[摘要] 本文采用计算机仿真方法计算固定利率按揭合同中违约和提前偿还期权的价值，按揭合同存续期间各期策略以当期预期成本最小化为目标，通过逆向递归求得各种不同条款按揭合同的价值，进而得到各期权的价值。为了解决仿真技术与逆向递归的根本冲突，本文采用了Tilley(1993年)的“分束法”计算前一期按揭合同的价值。
[关键词] 仿真违约期权提前支付期权
一、导言
按揭贷款在价值较高耐用品消费市场中占有很大份额，也是银行金融业务的重要组成部分。随着金融机构之间竞争的日益加剧，推出不同按揭金融产品以满足不同消费者的需求是大势所趋。以房贷市场为例，在我国1997年以前，国内居民买房基本都是一次性付清，谈不上有房贷市场。1997年初，国家为启动房地产市场，逐渐放宽房地产信贷政策，1998年国家取消福利分配住房制度，正式出台个人住房贷款管理办法，个人房贷市场开始逐渐发展。随后，在最初按揭贷款方式等额本息的基础上逐渐推出等额本金，等额递增，等额递减等房屋按揭方式。2006年，中国建设银行、光大银行、招商银行推出固定利率房贷，深圳发展银行则推出“双周供”业务，中国农业银行在广东、北京等分行试点“接力贷”新型房贷业务。
金融机构开发和推出金融产品的周期在不断缩短，如何采取有效且经济的方法定价不同的金融产品是一个需要不断探索和完善的课题。本文通过计算机仿真技术估算按揭合同中内含期权的价值，为金融产品的定价提供部分的理论依据。
二、文献回顾
Epperson等（1985年）讨论了固定利率按揭合同中违约保险的定价。他们认为该保险可以看作复合看跌欧式期权。根据Black－Scholes－Merton微分方程：
建立偏微分方程，用有限差分法解方程，得到期初违约期权的价值。Cunningham和. Hendershott（1984年）从或有要求权出发定价了违约期权。 Brueckner(2000年）从信息不对称角度对按揭违约进行了讨论。
Hall(1985年）认为固定利率按揭合同中的提前偿还条款是一看涨期权，因为贷款人可以
以事先知道的不受利率影响的价格回购按揭合同。但是该期权在两方面区别与标准金融期权：一是提前偿还期权始终由按揭抵押证券发行者持有；二是一旦按揭关联财产被售出，按揭贷款或者被重新支付，或者转移给新的财产所有者。Hall接着通过模拟利率二叉树求解期初提前偿还期权的价值。Murphy（1991年）建立了价格路径模型，假定提前偿还是看涨期权价值的函数，前向迭代求解提前偿还期权的价值。Murphy（2000年)比较了利率路径模型和价格路径模型的效果，认为价格路径模型与实证分析更为吻合。
Leung和Sirmans(1990年)用网格法分别计算了违约期权，提前偿还期权，违约及提前偿还混合期权的价值。Kau等(1992年)考虑到提前偿还与利率的期限结构有关，而违约则是由于按揭物价值的波动，以利率和按揭物价值为不确定因素建立了二维偏微分方程，求解了提前偿还期权和违约期权的价值。Ambrose和Sanders（2003年）使用按揭抵押证券数据对提前偿还和违约进行了分析。
三、模型及算法
数学家们倾向于在用其它方法无法或者非常困难得到解时才考虑应用仿真技术，恰恰相反，投资者总乐于用一种方法计算所有的资产组合，金融中介机构则乐于用一种方法来分析整个资产――负债情况，而仿真方法使其成为可能。市场是千变万化的，诸多因素都影响着资产价格，通过建立严谨的非线性偏微分方程模型得到资产及其衍生产品价格的近似解非常的困难，采用仿真方法来解决问题便成为一个较好且实际的选择。本文尝试用计算机仿真方法来定价固定利率按揭合同中违约和提前偿还期权，模型中假定按揭合同为固定利率等额偿还方式。
1.环境变量
根据Kau等(1992年)的理论，期权价值受按揭物价值和利率的影响，本文定义一个标准的经济环境，假设按揭物价值与利率不相关。其中
(1)按揭物价值波动是一维纳过程：
①
分别表示按揭物的期望回报率，折旧率，标准差；为一标准维纳过程
（2）根据Cox, Ingersoll和 Ross(1985年)理论，利率期限结构为均值回归平方根过程：
②
分别表示调整速度，稳态利率，利率标准差；为标准维纳过程
2.决策标准
根据①②模拟每一支付日按揭物的价值及当期利率，模拟次数为K次。在每一还款日贷款人有三种选择：违约，正常支付，提前偿还。贷款人在每一还款日以成本最小化为目标函数作出决策。采用Leung和Sirmans(1990年)的标准来测算各种选择的成本：
（1）正常支付的成本：MP+MB(i,k)
（2）违约的成本： (1+a)*H(i,k)
（3）提前偿还的成本：(1+β)*RB(i)+MP
MP，MB(i,k)，H(i,k)， RB(i)分别表示每期支付额，路径k中第i支付日按揭物的帐户余额，路径k中第i支付日按揭物的价值及第i还款日按揭的帐户余额；β，a分别表示重新融资成本，违约的惩罚因子；其中i=1,2,…,T；T为按揭支付的次数；k=1,2,…,K；K为模拟的次数。
当i=T，即合同期末时，贷款人在正常支付和违约之间作出选择。
按揭的价值M为：
M(i,k)=min{ MP+MB(i,k), (1+a)*H(i,k)，(1+β)*RB(i)+MP}，i=1,2,…,T－1； k=1,2,…,K
