“求曲线的方程”是解析几何内容高考热点之一，也是高考得分的关键点．求曲线方程问题主要包括以下两类问题：一是求动点的轨迹方程问题；二是求某些具体曲线（直线、圆、椭圆等）方程问题．下面着重介绍求动点的轨迹方程的基本方法、以及动点轨迹方程的应用．
一、 求动点轨迹方程的基本方法
求动点的轨迹方程的基本方法是：通过建立适当的坐标系，依据动点的特点，确定动点坐标所满足的等量关系，最终通过化简求出动点的轨迹方程．其解题的基本步骤为：建系、设点、找动点所满足的限制条件、将动点坐标代入限制条件、化简方程，可以简记为：建、设、现（限）、代、化．
例1 （2005年高考江苏卷试题）如图1，圆O??1?与圆O??2?的半径都是1，O??1?O??2?＝4，过动点P分别作圆O??1?、圆O??2?的切线PM，PN（M，N分别为切点），使得PM＝2PN，试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程．
图1
分析：（1） 欲求点P的轨迹方程，首先需要做什么？（建立坐标系．）
（2） 如何建立坐标系？（应考虑条件中两圆的对称性，以直线O??1?O??2?为x轴、线段O??1?O??2?的中点为原点建立直角坐标系，如图2所示．）
图2
（3） 如何建立等量关系？(利用条件PM＝2PN．)
（4） 怎样对等式PM＝2PN进行变形？
（将PM＝PO?2?1-O?1M?2，PN＝PO?2?2-O?2N?2代入到PM＝2PN，化简，就得到点P的轨迹方程为(x―6)??2?＋y??2?＝33．）
例2 已知动点P(x，y)到坐标原点O的距离的平方与它到直线l：x＝m（m为常数）的距离相等．
（1） 求动点P的轨迹方程C；
（2） 就m的不同取值讨论方程C的图形．
解：（1） 因为动点P(x，y)到原点的距离为PO＝x?2+y?2，所以(x?2+y?2)??2?＝|m－x|，
即x??2?＋y??2?＝|m－x|，所以，动点P的轨迹方程C为x??2?＋y??2?＝|m－x|．
（2） 由x??2?＋y??2?＝|m－x|两边平方，移项并分解因式，得(x??2?＋y??2?－m＋x)(x??2?＋y??2?＋m－x)＝0，
∴x＋12??2?＋y??2?＝14＋m或x－12??2?＋y??2?＝?14－m，?
① 当14＋m＞0且14－m＞0，即－14＜m＜14时，点P的轨迹方程C表示的图形是两个圆．
② 当m＝14或m＝－14时，点P的轨迹是一个圆和一个点；
③ 当m＜－14或m＞14时，点P的轨迹是一个圆．
例3 （2010年江苏高考试题）在平面直角坐标系xOy中，如图，已知椭圆x?29＋y?25＝1的右顶点为B，右焦点为F．设动点P满足PF??2?－PB??2?＝4，求点P的轨迹．
图3
分析：本题以椭圆为背景，给出两个定点F，B，一是椭圆的右焦点，另一个是椭圆的右顶点．而动点P满足关系PF??2?－PB??2?＝4，于是，可利用求轨迹方程的基本方法来解决．
解：（1） 设点P (x，y)，由已知，得F(2，0)，B(3，0)．
由PF??2?－PB??2?＝4，得［(x―2)??2?＋y??2?］－［(x－3)??2?＋y??2?］＝4，
化简，得x＝92．故所求点P的轨迹为直线x＝92．
说明：要注意区分轨迹和轨迹方程这两个概念．轨迹是指动点运动所留下的痕迹，是一种几何表示；而轨迹方程，则是研究动点坐标所满足的代数方程，是一种代数表示．
二、 动点轨迹方程的应用
对于研究动点的轨迹问题，在高考命题时，不仅会命制像例1、3这类直接求动点轨迹方程的试题，还会出现一些较为“隐蔽”的求轨迹问题，请看下面的例题．
例4 （2008年江苏高考题）满足条件AB＝2，?AC＝2BC的?三角形ABC的面积的最大值．
分析1：本例的基本解法是：直接构造三角形ABC面积的目标函数S??△ABC?＝12AB•BC•sinB．即首先设出BC的边长（不妨设为x），就可以得到AC＝2x，并通过三角形中“两边之和大于第三边”确定自变量x的函数；然后，将sinB转化成cosB，由余弦定理用x表示cosB，从而用x的函数f(x)表示三角形ABC面积关于，最终求出函数f(x)最大值．
解法一：设BC＝x，则AC＝2x，由三角形三边关系，得2x+x＞2?x+2＞2x,解得22－2＜x＜22＋2．
根据面积公式得S??△ABC?＝12AB•BC•sinB＝x1-cos?2x，
根据余弦定理，得cosB＝AB?2+BC?2-AC?22AB•BC＝4+x?2-2x?24x＝4-x?24x，代入上式，得
S??△ABC?＝x1-4-x?24x?2＝-x?4+24x?2-1616＝?-(x?2-12)?2+12816，
故当x＝23∈(22－2，22＋2)时，S??△ABC?取最大值22．
问题：上面的这一种解法，比较多地利用“形”来研究问题，通过构造三角形面积目标函数来解决问题．除了这种解法之外，还有其他的解法吗？
分析2：我们知道：在研究解决具体的数学问题时，我们通常可以通过“数”与“形”这两个角度来研究问题．我们还可以通过研究动点C的特点――直接求出动点C的轨迹方程，从而通过求出动点C到AB距离的最大值，来求出三角形面积的最大值．
解法二：以线段AB的中点为原点、建立如图所示的直角坐标系，则A(－1，0)，B(1，0)，设C(x，y)，由AC=2BC，得(x＋1)??2?＋y??2?＝2［(x－1)??2?＋y??2?］,整理得(x－3)??2?＋y??2?＝8(y≠0)，所以，点C的轨迹为：以M(3，0)为圆心、22为半径的圆（除去x轴上的点）．所以当C在(3，±2)处时，△ABC面积最大，为22．
图4
总结：2008年高考这道题的正确率很低，得分率仅为0.2左右．究其原因，是很多考生直接利用“解法一”求解、未能把所求的问题转化成求点C的轨迹方程问题，因而未能求解出正确答案．可见，巧妙地应用轨迹方程可以简化解题过程．
（责任编辑：孙鹏刚）?