解决几何概型的问题，常常需要构建一些概率模型，将概率的问题，转化为线段的长度比、图形的面积比、角度比、几何体的体积比来求概率。但在解决问题的时候，一定要注意事件是怎样形成的，正确理解概率发生满足的条件，准确选择对应的概率模型进行计算。
例1 如图1，在矩形ABCD中，AB=23，BC=2，对角
线AC，BD相交于O，将两对角线分成的四个区域内分别涂上
红、黄、蓝、黑，在O点处装一指针，使其可以在平面ABCD
内自由转动，则指针停下时，指针落在红色区域的概率为()
?A.?14 ?B.? 13 ?C.? 38 ?D?．38
错解 构建面积模型求概率。设指针落在红色区域记为事件A，又红色区域的面积为整个区域面积的14，故所求事件A的概率为P(A) = 14，故答案选?A。?
正解 构建指针转过的弧度比值，求概率。
因为∠COD=2?π?3,周角为2?π?，
所以P(A)=2?π?32?π?=13，故答案选?B?。
辨析 本题求的是，当指针作圆周运动时，指针落在红色区域的概率，所以应用指针旋转的角度来刻画概率，而不能用面积的大小来刻画。
变式对照 如图2，在矩形ABCD中，AB=23，
BC=2，对角线AC，BD相交于O，将两对角线分成的四
个区域内分别涂上红、黄、蓝、黑，现随机均匀地向矩
形ABCD内部撒沙粒，则沙粒落在红色区域的概率为（）
?A.?14?B.? 13?C.? 38?D.?38
（提示：P(A)=S??ΔCOD?S??矩形ABCD?）。
例2 如图3所示，在直角三角形ABC中，∠A=30°，过直角顶点C作射线CM交线段AB于M，求使AM>AC的概率。
错解 构建线段长的比值求概率。
记AM>AC为事件A，设BC=a，
因为ΔABC为直角三角形，且∠A=30°，
所以AB=2a，AC=3a，则MB=AB－AM=2a－3a,
那么AM>AC的概率
P(A)=MBAB=2a－3a2a=2－32≈0.134。
正解 构建角度的比值求概率。
记AM>AC为事件A，由题意，在△ABC中，?∠ACB=90°?,当AM=AC时，∠ACM=75°,当AM>AC时，∠BCM=15°=?π?12,由几何概型的概率知：
P(A)=∠BCM∠ACB=?π?12?π?2=16≈0.167。
辨析 两种解法的不同之处在于理解事件发生的过程是不同的。误解的过程，只考虑了M在AB上运动，求满足AM>AC的概率，没有考虑M是怎样产生的。正解准确地反映了题意，即过C作射线CM交线段AB于M，当射线CM绕点C旋转时，求AM>AC的概率。因此是用CM旋转的角度来刻画概率。
变式对照 如图3所示，在直角三角形ABC中，?∠A=30°?，当M在AB上运动时，求使AM>AC的概率。（提示：概率为P(A)=MBAB）
例3 （2011年湖南卷•文15)已知圆C:x?2+y?2=12,直线l:4x+3y=25。则圆上任意一点到直线的距离小于2的概率为。
错解 构建长度之比求概率。如图4，
由点到直线的距离公式得
d=254?2+3?2=5>12，
圆心O到直线的距离为5，圆上一点到l时4x+3y=25
的最大值为n=r+d=12+5，则所求圆上任意一点到
直线的距离小于2（m=2）的概率为：P=mn=212+5≈0.2363。
正解 由点到直线的距离公式得d=254?2+3?2=5。知圆心到直线的距离为5，要使圆上的点A到直线l的距离小于2，只需过A作l?1∥l,使l?1与l的距离为2，则l?1与圆相交于B，所得劣弧AB上的点到l的距离小于2。由半径为OA=23，圆心到直线l?1的距离为OC=3，劣弧AB对的圆心角为?π?3，故所求概率为P=?π?32?π?=16≈0.1667。
辨析 错解把基本事件看成是两平行线间的距离，用两平行线间的距离替代了题意中圆上的点到直线的距离。因为当平行线l?1向l平行移动时，除了和圆相交的交点到直线l的距离小于2外，还存在不在圆上的点，也满足到直线l的距离小于2，因而概率是不等的，且错解的概率要比正解的概率大。
例4 在半径为1的圆内任取一点，以该点为中点作弦，则其长超过3概率是（）
?A.?13?B.?14?C.?12?D.?15
错解 如图5，作圆O的内接正三角形ABD，
连接DO延长交圆于C，因为OD=1，易知OE=12，
AB=3，在OC上任取一点P，当P在CE上运动
时，以P为中点的弦都比AB短，当P在OE上运
动时，以P为中点的弦都比AB长，由于
P是圆内任意一点，则所求概率为：P=2CE2OC=12，
故答案选?C?。
正解 如图5，正ΔABD的内切圆O的半径
OE=12，其面积为S?1=?π?4，若在ΔABD的内切圆
O内任取一点P，以P为中点的弦MN都有MN>AB。
如图6，因而所求概率P=S??1?S??圆O?=?π?4?π?×1=14，故答案选?B?。
变式对照 在半径为1的圆上随机取一条弦，则弦长超过圆内接等边三角形的边长的概率是()
?A.?13?B.?14
?C.?12?D.?15
解析 构建圆心角的弧度比求概率。如图7，
作圆内接正三角形BCD，设B点不动，点E在
劣弧BC或BD上运动，弦长BE小于正ΔBCD的
边长BC，当E在劣弧CD上运动时，弦BE的长
大于正ΔBCD的边长，所以所求概率为：
P=劣弧CD的弧长圆O的弧长=2?π?32?π?=13。
辨析 例4的错解在于，将圆内的任意一点，固定在圆内的一条直径上运动，使其任意性发生了改变。正解满足的是只要点P取在正ΔABD的内切圆内，那么以P为中点的弦都大于正ΔABD的边长，而在正ΔABD的内切圆外的点P，以P为中点的弦长都小于正ΔABD的边长。例4与变式对照不同，例4是过圆内的点作一条弦，变式对照是在圆上取两点作弦。
在求解几何概型的概率时，模型的构建是求解概率的关键，而对题意的准确理解，又是获取正确的概率模型的前提，同学们要仔细研究题意，认真类比对照，抓住概率形成的过程，使构建出的模型能准确地反映事件的概率。
（作者单位：江西省赣州市第一中学）