篇一：高中生如何学习导数
高中生如何学习导数
如何学习导数，既要教师思考，也要学生思考。新大纲在“教学内容的确定和安排”中指出，高中数学教学内容应选择在现代社会生活和生产中有着广泛应用的，在理论上、方法上、思想上是最基本的，为下一步学习所必需的，同时又不超出高中生接受能力范畴的知识。新课程标准中，导数的教学内容有：导数概念及其几何意义，导数的运算，导数在研究函数中的应用，生活中的优化问题举例，（理科）定积分与微积分基本定理等。笔者根据自己对教材的理解，对高中生怎样学习导数，提出一些看法。
一、要吃透教材
在整个数学的学习内容中，导数的篇幅占比较小，但是又要学生理解。这对教材就有比较高的设计要求。现行教材浸透了编写者的心血，所以学生在学习导数时要理解编写者的用意，要吃透教材。 吃透教材，就是理解导数的核心概念。导数概念的核心是“变化率”，由于定义中包含有无限过程，对学生的理解能力提出了新的要求，为了便于学生理解，教材在给出导数概念之前，先介绍了三个实例作为导数的背景知识，第一个实例“瞬时速度”紧扣“变化率”这个主题；第二个实例“切线的斜率”直观易懂，教学中应该详细介绍；相比之下，第三个实例“边际成本”离学生的生活相对远些，理解起来也相对困难一些。微积分的中心思想是逼近和极限，选修ⅰ虽然没有给出极限的定义，但在概念中提到了极限，介绍了极限符号“lim”。为了介绍逼近思想，教材编者刻意写入了阅读材
篇二：关于对高中导数教学的思考
文/谭兴祥
【摘 要】导数作为微积分中的核心概念，是高中数学学习的重要内容，它是将初等数学与高等数学相联系的一个有效桥梁，也是对函数学习的一个基础内容。导数的思想最早来源于古人对无穷大以及无穷小的思考。导数的提出对于有效解决生活中的很多问题如增长率、利润最大化、原材料最节省等提供了极大的方便。可以说高中对导数的学习是十分重要的。但是很多学生在对导数的学习中还存在着一定的问题。本文主要从教学方法的改进、学生兴趣的培养以及导数的实际应用等方面来对导数教学进行了一定的研究，希望对导数的教学起到一定的促进作用。
【关键词】高中；导数；教学；基础
1.强化定义教学是学好导数的基础
高中导数的重点在于对一阶段导数的学习，而且主要是作为导论来学习的，因此在对知识点的学习上并不是很困难。但是导数的学习对高中生来讲是一个学习重点，而且导数的概念相对抽象，因此在开始学习的时候比较难理解。所以高中导数教学中最重要的就是让学生了解导数的核心思想，可以将求解光滑曲线的斜率、速度以及加速度来对学生进行引导，将抽象的定义、概念具体化。例如，导数的概念主要由变化率引入，而很多学生不能理解瞬时变化率，甚至觉得瞬时变化率是不存在的，这时老师应该先让学生理解变化率，让学生知道变化快慢等一些相关的词汇，强化学生对变化率的直观认识，如子弹在飞行的过程当中，飞行的距离以及时间都属于是连续增加的一种变化量，然而，在它对目标击中的瞬间，最重要的应该是会改变变化率。若子弹的实际速度为1小时1千米，那么被击中物将不会有什么变化，若速度为1小时一千米，那么被击中物就会有很大的变化。在教学的初始阶段的主要任务就是让学生对概念、定义有一个清晰的了解，让学生能够真正在对概念了解的基础之上来对导数问题进行运算，而不是用填鸭式的方式让学生死记硬背。学生能准确地理解概念了，有了一定的基础知识，再进行更加深入的运算方面的讲解，学生才能更好地学习。
2.合理运用先进技术，完善教学策略，增强学生学习兴趣
一般，数学的学习都比较枯燥乏味，而教师的教学方式也比较简单无趣。因此，很多学生对数学的学习难以产生足够的兴趣，学习效率也比较低，加之在数学中，导数的概念是比较抽象的，因此更需要引用先进技术来丰富课堂教学，让学生产生学习兴趣，主动进行学习。信息技术的发展已经渗透到生活的方方面面，在教学中的应用也比较普遍。因此，高中数学教师可以在导数教学中对信息技术进行恰当地使用，来完善教学方法，以相对新颖的数学教学方式来引起学生的注意，提高学生学习的积极性。可以应用立体的、动态效果来对函数极值问题进行演示、讲解，让学生以更加直观的方式来了解函数的极值点以及单调性，让抽象的内容具体化。在对导数的应用进行一定的讲解时，可以使用多媒体进行课题的导入。