2012年高三数学模拟卷 ?1?{-1} ?2??x∈0,π2，tanx≤sinx ?3?32 ?4?2 ?5?12,1
?6?893或493
?7?［6k,6k+3］k∈Z
?8?1-32
?9?n?2-9n+40
?10?2-12
?11?2(2n-1)(3-2n)
?12?4
?13?132
?14?［-2，2］ ?
?15? （1）取PC中点F，连结EF，BF，∵ E为PD中点， ?
∴ EF∥DC且EF=12DC. 2分 ?
∵ AB∥DC且AB=12DC， ?
∴ EF∥AB且EF=AB．4分 ?
∴ 四边形ABFE为平行四边形．?
∴ AE∥BF6分 ?
∵ AE?平面PBC，BF?平面PBC， ?
∴ AE∥平面PBC.8分 ?
（2） ∵PB⊥AC，BD⊥AC，PB∩BD=B， ?
∴ AC⊥平面PBD． ?
∵ PD?平面PBD， ?
∴ AC⊥PD． 10分 ?
∵ AP=AD，E为PD的中点， ?
∴ PD⊥AE. 12分 ?
∵ AE∩AC=A， ?
∴ PD⊥平面ACE. 14分 ?
?16? （1） ∵ b=(cosx,sinx)，c=(sinx+2sinα，cosx+2cosα)，α=π4. ?
∴ f(x)=b•c=cosxsinx+2cosxsinα+sinxcosx+2sinxcosα ?
=2sinxcosx+2(sinx+cosx). 2分 ?
令t=sinx+cosxπ4＜x＜π，则2sinxcosx=t?2-1，且-1＜t＜2. ?
则y=f(x)=t?2+2t-1=t+22?2-32. -1＜t＜2. ?
∴ t=-22时,y??min=-32，此时sinx+cosx=-22. 5分 ?
由于π4＜x＜π，故x=11π12. ?
所以函数f(x)的最小值为-32，相应x的值为11π127分 ?
（2）∵ a与b的夹角为π3 ?
∴ cosπ3=a•b|a|•|b|=cosαcosx+sinαsinx=cos(x-α）9分 ?
∵ 0＜α＜x＜π，∴ 0＜x-α＜π，∴ x-α=π3. ?
∵ a⊥c，∴ cosα(sinx+2sinα)+sinα(cosx+2cosα)=0. ?
∴ sin(x+α)+2sin2α=0，sin2α+π3+2sin2α=012分 ?
∴ 52sin2α+32cos2α=0，∴ tan2α=-3514分 ?
?17. 解：(Ⅰ) 总成本为c(x)=14000+210x．2分?
所以日销售利润Q(x)=f(x)g(x)-c(x)?
=-11000x?3+65x?2-210x-14000,0≤x≤400?
-210x+114000,x＞4007分?
(Ⅱ) ① 当0≤x≤400时，Q′(x)=-31000x?2+125x-210．
令Q′(x)=0，解得x=100或x=700．
于是Q(x)在区间［0,100］上单调递减，在区间［100,400］上单调递增，所以Q(x)在x=400时取到最大值，且最大值为30000；10分?
② 当x＞400时，Q(x)=-210x+114000＜30000．13分?
综上所述，若要使得日销售利润最大，每天该生产400件产品，其最大利润为30000元．15分?
?17?(1)因为赔付价格为s元/吨，所以乙方的实际年利润为： ?
ω=2000t-st（t≥0）2分 ?
因为ω=2000t-st=-s(t-1000s)?2+1000?2s4分 ?
所以当t=1000s?2
时，ω取得最大值. ?
所以乙方取得最大年利润的年产量t=1000s?2（吨）6分 ?
（2） 设甲方净收入为v元，则v=st-0.002t?28分 ?
将t=1000s?2代入上式，得到甲方净收入v与赔付价格s之间的函数关系式： ?
v=1000?2s-2×1000?3s?410分 ?
又v′=1000?2s?2+8×1000?3s?5=1000?2×(8000-s?3)s?5 ?
令v′=0，得s=20. ?
当s＜20时，v′＞0；当s＞20时，v′＜0，所以s=20时，v取得最大值.13分 ?
因此甲方向乙方要求赔付价格s=20（元/吨）时，获最大净收入14分 ?
?18?（1） ∵ PQ为圆周的14，∴ ∠POQ=π2. ∴ O点到直线l?1的距离为22. 2分 ?
设l?1的方程为y=k(x+2),∴ |2k|k?2+1=22，∴ k?2=17. ?
