摘 要：周期函数与导函数的周期可以保持不变，但并非完全相同，须满足一定的条件，它们才能够相同。 关键词：可微；原函数；导函数；周期性 命题：可微分的周期函数，其导函数仍为具有相同周期的周期函数。
我们讨论的周期相同，是指二者周期的集合相同（原函数的周期一定是导函数的周期；反之，导函数的周期一定是原函数的周期），或者二者最小正周期相同。
文献1中给出的“证明”，是由f（x+T）=f（x）得f"（x+T）=f"（x）[1]，这只能说明原函数的最小正周期T是导函数的一个周期，即对导函数的最小正周期T "而言，有T=KT "（K为正整数）.至于T是否为导函数的一个周期，即：是否T=T "，并未得证，尚需证T "一定也是原函数f（x）的一个周期：f（x+T "）=f（x），才有T=T ".许多书上的证明多是如此。
本文将指出：可微周期函数与其导函数最小正周期并非一定相同；同时，给出一个周期相同的一个充分条件。
1 现举一反例
我们约定J表示整数集合，R表示实数集合，E（x）表示不超过x的最大整数。
例1 设 ，考察定义在D上的函数f（x）=x-E（x） .
与正切函数类似，虽然f（x）在R上有可列间断点，但f（x）在其定义域D中每点连续可微.
首先，1/2不会是f（x）的周期，这只要取x0=k+1/4，有x0∈D，f（x0）=1/4；
x0+1/2=k+3/4∈D，f（x0+1/2）=3/4，便有f（x0+1/2）≠f（x0）.
f（x）的导函数f "（x）=1，1/2是f "（x）的一个周期.因为，对任意x∈D，x+1/2∈D，f"（x）= f "（x+1/2）=1.
这样，我们已经得到f（x）与f "（x）周期集合不同，自然，最小正周期就不会相同.当然，我们也可以分别证明，f（x）最小正周期为1，f "（x）最小正周期为1/2.
通过f（x）与f "（x）的图像来对比，结论也是非常明显的（如图1）
图1
例2设D={x|x∈R-J}.考察定义在D中的函数
同样，f（x）的导函数f "（x）=2[x-E（x）],x∈D
可以例1一样，验证1是f "（x）的周期而不是f（x）的周期，从而二者周期不同.不过，现在我们采用另外的办法，证明f（x）的最小正周期为2，而f "（x）的一个周期为1，则f "（x）的最小正周期T "≤1，便有T "≤1≤2=T，即T "=T.
对任意x∈D，有x+2∈D，且
可知，2是f（x）的一个周期.再证任何一个小于2的正整数ε不会是f（x）的周期.
若ε=1，对任意x∈D，也有x+1∈D，但
若ε≠1,0