摘 要: 提出了基于最大Lyapunov指数的改进混沌时间序列预测方法来实现采空区地表移动变形预测。最大Lyapunov指数是一个从整体上表征系统特征的统计量，故其误差较大。原预测方法在重构相空间时参考单个邻近点，若参考多个邻近点可以在一定程度上减小预测误差。依据实例进行了地表移动变形预测及误差分析，并对变形混沌程度以及变形预测时段的确定进行了研究，对采空区土地合理利用具有一定的价值。
关键词: 地表移动变形 混沌时间序列 预测
Abstract: this paper accroding to the example to analyzed the Ground movement and deformation prediction and error, and discussed the deformation degree of chaos, as well as deformation of the forecast period, the rational use of the Mined Land has a certain value. Key words: ground movement and deformation; chaotic time series; forecast
中图分类号：P427.2+3文献标识码： A 文章编号：2095-2104（2012）02-0020-02
采空区地表移动变形系统是一个复杂开放的系统。传统的理论认为系统的移动变形是由外部的随机干扰引起的，通常人们使用确定性方法、随机性方法或两者相结合来研究变形的确定性规律和随机性规律。采空区地表移动变形系统同时也是一个动态非线性复合系统，它不仅具有耗散性，而且既表现出随机性又表现出确定性，传统的方法忽视了非线性动力系统本身对误差的放大作用，故对事物变化的规律不能够形成正确的认识，建立的预测模型也就不够合理。应用相空间重构技术，把变形时间序列嵌入到重构相空间，揭示出变形动力系统的复杂运动特征，从复杂变形系统中发现其内在的、有序的、确定性规律。耗散是一种整体性的稳定因素，它使得运动轨道稳定地收缩到吸引子上。系统在相空间体积收缩的同时，沿某些方向的运动又是不稳定的，不稳定的轨道在局部看来总是指数分离的。所以动力系统一方面作为耗散系统最终要收缩到吸引子上，另一方面运动轨道又会沿某些方向指数分离。Lyapunov指数可以用来区分规则、混沌和随机三类运动，其数值的大小可以判断系统的混沌程度，它是描述系统在相空间中相邻轨道的相体积指数发散速率的量[1]。而且通过计算最大Lyapunov指数的倒数可以确定系统的最大可预测时间，从理论上解决预测时段的确定问题[2]。基于最大Lyapunov指数的混沌时间序列预测是根据数据序列本身计算出来的客观规律，而不是通过选取主观模型，因此可以得到较好的预测效果。
1 引言
在实际工程中由于各种条件的限制，通常只能得到描述变形系统状态的一种变量的数据。严格来说，纯粹的混沌和纯粹的随机都是理想化的，我们得到的单变量时间序列既有确定性的成分，也有随机性的成分。对于这样的有限长时序，我们不可能绝对地分辨出其是随机的还是混沌的，但是可以在一定的置信度上判断这个时序更接近哪种性质的时间序列。一般认为实测时序如果是随机序列，应采用统计学方法加以研究，如果序列是低自由度的确定性混沌，则系统必是存在非线性机制的耗散系统。在这种情况下不论多么高阶次的线性模型都不可能对该系统的行为做出恰当的解释；相反，一个成功的低阶非线性模型或许能很好地刻画该系统。因此，如何根据得到的时序来确定一个系统的混沌程度，对认识事物变化的规律及建立合理的模型来描述这种变化具有重要意义。
实测时序是采空区多种影响因素的综合反映，它蕴藏着地表动态变化的其它全部变量的痕迹，对时序进行混沌分析可以寻找有关量的变化规律，建立数学模型，从而获取系统的相关信息，预测未来的动态。文献[3-4]研究了老采空区上方地表变形的混沌特性及时变规律，把混沌理论引入到老采空区稳定性分析领域；文献[5]进行了试验发现井筒变形系统是一个混沌系统，最大Lyapunov指数可以作为变形体内部不同部分动态变形状态的指标。
已有的基于最大Lyapunov指数的混沌时间序列预测方法是通过选取重构相空间中的单个邻近点进行的，但最大Lyapunov指数只是一个整体上的统计量，因此使用原有预测方法可能产生较大的误差。本文提出了一种通过参考多个邻近点来减小预测误差的方法来尝试减小预测误差。
2 变形混沌程度的确定
确定系统混沌程度的前提是相空间重构，即由低维时间序列重构出一个多维的确定性相空间。关联维数是对相空间中吸引子复杂度的度量，同时也是一种用于混沌识别的方法。对于随机序列，随着嵌入维数的升高，关联维数沿对角线不断增大，而对于混沌序列，随着嵌入维数的升高，关联维数会出现饱和现象[1]。关联积分的定义为：
（1）
