摘 要：小学生对数学知识的习得，特别是抽象数学概念的建构，总是按照“动作认知――图形认知――符号认知”循序渐进地发展的。教学中，教师要充分发挥介于具体的操作经验与抽象的数学经验之间的“图形认知”的桥梁作用，沟通具体思维和抽象思维之间的联系，使学生的数学思维按“直观动作思维―具体形象思维―抽象逻辑思维”的顺序由浅入深，循序渐进，不断提升，有效地将具体的操作经验内化为抽象的数学经验。
关键词：小学数学；操作经验；数学经验
中图分类号：G623.5 文献标识码：A 文章编号：1009-010X（2012）01-0053-02
小学生对数学知识的习得，特别是抽象数学概念的建构，总是按照“动作认知（操作水平）――图形认知（表象水平）――符号认知（分析水平）”循序渐进地发展的。然而，有的教师只注重引导学生通过操作活动获取感性的经验，而忽略了让学生亲身经历把操作经验内化为数学经验的过程，导致数学抽象思维活动因缺少数学表象经验的支撑而出现断层，降低了操作的实效。如何将具体的操作经验内化为抽象的数学经验呢？
一、活动组织：变“一”为“几”，夯实感性经验基础
学生的数学思维活动是以数学表象为基础的，而数学表象又源于直接的感性经验。感性经验的获取往往离不开操作活动的支撑。教学实践表明，形式多样的操作活动能够充分调动学生的多种感官参与感知，使其获得丰富的感性经验。为此，教师要跳出“一例一动”的框框，变“一”为“几”，组织多样化的操作活动，帮助学生积累鲜活的感性经验。
例如，教学“长方形和正方形”时，教师可以设计以下操作活动：（1）找一找：找出教室里哪些物体的面是正方形，哪些物体的面是长方形。（2）摆一摆：用小棒摆出一个长方形和一个正方形，感受方位、大小不同的长方形和正方形。（3）折一折、量一量、比一比：利用长方形和正方形纸片折、量、比，看看长方形和正方形的边和角各有什么特点，并把自己的发现记录下来。（4）说一说：长方形和正方形有哪些相同之处和不同的地方？（5）围一围：先闭上眼睛想一想长方形和正方形的样子，再把想到的长方形和正方形在钉子板上围出来。（6）拼一拼：用两副同样的三角尺分别拼成一个长方形和正方形。（7）剪一剪：用一张长方形的纸折出一个最大的正方形，再剪下来。（8）画一画：在方格纸（每个小方格边长1厘米）上各画一个长方形和正方形，并说出长方形和正方形每条边的长度。
上述案例中，学生人人动手，个个动脑，仔细观察，思维活跃。通过多层次、不同形式的操作活动以及活动中的观察、思考、交流等，学生不仅获得了丰富的有关长方形和正方形特征的感性经验，而且培养了主动探索和动手实践的能力。
二、教学节奏：变“快”为“慢”，强化表象经验积累
数学表象在学生的数学思维活动中，具有中介、桥梁的作用。操作经验的内化离不开清晰的数学表象，操作活动的节奏影响着学生数学表象形成的清晰度。为此，教师要把握好操作活动的节奏，变“快”为“慢”，特别要关注学生对介于具体思维和抽象思维之间的数学表象的充分感知，强化表象经验积累。
例如，教学“8和9的加减法”时，首先，教师可以要求学生借助“珠子”进行操作：第一堆摆2颗珠子，第二堆摆6颗珠子，再把两堆合并在一起；然后从8颗中移走2颗……如此不断变换形式，放慢操作速度，实现人人参与摆珠子，让学生在操作、观察、交流中初步体会到不同的摆法表示不同的含义，采用不同的方法：合并在一起，珠子多了，用加法；移走一部分，珠子少了，用减法。其次，通过多媒体用“○”来把摆珠子的“合并”“移走”的过程动态演示出来：
要求学生边看图示边思考，然后说出摆的过程及其涵义，让学生再次体验到“加减法”意义的不同。图（1）用加法计算，因为“？”表示“总数”；图（2）用减法计算，因为“？”表示“部分数”。然后呈示图（3），这时学生立即产生疑问，为什么“？”的位置不同却用减法计算。此时，教师再次放慢探索的步伐，多角度引导学生对图（2）、图（3）进行对比分析，让学生在比较中深刻领悟到：两者都是求“部分数”，所以都用减法。但因为所表示的是不同的部分，所以“？”号的位置也就不同，因而所列的算式也就不同。最后，让学生根据图示列出算式进行解答。
上述案例中，教师放慢步子，通过多种形式的强化活动，借助珠子、图形等中介，实现了“操作―图示―算式”的有机结合，沟通了具体的实物与抽象的符号之间的内在联系，丰富了学生的表象经验，强化了表象经验积累。
三、数学思考：变“明”为“隐”，突出数学表象链接
操作不只在于积累数学表象，更在于抽象、提升。数学表象只有具有一定的抽象性、概括性，才能沟通直观经验与抽象经验的联系。为此，教师在强化表象时，不能仅停留于具体直观思维，就事论事，而要适度抽象，适时反思，帮助学生建立起具有一般性、概括性的数学表象，进而促进学生自主内化数学活动经验，提升数学思考力。
例如，教学“有余数除法”例2（有23盆花，每组摆5盆，可以摆几组？还多几盆？）时，教师可以这样设计：（1）摆一摆：让学生用小圆片代替花盆动手摆一摆。学生独立摆完圆片后，教师指名一个学生在黑板上操作，然后引导学生观察、分析、交流，使学生初步感知：可以将23盆花分成4份，还多3盆。从图示中可以清楚地看出，剩下的3盆是平均分后余下的数，称为余数。这是图示与余数意义的第一次结合，很好地呈现了余数概念的形成过程，而旁边出现的“余数”一词概括了3盆的实质――余下的数。（2）画一画：让学生用“△”表示花盆，把刚才摆的过程在练习本上画出来，边画△边说出摆的过程。教师相机用算式表示摆的过程（板书如右），
再让学生结合摆圆片或画△
的情况说出板书中23、5、4、3
所表示的意思，特别是3表示
的意思，使学生深刻理解余数
的含义――平均分后剩下的数。由摆圆片到抽象出算式，学生在头脑中建立起数与形的一一对应关系，经历了符号化的过程，进一步将概念的表征与实质联系起来。（3）想一想：如果再增加1盆花，可以怎么摆？增加2盆呢？先让学生凭借刚才的操作经验进行想象，如果想象有困难时再动手摆一摆或画一画。然后组织学生进行观察、比较、讨论、交流，让学生在思辨中统一认知：当“余数”和除数相等时，商可以再增加1，而余数没有了。这样就帮助学生深刻理解了余数的本质特征，认识了有余数除法的意义。
上述案例中，操作活动从圆片过渡到图形再到抽象出算式，思维由动作化到表象化再到抽象化。渐进抽象的操作载体使数学思考不再局限于某个特定实物，而是变“明”为“隐”，并引发学生结合具体事例进行个性化诠释，多角度寻求与数学意义相一致的数学模型，进而突出了数学表象与思维过程的链接。
总之，教师要遵循布鲁纳所提出的“认知三环节”进行教学，特别要充分发挥介于具体的操作经验与抽象的数学经验之间的“图形认知”的桥梁作用，沟通具体思维和抽象思维之间的联系，使学生的数学思维按“直观动作思维―具体形象思维―抽象逻辑思维”的顺序由浅入深，循序渐进，不断提升，有效地将具体的操作经验内化为抽象的数学经验。