M(T,k)=min{ MP, (1+a)*H(T,k) }， k=1,2,…,K
定义状态变量SI（State Index）：
3.求解按揭账户余额MB的动态规划算法
基于Epperson等(1985年)的观点，违约期权和提前偿还期权是复合型的欧式期权。由于复合期权前一期期权价值受后续期期权价值的影响，复合期权的定价是一逆向递归动态规划过程。而普通模拟技术在本质上都是一前向递归过程（Michael等，2000年），并不适合直接解决逆向递归过程。但Tilley(1993年)提出了“分束法”解决这一内在矛盾，即在算法应用之前模拟所有的随机过程。本文利用Tilley(1993年)思想从按揭物价值路径法求解按揭物的账户余额MB。按揭物价值路径动态规划算法步骤为：
（1）根据①②模拟每一支付日按揭物的价值及当期利率的路径，模拟次数为K（K=Q*P）次。
（2）在时期i对按揭物的价值H（i，k）进行排序，将排序后的H（i，k）分为Q束，每束有P个路径。
（3）支付日按揭的账户余额RB(i)=MP*(1-(1+R/m)^(i-T))/(R/m)。
i=1,2,…,T－1；R为按揭合同的固定利率；m为每年支付频率。
（4）确定M(i,k)：M(i,k)=min{ MP+MB(i,k), (1+a)*H(i,k)，(1+β)*RB(i)+MP}，i=1,2,…,T－1； k=1,2,…,K；
（5）确定SI(i,k)。
i=1,2,…,T－1； k=1,2,…,K。
（6）从i期r中随机挑选一束大小最接近的P个r值作为i期某束的利率：r(i,k)
i=1,2,…,T－1； k=1,2,…,K。
（7）计算第q束的MB(i,k): MB(i,k)=
i=1,2,…,T－1； q= 1,2,…,Q; k=1,2,…,K。
（8）i=i-1,返回（2）；
初始条件：M(T,k)=min{ MP, (1+a)*H(T,k) }， k=1,2,…,K；
4.计算期权价值
应用同样的方法，可以求得不可违约不可提前偿还合同中按揭物的账户余额NDP，不可违约可提前偿还合同中按揭物的帐户余额ND，可违约不可提前偿还合同中按揭物的账户余额NP，各期权价值分别为：
(1)第i期违约与提前偿还混合期权:DPO(i)=。
(2)第i期违约期权:DO(i)=。
(3)第i期提前偿还期权:PO(i)=。
其中i=0,1,2,…,T－1。
四、实证分析
1.参数对期权价值的影响
以本文的模型为例，当按揭物的价值波动σk为0.05时违约价值（DO）均为0，当σk增大到0.15时， DO的值为按揭物价值的0.3%～4%，当LTV=0.95，a=0.10, 从0.05变化到0.15时，DO从按揭物价值的0.9%增加到4%；违约惩罚因子a对DO的影响明显，特别地，
当LTV=0.95，σk=0.15,σk=0.15时，当a为0.30，DO的值仅为a=0.10时的1/10，说明成熟的信用体系能有效的冲抵利率和资产的波动；在其他条件相同的情况下，LTV=0.80时DO值远小于LTV=0.95时的DO值，说明提高首期支付对防止违约是有效的；再融资成本β的变化对DO没有影响。
提前偿还期权PO随利率波动率σk的变化而明显变化:其他参数一定时，σk为0.15时PO的值是 为0.05时PO值的三倍多;LTV从0.8变化到0.95时，PO的值也增加了约按揭物价值的1%;再融资成本β的变化对PO的影响不明显；PO与σk，违约惩罚因子a没有关系。
当DO不为零时，混合期权DPO的值小于DO与PO值的和，因为一个期权的执行使另一个期权自动失效。尤其当DO、PO的值都很大时，DPO与DO、PO之和的差距显著。
2.期权状态分析
图1示意了a=0.10, β=0.02,σH=0.15，σr=0.15，LTV=0.95，即对应于表2第四列参数的DO，PO，DPO，DO+PO的价值随合同到期日的临近而逐渐衰减。图2则是当参数取值为 a=0.30, β=0.02,σH=0.15，σr=0.15，LTV=0.95时各期权价值随时间的变化。图1、图2的比较显示a的上升使DO值大幅下降。
图3示意了a=0.10, β=0.02,σH=0.15，σr=0.15，LTV=0.95时混合期权各期执行期权（Prob.DP）概率及其中违约概率（Prob. D(DP)）、提前偿还概率（Prob.P），单一违约概率（Prob. D(s)），单一提前偿还概率（Prob. P）随时间的变化。混合期权执行概率及提前偿还概率大约相等，而且在相当长一段时间内概率大小随机波动，直至160期概率才开始明显衰减。混合期权中的违约概率在合同持续期都非常小，但是当违约期权单独存在时，尤其在合同前期，违约可能性不容忽视。
图1图2图3
五、模型拓展和结语
仿真方法提供了一种直观高效的算法计算按揭合同中提前偿还期权、违约期权及两者混合期权的价值。由于其各期的决策取决于当期的成本预期，该模型经过适当修改可以用于计算其他方法难于计算的期权价值，特别适合计算合同中的内嵌期权或者内嵌选择权。模型一旦建立，可以根据需要给各参数取值，分析出需要的结果。
由于缺乏实际的市场数据，无法验证该模型所得结果与现实的拟合度，从而无法进一步对模型进行修正。如果相关的金融从业机构或研究机构对该模型有些许兴趣，欢迎修改、修正模型。