由于被保送进北大的徐锦灏目前正在加拿大备考其他奥数比赛，徐爸爸与记者分享了徐锦灏的“成长之路”。
据介绍，因为徐锦灏令人咋舌的竞赛成绩，他五年级直接去上初中。而上了初中以后，依然保持竞赛王的战绩：初中联赛考了第一，时代杯初一到初三全满分。高中徐锦灏来到南京外国语学校，星期天上黄志军老师的竞赛课，和兴趣相投的伙伴一起上课让他在辛苦中感到很开心，一路拿了不少奖项。但是徐锦灏竞赛路上也曾遭遇重挫。“2013年对徐锦灏来说也是比较惨痛的一年，因为生长过快，他一度得气胸住院。而10月的联赛，又因为做题习惯不好导致成绩很不理想。在这次联赛后的差不多十个月他就没再碰数学，也不愿讨论数学。后来，我们就鼓励他转攻物理和托福[微博]。直到暑假他才又开始接触数学，最后以第六名成绩进入省队。”进入省队后的徐锦灏破天荒地做了六七十道题，这些真题他做得非常认真，所以颇有收获。 最终，CMO幸运之神再次垂青于他，他如愿进入了国家集训队，签约北京大学数科院！
采访手记
进“国家队”比彩票中奖概率还低 聪颖、专注、能吃苦，是成功“三法宝”
近十年，南外在理科竞赛上所获得奖牌数一直是全省最多的学校之一，共获过8块国际奥赛金牌。今年，除以上三位“金牌男生”外，还有3名同学因获奥赛银牌得到北大等著名国内高校录取资格。
一位竞赛选手表示，对竞赛生来说，走进国家集训队才是顶尖高手，但“路漫漫其修远兮”。以数学竞赛来看，全国在校高中生约2436万，国家集训队60人，入队概率约百万分之二点几，比买彩票中奖的概率还低。“我带了很多届理科班，也遇到很多非常优秀的学生，这些竞赛突出的孩子有一个共同特点，就是专注。”三位“竞赛达人”共同的班主任，有“最牛班主任”之称的严青老师表示，她和同学们也在探讨：兴趣是不是最好的老师？最后大家的结论是：专注比兴趣更重要。“这些竞赛学生除了天资聪颖外，都是非常执着的学生，他们热爱学习，乐于钻研，能够吃苦，对所学之事十分专注，持之以恒。”(王璟 宋峤)
篇三：学生需要递交的保送生申请材料一览表
学生需要递交的保送生申请材料一览表
一． 需要学生本人提供的材料
1． 填写完毕的《清华大学2005年保送生申请表》 2． 个人陈述
3． 其他证明自己的特长和优势的材料（不是必要材料）
4． 至少一份推荐信（可以请最了解申请者的教师或同学提供） 5． 家庭经济情况调查表（不做为选拔的依据） 二． 需要学生所在中学提供的材料
1． 中学正式推荐信（请校长或主管校长签名）
2． 高中三年历次期中和期末考试的原始成绩单，高三阶段提供每一次年级统一考试等的
成绩单（必须加盖学校教务部门公章）
三．关于递交申请材料的补充说明
1． 申请截至日期（以收件日邮戳为准）：2004年11月30日 2． 申请材料请寄往：北京市海淀区清华大学本科招生办公室 邮政编码：100084 3． 采取网上报名方式的同学，书面材料我办收到后一周内，学生可登陆清华大学本科招生网查询材料是否收到；12月18日之后可登陆清华大学本科招生网查询初试结果。
4． 相关信息可随时登陆清华大学本科招生网（/retype/zoom/ec7b3a1f650e52ea55189838?pn=2&x=0&y=0&raww=781&rawh=264&o=jpg_6_0_______&type=pic&aimh=162.25352112676055&md5sum=f9cab1f5578eeae3d022a35320f71bbb&sign=89326f2588&zoom=&png=124-719&jpg=0-72680" target="_blank">点此查看
中学学科获奖情况
考生类别：（）理工类 /（）文史类
注：1.年级名次、年级排名等指同学在该学期的学习成绩排名。
2.竞赛级别分别是指校级、省级初赛或省级复赛、国家级。
高中阶段参与的社会工作和个人特长情况
本人专业志愿情况
申请期间如果通过信件与你联络，通讯地址为：▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁； 收信人：▁▁▁▁；邮政编码：▁▁▁▁； 联络电话：▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁； 电子邮箱：▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁。
本人签字：▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁ 填表日期：▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁
申请材料二：
个人陈述
说明：通过你的个人陈述，使我们对你具有更加全面的了解，字数在1000－1500字左右。个人陈述的内容包括以下内容：
1． 通过你参与的一次重要的活动/取得的成绩/曾经遇到的困难/对你影响最大的事情或人物等内容介绍本人的性格、习惯、优点和缺点。
2．介绍你以后在大学期间的学习、生活以及发展计划。
希望各位申请者对个人陈述予以重视，通过个人陈述全面介绍你本人的情况。
申请材料三：
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推荐信内容：请详细地介绍申请者的特点，有助于我们更全面地了解学生。