对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题求解。下面和大家共同探讨：? (1) 构造常见数列法解型如：a??n+1?=pa?n+q（p、q为常数），变形为a??n+1?+λ=p(a?n+λ)，利用恒等式求出λ，从而构成等比数列，求出数列的通项。?
例1 设数列{a?n}的首项a?1∈(0,1)，求a?n的通项公式；?
解：a?n=3-a??n-1?2(n=2,3，4…)，a??n-1?=3-2a?n∴ 存在实数λ，使得a??n-1?+λ=-2(a?n+λ)∴ λ=-1即a??n-1?-1=-2(a?n-1) ∴ 数列{a?n-1}是以a?1-1为首项以-12为公比的等比数列，∴ a?n-1=(a?1-1)-12??n-1? ∴ a?n=1+(a?1-1)-12??n-1??
(2) 用累加法解型如：a??n+1?=a?n+f(n)（p为常数，f(n)为等差）?
例2 数列{a?n}中，a?1=2,a??n+1?=a?n+cn（c是常数，n=1,2,3…），求a?n的通项公式?
解：a??n+1?=a?n+cn，∴ a??n+1?-a??n?=cn，令n=1，2，3…(n-1),?
代入得(n-1)个等式累加，即(a?2-a?1)+(a?3-a?2)+…(a?n-a??n-1?)=c［1+2+3+…+(n-1)］?
∴ a?n-a?1=cn(n-1)2?
∴ a?n=cn(n-1)2+a?1即a?n=cn(n-1)2+2?
说明：只要f(1)+f(2)+…+f(n-1)是可求的，就可以采用累加法求a?n了。?
(3) 辅助数列法解型如：a??n+1?=pa?n+q?n(p为常数，q?n为等比)，可两边除以q??n+1?，a??n+1?q??n+1?=pa?nqq?n+1q,引辅助数列{b?n},b?n=a?nq?n, 则转化为b??n+1?=pqb?n+1q求解?
例3 数列{a?n}中,a?1=2,a??n+1?=λa?n+λ??n+1?+(2-λ)•2?n(n∈N?*),其中λ>0，求数列{a?n}的通项公式?
解:由a??n+1?=λa?n+λ??n+1?+(2-λ)•2?n得:a??n+1?-2??n+1?λ??n+1?=a?n-2?nλ?n+1?
故a?n-2?nλ?n是以a?1-2λ为首项,公差为1的等差数列?
∴ a?n-2?nλ?n=a?1-2λ+(n+1) ∴a?n=(n-1)λ?n+2?n?
(4) 韦达定理解型如：a??n+2?=pa??n+1?+qa?n,设a??n+2?=pa??n+2?+qa?n，可变为a??n+2?-αa??n+1?=β(a??n+1?-αa?n),即a??n+2?=(α-β)a??n+1?-βαa?n构造方程?
x?2-px+q=0求解α,β两根，从而转化为等比数列求解；?
例4 数列{a?n}中，a?n=1,a?2=2,a??n+2?=23a??n+1?+13a?n(n=1,2,3…)求a?n?
解：由a??n+2?=23a??n+1?+13a?n可构造方程x?2-23x-13=0得x?1=-13,x?2=1,故a??n+2?-a??n+1?=-13(a??n+1?-a?n) ∴ {a??n+1?-a?n}是公比为13，首项为a?2-a?1=1的等比数例， ∴a??n+1?-a?n=-13??n-1?以n=1,2,3…，（n-1）代入，再把（n-1）个等式累加?
a?n-a?1=-13?0+-13?1+…+-13??n-2?=1--13??n-1?1+13?
∴ a?n=74-34-13??n-1??
(5) 用累乘法解型如：a??n+1?=f(n)a?n,(n∈N?*)?
例5 在数列{a?n}中，a?1=2,a??n+1?=n+1na?n,求通项a?n，?
解:a?1=2,a??n+1?=n+1na?n，∴ a?2a?1=21,a?3a?2=32,…,a?na??n-1?=nn-1,以上(n-1)个等式左右两边分别相乘得a?na?1=n,a?n=2n且n=1时a?1=2,也适合上式∴ a?n=2n?
(6) 化归法求解型如：S?n=f(a?n),一般地，要将a?n化归到S?n或将S?n化归到a?n.?
例6 数列{a?n}的前n项和为S?n=1-23a?n,(n∈N?*)求数列{a?n}的通项公式?
解：由a?n=S?n-S??n-1?,S?n=1-23a?n,S??n-1?=1-23a??n-1??
∴ a?n=1-23a?n-1-23a??n-1?，a?na??n-1?=25(n∈N?*,n≥2)?
∴ 数列{a?n}是首项为35,公比为25的等比数列?
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”