式中：为总相点数；为Heaviside函数，；为维相空间中的两个相点和之间的欧氏距离；为给定的正小数，称为临界距离，凡是距离小于的向量称为关联向量。关联积分在一定范围内有，则称为关联维数，两边取对数，取极限得。随着的增加，关联维数也增大，当超过嵌入吸引子的相空间维数上界后，将不随的增大而改变，并趋向于饱和值，它所对应的为饱和维数，即确定的相空间的嵌入维数。最大饱和嵌入维数只能定量地给出影响因素的数目，具体影响因素的确定可以通过粗糙集和主成分分析等方法解决[6]。
3 混沌时间序列预测算法
3.1 原预测方法及问题分析
混沌时间序列研究复杂系统主要是采用相空间重构，其理论基础是Takens提出的嵌入定理[7]。当嵌入维数足够大时，可以恢复原有系统的动力学特征，具体做法如下：设时间序列 N为初始时间，为采样间隔，重构相空间向量
。其中和分别为时间延迟和嵌入维数 [8]，预测时刻的值。相空间重构后，寻找的最近邻点。设最大Lyapunov指数为，由于是邻近轨道指数发散的平均速率，则
（2）
中只有最后一个分量未知，则预测值为
（3）
上述算法存在的问题主要有：
1)存在第一预测值和第二预测值。
2)每个相邻点对的指数发散速率不一样，直接使用平均值欠妥当。
3.2 算法的改进
设重构的相空间中离最近的个点为与（）按指数速率分离，有
（4）
展开可以得到
（5）
令
则
（6） 式（6）对均成立。
对个等式消去化简得到预测值为：
（7）
其中
，。
与原预测方法相比，改进方法只有一个预测结果，同时选取了多个邻近点，有可能减小由于各邻近点的发散速率不等于最大Lyapunov指数而带来的误差。此方法中参考向量个数的选取对预测结果有较大影响，过小或过大都得不到好的预测效果。当过小时，由于局部因素的影响，预测误差较大；当过大时，由于计算时选择了较多的参考邻近点，有部分选择的参考邻近点与的距离已经不满足近似的指数速率发散条件，预测误差增大。
4 实例分析
4.1 仿真实验
以抚顺电厂沉陷区31号点为例，收集2002.1-2005.6的下沉监测数据，监测周期为一个月，共有监测数据42个，采用三次样条曲线插值进行数据重采样得到数据83个作为实验数据，其中以最后五个样本对预测结果进行验证。首先进行相空间重构，在维相空间中可得到个相点，为监测数据序列长度，嵌入维数为，时间延迟为。C-C算法计算如图1所示，为所有子序列的统计量的均值，的第一个极小值对应第一个局部最佳时间延迟=5，的最小值对应时间序列独立的第一个整体最大时间窗口，即嵌入窗宽=9。依据公式算得嵌入维数=3。采用GP算法计算关联维数，关联函数随的变化曲线如图2所示。曲线有一段线性很好，嵌入维数饱和值约为，直线间相互趋于平行，达到饱和值。为非整数，说明存在吸引子。
采用wolf法和小数据量法计算混沌时序最大Lyapunov指数分别为0.1325和0.1221，可以确定该系统混沌程度明显。分别建立最大Lyapunov指数预测模型和最大Lyapunov指数改进预测模型，以最后五个样本对预测结果进行验证，预测的结果与相对误差见表1。从中可以看出，最大Lyapunov指数预测模型相对误差均控制在10%以下，改进模型选择5个邻近参考点，预测相对误差基本控制在5%以内，可以用于工程的实践。
表1 预测结果与相对误差分析
4.2 实验结果分析
由实验结果可知，该地表变形系统的最大饱和嵌入维数为3，说明此点附近的地表变形主要影响因素有3个，关联维数0.83表示影响系统的最小变量数，说明主要影响因素大致在1到3个。若进行定性分析，可以使用主成分分析方法，对可能的影响因素进行量化后再归一化，以总权重达到85%以上为标准选取权重最大的因素即可。
采用最大Lyapunov指数来定量确定系统的最大可预测时间，其预测公式为
（8）
式中为最大Lyapunov指数。经反复实验，Lyapunov指数稳定在0.12左右。根据时间序列的时段间隔确定的单位为30d，可以作为系统短期预测的可靠性指标，则变形预测的准确时间约为250d。
5 结论
（1）如何根据观测时间序列来判别一个系统是混沌还是随机的，对认识事物变化的本质规律及建立正确的模型来描述这种变化具有重要的意义。
（2）系统的混沌程度的衡量，由于对系统的混沌程度缺乏一定的评价指标，故本文通过关联维数的确定判断系统的混沌程度。关联维数得到的嵌入维数数目即为地表变形影响因素的个数。预测时段的估计表明在此点附近的地表变形可预测天数约为250d，使得地表变形预测结果更为完整。
（3）改进Lyapunov指数预测模型预测误差较之未改进前有了一定的减小，而且计算出的预测值不是两个，而是唯一。
参考文献
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作者简介
姓名：王三虎 出生年：1962年 性别:男 籍贯:陕西省富平县 最高学历:大学本科 职务职称:高级工程师 研究方向:矿山测量
注：文章内所有公式及图表请以PDF形式查看。