生活中与人对话，使人生更美好，数学中与图象对话，使数学更精彩． 华罗庚先生又说：“数与形本是两依倚，焉能分作两边飞． 数缺形时少直观，形少数时难入微．” 函数图象是数和形的结合物，有了直观，才有判断． 没有形象思维的参与，逻辑思维就不可能很好地展开和深入． 与图象对话就是使抽象的数学语言与直观的图象有机结合，使我们的思维更灵活，处理问题的手段更丰富． 对于2011年浙江理科第22题（2），考生普遍反映难． 如何破解难题呢？本文结合本题第2问，谈如何与图象对话，提高数学解题能力．
题目
设函数f（x）＝（x－a）2lnx，a∈R．
（1）若x＝e为y=f（x）的极值点，求实数a；
（2）求实数a的取值范围，使得对任意的x∈（0，3e］，恒有f（x）≤4e2成立．
注：e为自然对数的底数．
观察提问
观察是对话的基础，没有掌握一定量的必需的信息，对话就无从谈起． 数学思维通常都从观察对象开始，通过观察发现问题特征以及获得解决问题的思维方法． 本题目标是根据给出的函数表达式研究函数的一些性质． 那么从函数式中需要了解函数图象哪些信息呢？因为反映函数图象特征主要是：范围、对称性、周期性、关键点、单调性、渐近线等． 因此，解题者在观察分析函数式时需要思考并提出：自变量的取值范围是多少？有哪些关键点？奇偶性如何？函数值变化规律及其变化的“大致”范围是什么？
通过观察函数式f（x）＝（x－a）2lnx，a∈R，从中可以得到以下特征：含有一个参变量a，当x>1时f（x）>0，当00），函数不具奇偶性，不呈周期现象．
勾画图象
f（x）的图象是否过定点（a，0）由a的正负决定． 因此，对a要分a≤0和a>0进行考虑．
情况1
当a≤0时，如图1． f（x）＝（x－a）2lnx（a∈R）的图象过定点（1，0），位于y轴右边且在（0，+∞）上单调递增．此时在（0，3e］上f（x）最大值为f（3e）=（3e－a）2ln3e＞18e2．
所以a≤0不合题意．
对于a>0， f（x）＝（x－a）2lnx（a∈R）的图象位于y轴右边，x∈（0，1）时图象在x轴下方，x∈（1，+∞）时图象在x轴上方，且过定点（1，0）及（a，0）．
这两定点是图象的关键点，由于a与1的大小关系不知，故（a，0）与（1，0）相对位置也不能确定．
因此对a进行分类讨论．
即分为01两个类别．
图1
图2
情况2
当0
回归代数
当a>1时，在（0，1］上图象位于x轴下方，在（1，+∞）上图象虽然位于x轴上方，但图象又要过定点（a，0），因此，图象在（1，+∞）上肯定不具单调性．
从函数表达式的结构形式来看，函数的单调性并不明显，用什么方法研究函数的单调性呢? 针对函数式的特征，需要用导数的方法对函数作进一步的探索．
考察f ′（x）=（x－a）2lnx+1－，由（x－a）2lnx+1－=0得两个极值点x1=a和x2，x2满足2lnx+1－=0，接着就要问：这两个极值点的位置怎样？x2虽然由2lnx+1－=0确定，但无法求出． 好多考生解题思维就在这里被“卡住”． 若将2lnx+1－=0作适当的变形，得a=2x2lnx2+x2，这样就不难由a>1推出a>x2，其中x1=a是极小点，x2是极大点，且极大值f（x2）=4xlnx2．
由此我们又进一步描绘f（x）＝（x－a）2lnx，a>1的图象，如图3，同时还发现函数a=2x2lnx2+x2和f（x2）=4xlnx2在（1，+∞）上都是单调递增的，即a越大x2越大， f（x2）也越大．
特殊探路
对于a>1，在图3中，函数f（x）在（0，3e］上哪个位置达到最大值？因为f（x）在（0，1］上函数值非正数，在（1，3e］上函数值为正数，所以f（x）的最大值一定在（1，3e］上达到． 在x=x2处还是在x=3e处达到最大值呢？这需要判断3e，x2，a三者的大小关系． 第2问的求解目标是：“求实数a的取值范围，使得对任意的x∈（0，3e］，恒有f（x）≤4e2成立”，第1问求得的结果是：当a=3e时，x=e是它的极大值点．此时的极大值刚巧为4e2． 是一种巧合吗？由此猜想f1（x）=（x－3e）2lnx是一个非同小可的函数，不妨作出其图象，如图4． 对于a>1情况下的f（x）＝（x－a）2lnx的图象特征都以它为“基准”作进一步探究．
图3
图4
第1问的结果对第2问的解决有很大的启发和帮助作用，第1问的设置为第2问埋下了很好的伏笔，可惜多数考生都没有发现或用好这条有重要价值的信息．
完美图象
如何比较“完美”地描绘f（x）=（x－a）2lnx（a>1）的图象特征？以（3e，0）为“基准点”，对（a，0）的位置进行分类讨论，再结合“a越大x2越大， f（x2）也越大”描绘其图象．
情况3
当3e8e2．
情况4
当x2f（e）=4e2．
由情况3、情况4可得3e 情况5
当3e≥a>1时，如图7，则有f（x2）