∴ l?1的方程为y=±77（x+2）5分 ?
（2） 设椭圆方程为x?2a?2+y?2b?2=1（a＞b＞0），半焦距为c，则a?2c=2. ?
∵ 椭圆与圆O恰有两个不同的公共点，则a=1或b=16分 ?
当a=1时，c=12，b?2=a?2-c?2=34，∴ 所求椭圆方程为x?2+4y?23=1；8分 ?
当b=1时，b?2+c?2=2c，∴ c=1，∴ a?2=b?2+c?2=2. ?
所求椭圆方程为x?22+y?2=110分 ?
（3） 设切点为N，则由题意得，在Rt△MON中，MO=2，ON=1，则∠NMO=30°，N点的坐标为-12，32，11分 ?
若椭圆为x?22+y?2=1. 其焦点F?1,F?2 ?
分别为点A,B故S??△NF?1F?2=12×2×32=32，13分 ?
若椭圆为x?2+4y?23=1，其焦点为F?1-12，0,F?212，0, ?
此时S??△NF?1F?2=12×1×32=3415分 ?
?19. （1） 取p＝n，q＝1，则a??n+1=a?n+a?1=a?n+2 ?
∴ a??n+1-a?n=2（n∈N?*） ?
∴ {a?n}是公差为2，首项为2的等差数列 ?
∴a?n=2n 4分 ?
（2） ∵b?12?1+1-b?22?2+1+b?32?3+1-b?42?4+1+…+?(-1)n-1b?n2?n+1=a?n（n≥1） ① ?
∴b?12?1+1-b?22?2+1+…+(-1)n-2b??n-12n-1+1=a??n-1(n≥2) ② ?
①-②得：（-1）n-1b?n2?n+1=2（n≥2）?
b?n=(-1)n-1(2n+1+2)(n≥2) ?
当n=1时，a?1=b?13 ∴b?1=6满足上式?
∴ b?n=（-1）n-1(2n+1+2)(n∈N?*)9分 ?
（3） C?n=3?n+(-1)n-1(2n+1+2)•λ ?
假设存在λ，使C??n+1＞C?n（n∈N?*） ?
3n+1+(-1)?n（2n+2+2）•λ＞3?n+（-1）n-1(2n+1+2)•λ ?
［(-1)?n（2n+2+2）-(-1)n-1(2n+1+2)］•λ＞3?n-3n+1=-2•3?n ?
（-1）?n（3•2n+1+4）•λ＞-2.3?n ?
当n为正偶数时，（3•2n+1+4）λ＞-2.3?n恒成立 ?
λ＞-3?n3•2?n+2??max=-13•23?n+2•13?n??max ?
当n=2时-13•23?n+2•13?n??max=-914
∴ λ＞-914 ?
当n为正奇数时，-(3.2n+1+4)•λ＞-2•3?n恒成立 ?
∴ λ＜3?n3.2?n+2??min=13•23?n+213?n??min ?
当n=1时1323?n+213?n??min=38 ?
∴ λ＜38 ?
综上，存在实数λ，且λ∈-914，3816分 ?
?20?（1）∵ f(x)-g(x)=x2-1x-lnx， ?
令ln(x)=x2-1x-lnx，∵ h′(x)=12+1x?2-1x=x?2+2-2x2x?2＞0，2分 ?
∴ h(x)在［1,e］上单调增，∴h(x)=-12，e2-1e-1 3分 ?
∴ |f(x)-g(x)|≤1，即在区间［1,e］上f(x)能被g(x)替代．4分 ?
（2） 令t(x)=f(x)-g(x)=x-lnx． ?
∵ t′(x)=1-1x=x-1x, 5分 ?
且当x＜1时，t′(x)＜0；当x＞1时，t′（x）＞0，6分 ?
∴ t(x)≥t(1)=1，即f(x)-g(x)=x-lnx≥1,7分 ?
∴ f(x)在1m，m（m＞1）上不能被g(x)替代．8分 ?
（3）∵f(x)在区间［1,e］上能被g(x)替代，即|f(x)-g(x)|≤1对于x∈［1，e］恒成立． ?
∴ alnx-ax+12x?2-x≤1． -1≤alnx-ax+12x?2-x≤1，9分 ?
由（2）知，当x∈［1,e］时，x-lnx＞0恒成立， ?
∴有① a≤12x?2-x+1x-lnx，10分 ?
令F（x）=12x?2-x+1x-lnx， ?
