【摘要】本教学设计是对选修2-1P71例6题稍作改编为切入点，利用几何画板演示图像，主要是起到抛砖引玉的作用，并以此为线索展开有关抛物线切线问题的自由讨论，给学生以自由想象的空间，把他们所感兴趣的问题自己提出来并加以解决，提高学生自主学习与探究能力，落实高效的高考二轮复习课堂。
【关键词】抛物线切线 教学设计 探究 高效课堂
【设计前提】
教学过程应该从学生熟悉的实际背景出发，注重数学思想的渗透，在探索过程中先特殊后一般的处理方法。不断地提供给学生自主探索的机会，既关注了学生的认识基础，又促使学生在原有认识基础上获取知识，提高思维能力，符合学生的认识规律。整个教学流程的完成需要以下几个方面的教学支持：
1．教师方面：教师设置符合教学内容的教学情境，激发学生学习兴趣，根据学生的实际认识水平，恰时恰点的提出问题。在学生原有的认识基础上，提供给学生自主探索的时间与空间；
2．学生方面：学生已经系统的经过高三第一轮复习；
3．媒体方面：借用《几何画板》等现代信息技术。
【目标定位】
1.通过探究发现与抛物线切线有关的问题及规律；
2.通过研究抛物线的切线问题，培养学生的观察、抽象、分析、推理、论证及综合运用认识进行解题的能力；
3.培养学生设计问题与问题归类能力；
4.探索高三二轮复习的有效问题。
【探究过程】：
一、源于课本
【问题】已知抛物线C的方程是x2=4y，过点P(,-1)且斜率为k的直线l,当k为何值时，直线l与抛物线C有两个交点.
【设计意图】把选修2-1课本P71例6改变，目的能更好的把导数结合在一起，使问题的入口更宽，并且为下面做进一步探究做准备。
S：直线l：y=k(x-)-1代入x2=4y
得x2-4kx+6k+4=0 △=16k2-24k-16>0
∴k2时直线l与抛物线C有两个交点；
T：当k为何值时，直线l与抛物线C相切，并求切线方程。
S：∵直线l与抛物线C相切∴△=16k2-32k-16=0
k=-或k=2时直线l与抛物线C相切，其切线方程为:y=k=-x-或y=2x-t
T：谁有不同的解法吗？
S：利用导数的几何意义，设切点为A（t,）,y"=则切线方程为：y-=(x-t)
∵切线过点P(,-1)∴t2-3t-4=0解得t=-1或t=4
∴k=-或k=2时直线l与抛物线C相切，其切线方程为:y=-x-或y=2x-4
T：求过切点A、B的直线方程。
S：切点A(4，4)，B(-1，)，
由直线方程两点式得lAB：yx+1。
二、深入探究
T：几何画板演示：请大家仔细观察，当点P在准线上移动时，
发现什么问题，请设计一些数学问题。
【设计意图】当点P在准线上移动时直线AB恒过焦点F,从而激起学生疑问，激发学生的求知欲；为学生提供自主学习的空间，增强观察能力，应用意识，设计数学问题的能力，同一问题不同设问的意识，激发学生学习数学的兴趣，发展学生的创新意识。
S：发现直线恒过点F，问题可设计为：
【题1】过抛物线C：x2=4y准线上的动点P作抛物线的两条切线，切点分别是A、B，求证：直线AB恒过抛物线C的焦点F.
