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江苏省2010届高三数学冲刺过关（8）
江苏省2010届高三数学冲刺过关（8）

江苏省2010届高三数学冲刺过关（8）

1．在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且 ．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）若m ，n ，试求|m n|的最小值．

 

 

 

 

 

 

 

 

2 口袋中有质地、大小完全相同的5个球，编号分别为1，2，3，4，5，甲、乙两人玩游戏：甲先摸出球，记下编号，放回后乙再摸球，记下编号，两个编号的和为偶数算甲赢，否则算乙赢．（Ⅰ）求甲赢且编号的和为6的事件的概率；

（Ⅱ）游戏规则公平吗?试说明理由．

 

 

 

 

 

A

B

C

D

D1 C1 B1 A13．直棱柱 中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD＝∠ADC＝90°， ．（Ⅰ）求证：AC⊥平面BB1C1C；（Ⅱ）在A1B1上存一点P，使得DP与平面BCB1与平面ACB1都平行？证明你的结论．

 

 

 

 

4．已知函数 （a＞0，且a≠1），为常数．  是增函数，且 零点（ 为 的导函数）．（Ⅰ）求a的值；

（Ⅱ）设A（x1，y1）、B（x2，y2）（x1<x2）是函数y＝g（x）的图象上两点， （  为 的导函数），证明： ．

 

 

 

 

 

 

 

 

5．已知 的展开式中前三项的系数成等差数列．

（Ⅰ）求n的值；（Ⅱ）求展开式中系数最大的项．    

 

 

 

 

 

 

参考答案

1.解：（Ⅰ） ，………………3分

即 ，

∴ ，∴ ． ………………………5分

∵ ，∴ ．……………………7分

（Ⅱ）m n ，

|m n| ．10分

∵ ，∴ ，∴ ．

从而 ．……………………………12分

∴当 ＝1，即 时，|m n| 最小值 ．………13分

，|m n| ．……………………………………14分

评讲建议：

    本题主要考查解三角形和向量的运算等知识，要求学生涉及三角形中三角恒等变换时，要从化角或化边的角度入手，运用正弦定理或余弦定理化简变形；在小题中，要强调多元问题的消元意识，进而转化为函数的最值问题，注意定义域的对结论的，并指明取最值时变量的取值．

2.解：（I）设“甲胜且两数字之和为6”为事件A，事件A包含的事件为

（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1），共5个．…………2分

又甲、乙二人取出的数字共有5×5＝25（个）等的结果， …………4分

． ……………………………………………………………6分

答：编号的和为6的概率为 ．………………………………………………………7分

     （Ⅱ）游戏规则不公平．…………………………………………………………9分

设“甲胜”为事件B，“乙胜”为事件C， …………………………………10分

则甲胜即两数字之和为偶数所包含的事件数为13个：

（1，1），（1，3），（1，5），（2，2），（2，4），（3，1），（3，3），（3，5），

（4，2） ，（4，4），（5，1） ，（5，3），（5，5）．

甲胜的概率P（B）＝ ，从而乙胜的概率P（C）＝1－ ＝ ．14分

P（B）≠P（C），游戏规则不公平． ……………………15分

评讲建议：

    本题主要考查古典概率的计算及其知识，要求学生列举，书写规范．注意此类问题的答题格式：设事件、说明概型、计算各事件种数、求值、作答．

引申：连续玩此游戏三次，若以D表示甲赢一次的事件，E表示乙赢两次的事件，试问D与E为互斥事件?为?（D与E互斥事件．事件D与E可以，如甲赢一次，乙赢两次的事件即符合题意；亦可分别求P（D）、P（E），由P（D）＋ P（E）>1可得两者一互斥．）

3.证明：（Ⅰ） 直棱柱 中，BB1⊥平面ABCD， BB1⊥AC． ………2分

又 ∠BAD＝∠ADC＝90°， ，

∴ ，∠CAB＝45°，∴ ，  BC⊥AC．……………………5分

又 ， 平面BB1C1C，  AC⊥平面BB1C1C．  ……7分

（Ⅱ）点P，P为A1B1的中点． ……………………………………………8分

证明：由P为A1B1的中点，有PB1‖AB，且PB1＝ AB．…………………………9分

又∵DC‖AB，DC＝ AB， DC ∥PB1，且DC＝ PB1，

∴DC PB1为平行四边形，从而CB1∥DP．…………………………………11分

又CB1 面ACB1，DP 面ACB1， DP‖面ACB1．……………………13分

同理，DP‖面BCB1．…………………………………………………………14分

评讲建议：

本题主要考查线面平行、垂直的的判定和证明等知识，小题要学生挖掘直角梯形ABCD中BC⊥AC，小题，要求学生熟练常用结论：若一直线与两相交平面相交，则这条直线与这两平面的交线平行；注意问题的逻辑要求和答题的规范性，这里只需要指出结论并验证其性即可，当然亦可以先探求结论，再证明之，这事实上证明了结论是且必要的．

变题：

求证：（1）A1B⊥B1D；（2）试在棱AB上一点E，使A1E∥平面ACD1，并说明理由．

4.解：（Ⅰ） ，

． ………………………………3分

h（x）在区间 上是增函数，

在区间 上恒成立．

若0<a<1，则lna<0，于是 恒成立．

又 正零点，故△＝（－2lna）2－4lna＝0，lna＝0，或lna＝1与lna<0矛盾．

a>1．

由 恒成立，又 正零点，故△＝（－2lna）2－4lna＝0，

lna＝1，即a＝e． …………………………………………………………7分

（Ⅱ）由（Ⅰ）， ，于是 ， ．………………9分

证明 ．      （※）

（※）等价于 ． ………………………………11分

令r（x）＝xlnx2－xlnx－x2＋x，………………………………………………13分

r ′（x）＝lnx2－lnx，在（0，x2］上，r′（x）>0，r（x）在（0，x2］上为增函数．

当x1<x2时，r（x1）< r（x2）＝0，即 ，

从而 证明．…………………………………………………………15分

同理可证…………………………………………………16分

．

评讲建议：

此题主要考查函数、导数、对数函数、二次函数等知识．评讲时注意着重导数在函数中的应用．本题的小题是常规题容易，小题是以数学分析中的中值定理为背景，作辅助函数，导数来函数的性质，是近几年高考的热点．小题还可以证明：

要证明 ，只要证明 >1，令 ，作函数h（x）＝t－1－lnt，下略．

5.解：（Ⅰ）由题设，得 ， ……………………………………3分

即 ，解得n＝8，n＝1（舍去）．………………………………4分

（Ⅱ）设第r＋1的系数最大，则 ………………………………6分

即  解得r＝2或r＝3． …………………………………8分

系数最大的项为 ， ．……………………………………10分

说明：二项式定理，展开式的通项及其常见的应用．

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