∵ F′（x）=(x-1)(x-lnx)-1-1x12x?2-x+1（x-lnx）?2=(x-1)12x+1-lnx-1x(x-lnx)?2， ?
由（1）的结果可知12x+1-lnx-1x＞0，11分 ?
∴ F′(x)恒大于零，∴ a≤12． 12分 ?
② a≥12x?2-x-1x-lnx，13分 ?
令G(x)=12x?2-x-1x-lnx. ?
∵ G′(x)=(x-1)(x-lnx)-1-1x12x?2-x-1(x-lnx)?2=(x-1)12x+1-lnx+1x(x-lnx)?2， ?
∵ 12x+1-lnx+1x＞12x+1-lnx-1x＞0，14分 ?
∴ G′(x)恒大于零，∴a≥e?2-2e-22(e-1)， 15分 ?
即实数a的范围为e?2-2e-2 2(e-1)≤a≤12.16分 ?
?21?
A. AB=43.?
B. 解：M2 ?
2=-2 ?
2，即2cosα-2sinα ?
2sinα+2cosα=-2 ?
24分 ?
所以cosα-sinα=-1, ?
sinα+cosα=1. 解得cosα=0， ?
sinα=1.6分 ?
所以M=0-1 ?
10，由M-1M=10 ?
01，得M-1=01 ?
-1010分 ?
C. 解：曲线C?1的直角坐标方程x-y=4，曲线C?2的直角坐标方程是抛物线y?2=4x，4分 ?
设A（x?1,y?1），B（x?2,y?2），将这两个方程联立，消去x，得y?2-4y-16=0?y?1y?2=-16，y?1+y?2=46分 ?
∴ x?1x?2+y?1y?2=(y?1+4)(y?2+4)+y?1y?2=2y?1y?2+4(y?1+y?2)+16=08分 ?
∴ ?OA•?OB=0，∴ OA⊥OB10分 ?
D. (1) (-∞,0)∪(3,+∞),(2) a＜1.?
?22. （1） 甲总得分情况有6分，7分，8分，9分四种可能，记ξ为甲总得分. ?
P??ξ=6=35?3=27125，P??(ξ=7)=C?1?32535?2=54125. ?
P（ξ=8）=C?2?325?235=36125，P??(ξ=9)=25?3=81254分 ?
ξ6789
P(x=ξ)2712554125361258125
7分 ?
（2） 甲总得分ξ的期望 ?
E(ξ)=6×27125+7×54125+8×36125+9×8125=36510分 ?
?23?由x?1=1，x??n+1=1+x?np+x?n知，x?n＞0（n∈N?*）， ?
（Ⅰ） 当P=2时，X??n+1=1+x?n2+x?n， ?
（1） 当n=1时，x?n=1＜2，命题成立． ?
（2） 假设当n=k时，x?k＜2， ?
则当n=k+1时，x??k+1=1+x?k2+x?k=2-22+x?k＜2-22+2=2， ?
即n=k+1时，命题成立． ?
根据（1）（2），x?n＜2（n∈N?*）．4分 ?
（Ⅱ）用数学归纳法证明，x??n+1＞x?n（n∈N?*）． ?
（1） 当n=1时，x?2=1+x?1p+x?1＞1=x?1，命题成立． ?
（2） 假设当n=k时，x??k+1＞x?k， ?
∵ x?k＞0，p＞0， ?
∴ PP+x??k+1＜PP+x?k， ?
则当n=k+1时，x??k+1=1+x?KP+x?K=2-PP+x?k＜2-PP+x??k+1=x??k+2， ?
即n=k+1时，命题成立． ?
根据（1）（2），x??n+1＞x?n(n∈N?*)．8分 ?
故不存在正整数M，使得对于任意正整数n，都有X?m≥X?n． 10分
号证考准
名姓
盐城市?2011高考数学全真模拟卷
答 案 纸?
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.把答案填在下列横线上.?
二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤.?
15. (本小题满分14分)?
16. (本小题满分14分)?
17. (本小题满分15分)?
18. (本小题满分15分)?
19. (本小题满分16分)?
20. (本小题满分16分)?
?21. ［选做题］在A、B、C、D四小题中只能选做两题，并将所选择的题目前面对应的方框涂黑，每小题10分，共计20分.?
A. 选修42：矩阵与变换
B.选修42：矩阵与变换
C.选修44：坐标系与参数方程
D. 选修45：不等式选讲
22. (本小题满分10分)?
23. (本小题满分10分)?
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