【摘要】本文对理论力学教材中关于平面运动的一道习题进行了详细的分析，指出了原文求解中不妥之处，并给出了正确的解法。 【关键词】理论力学；刚体平面运动；解法
刚体平面运动是理论力学教学中一个重点内容，有关平面运动的习题在教材中所占比重也较大。文献[1]可堪称经典教材，但笔者在教学中发现该书关于平面运动的习题中有一道题答案似乎有些不妥。通过查阅其它学习辅导书[2]发现，对该题的解答也存在问题。故本文主要对该题做详细分析，给出正确结果。
1.题目
半径为的球，以初速及初角速抛掷于一倾角为的斜面上，使其沿着斜面向上滚动。如?，其中的方向使球有向下滚动的趋势，且摩擦系数?，试证经过的时候，
球将停止上升。
2.对原解的分析
2.1 原解
文献[2]给出的解答如下：
如图1所示，坐标（轴垂直直面向外）不与圆柱固连，是固定坐标系。由，所以圆柱与斜面接触的边缘有相对与斜面向上的运动趋势，所以斜面对圆柱的摩擦力沿斜面向下。
对圆柱：
④
由①②③④式得：
⑤
设从到的过程中，圆柱的速度从变到，角速度从变到，所以：
⑥
⑦
2.2 对原题解答的分析
根据原题受力分析可知，柱体在x方向的分力为和摩擦力f，方向均沿斜面向下，所以从到的过程中，圆柱的速度可以从变到。但是，从力矩方面分析，柱体所受力只有摩擦力对柱体质心轴的力矩不为零，且力矩方向是垂直纸面向里，即与初角速度方向相同。这样，摩擦力矩会使圆柱体加速转动，而不是使其角速度从变到。显然，原题解答中：设从到的过程中，圆柱的速度从变到，角速度从变到，这句解释是错误的，从而⑥⑦两式自然也是错误的。另外，从④式分析，也可以发现问题。由于角速度在减小，所以④式等号左边是大于0的数，而④式等号右边是小于0的数，显然方程两边不等，由此得到的结果⑦式必然不对。笔者认为原解之所以错误，主要是对初角速度方向分析有误。
3.本文解
题目中的方向使球有向下滚动的趋势，说明初角速度方向应该是垂直纸面向外的，如图2所示。由于圆柱体与斜面接触点P的速度方向沿斜面向上，所以摩擦力方向依然沿斜面向下，此时摩擦力对柱体质心轴的力矩方向依然是垂直纸面向里，即与初角速度方向相反。这样，摩擦力矩会使圆柱体减速转动，使其角速度从变到。
对圆柱：
⑧
由①②③⑧式得：
⑨
设从到的过程中，圆柱的速度从变到，角速度从变到，所以：
⑩
4.结论
综上所述，笔者认为本题的题设条件没有错误，错误在结论，应将“试证经过的时候，球将停止上升”改为试证经
过的时候，球将停止上升”。
参考文献
[1]周衍柏.理论力学教程[M].北京:高等教育出版社,2009:178.
[2]张宏宝.理论力学教程学习辅导书[M].北京:高等教育出版社,2004:97-98.
作者简介：王耘涛（1973―），男，内蒙古通辽人，内蒙古民族大学讲师，主要研究方向：机械力学设计及材料成形。