T：分析1：设动点P(n,-1)，易知切线的斜率存在记为k，A(x1,y1)、B(x2,y2)
则切线方程是y=k(x-n)-1代入x2=4y得：x2-4kx+(4kn+4)=0
∴即△=16k2-16(kn+1)=0，即k2-nk-1=0
∴k1+k2=n，k1•k2=-1,x1=2k1,x2=2k2
而lAB:y-y1=(x-x1)?圯y-=
?圯x-
令x=0得：y==-k1•k2=1
∴直线AB恒过点F(0，1)
分析2：设切点为A（t,）,y"
∴切线方程为：y=-=(x-t)
∵切线过点P(n,-1)，∴-1-=
化简得t2-2nt-4=0，
∴x1,x2是方程x2-2nx-4=0的两个根，
x1+x2=2n,x1•x2=-4
而lAB:y-y1=(x-x1)令x=0得：Y==1
∴直线AB恒过点F(0，1)
S:从这个问题的逆命题考虑:
【题2】过焦点F(0,1)的直线l交抛物线C：x2=4y于A、B两点，在抛物线A、B两点处的切线交于点P，问点P是否在此抛物线的准线上。
T：分析：易知直线l的斜率存在记为k,记A(x1,y1)、B(x2,y2)
lAB:y=kx+1代入x2=4y得x2-4kx-4=0，
∴x1+x2=4k,x1•x2=-4而kAP=,kBP=，则
∴lAP:y-=(x1-x2)………①
lBP:y-=(x1-x2)……………②
由①②解得x==2ky==-1, ∴P(2k-1)
∴点P在抛物线的准线上。
S：从点P的横坐标出发，问题可设计为：
【题3】过焦点F(0,1)的直线l交抛物线C：x2=4y于A、B两点，在抛物线A、B两点处的切线交于点P，则A，P，B三点的横坐标成等差；
S：【题4】求三角形ABP重心的轨迹方程；
S：【题5】求证：三角形ABP为直角三角形；
S：由上两位同学的问题提示，可设计为：
【题6】求三角形ABP外心的轨迹方程；（因外心是弦AB的中点）
S：【题7】求证FP⊥AB；(kFP=-)
S：【题8】求三角形ABP面积的最小值；
(S△ABP=|AB|•|FP|)
T：【题9】过点P作此抛物线准线的垂线交抛物线于E，在点E处的抛物线的切线与直线AB平行；
T：【题10】以点F为圆心|OF|为半径作圆交直线l于C、D两点，则|AC||BD|为定值；求S△ACP+S△BDP的最小值；
分析：|AC|•|BD|=（|AF|-R）（|BF|-R）
=y1•y2==1
S△ACP+S△BDP=(|AC|+|BD|)-|FP|
≥•|FK|=1×2=2
三、问题一般化
T：若把上面的抛物线方程改为一般方程x2=2py即：过焦点F(0,)的直线l交抛物线C：x2=2py于A、B两点，在抛物线A、B两点处的切线交于点P.那么上面的结论还成立吗？问题还可以解决吗？
【设计意图】通过一般性研究，使学生体会到思维的有序性和表达的条理性。使学生体会分类讨论思想，综合分析解决问题能力，培养学生的灵活思维品质，促进思维的创新，落实数学基本思想与数学建模思想。
S：是的，只是把上面的有些2换成P
即：x1+x2=2pk，x1•x2=-p2,kAP=,kBP=
点P坐标满足x==pky==-,p(pk,-)，所以问题都可以解决，结论都成立。
T：若把上面的焦点F改为点M(0,m)即：
过点M(0,m)的直线l交抛物线C：x2=2py于A、B两点，在抛物线A、B两点处的切线交于点P，情况又如何呢？
分析：易知直线l的斜率存在记为k,记A(x1,y1)、B(x2,y2)
lAB:y=kx+m代入x2=2py得x2-2pkx-2pm=0，
∴x1+x2=2pk.x1•x2=-2pm而y"=，
则kAP=,kAP=
∴lAP:y-=(x-x1) ……………①
lBP:y-=(x-x2) ……………②
由①②解得 ，∴点P是在直线 上。
S：【题2】、【题3】、【题9】成立；【题4】可以解决
∵p(pk,-m)
三角形ABC重心为G(x,y)
满足x==pky===-
消去k即得三角形ABC重心的轨迹方程为
y=+；
S：【题5】不成立会导致【题6】难以解决；而【题7】不成立对【题8】影响不大；
S：【题10】前一问不成立，后一问就不能利用前一问的结论，这样后一问的解题方法就与【题8】一样解决，就失去了存在的价值；
T：问题5不成立那么∠APB是钝角还是锐角呢？
S：∴=(-1,-kPA)，=(1,kPB),∴=(-1,),=(1,)
∴cos=
=
当2m>p时为锐角；当2mp时,cos