例如：物体运动的速度、产品包装的镜头以及火箭的发射场面等，能够让学生非常真切体会到导数有着广阔无比的应用，密切联系着现实生活。同时，还能够使用字幕打出巴罗、笛卡尔、费马、莱布尼茨、牛顿的探索以及微积分的萌芽、发展以及建立的实际过程，让学生充分认识到创立微积分根本就不是一人所谓的灵感，而是好几代人一直努力的最终结果，是人们集体智慧的一种结晶。进而来有效激发学生积极奋发以及向上，激发出学生的学习积极性以及主动性。而且信息技术的应用可以将导数中枯燥的符号、数字转化为生动形象的图形、动画，以更加直观、真实的方式让学生体会到导数学习的乐趣，激发学生的学习热情。信息技术的应用不仅可以让学习对导数的理解更容易，还可以让学生增强学习兴趣。
3.正确引导应用导数学习方法
导数的学习一般比较抽象、难以理解，在导数知识的考查方面一般会结合其他章节的内容来综合考查，而且还会涉及到其他学科的内容，因此教师在对导数进行教学过程中，要对学生进行正确引导，引导学生更好的应用导数学习方法，以导数的方法来解决应用问题。帮助学
生掌握更多的方法来处理实际应用问题。教师可以帮助学生以直观的方式来了解导数的概念，在对学生进行导数计算中引导学生以抽象的知识来理解其内涵。在导数的应用问题的解决中，可以让学生找到内在规律，了解其数学思想，在对实际问题进行解决。
4.注重抽象内容的运用及其知识点的关联
导数在解决实际问题中的应用是十分广泛的，导数一般是与其他相关知识点相联系的，而且需要解决的问题会有很多其他学科如物理、化学、生物等方面的问题，因此在对导数的应用的学习中，要注意其中的联系，以联系的眼光来看待导数问题，更容易理解。导数的应用很多都是与函数的性质以及不等式相关联的，而且随着课程改革的发展，在对导数进行学习时，一定要注意知识点之间的联系，综合地分析问题、考虑问题、解决问题。因此教师在对导数教学中，就要对相关知识点、联系点进行讲解，让学生能够形成一个网络，提高学生的抽象思维能力。对数学与其他学科相联系的问题，教师可以以实例来讲解，让学生更容易理解。
5.洞察高考趋向，归结教学中的常见错题
随着课程改革的进行，高考对导数考查的方式以及命题思路都有一定的变化。目前，高考对导数的考查主要有以下几个方面：一，导数的基本概念、定理以及公式。二，函数的极值、最值、增减性、单调性以及单调区间。三，导数与其他章节内容的综合考查。教师在对导数教学中需要帮助学生对相关的考点进行总结归纳，要对考试以及习题中比较容易犯错的内容知识点进行总结分析，给予足够的重视。命题人对一些知识点的考查会设计易错点，因此在教学过程中，要结合自身经验进行筛选。教师在教学过程中要不断总结，帮助学生更好地学习。
6.小结
在数学教学中，导数的概念比较抽象，而导数在高中数学又是比较重要的内容，可以帮助学生更好地解决函数的极值、单调性等问题，因此需要作为教学重点来对待。教师在实际教学中应使抽象的导数概念更形象、易于理解，为学生对进一步的导数学习打下良好基础。教师应该引用先进的技术来丰富教学方式，提高学生的学习兴趣。在教学中，要注意对知识点之间的联系进行讲解，使学生更好的用导数知识解决应用问题。教师要不断探索，与时俱进，提高教学质量。
篇三：导数学习中几个易错点
导数学习中几个易错点
一、定义的理解与应用
例1.已知函数f（x）=2x3+5，求lim分析：本题很容易这样做： ∵f?(x)=6x，∴lim或者lim
2
f(2?3?x)?f(2)
?x
。
?x?0
f(2?3?x)?f(2)
?x
?x?0
=f?(2)=24，
=3f?(2)=72。
f(2?3?x)?f(2)
?x
?x?0
=3lim
f(2?3?x)?f(2)
3?x
?x?0
这两种做法都是错误的，错误的原因皆在于对导数的定义理解不深。 解：∵f?(x)=6x2， ∴lim
f(2?3?x)?f(2)
?x
?x?0
=－3lim
f[2?(?3?x)]?f(2)
?3?x
?x?0
=－3f?(2)=－72。
评注：当?x是x在x0处的增量时，－3?x也是x在x0处的增量。本题的正确做法是视－3?x为增量，套用导数定义求得极限。
二、单调递增就是导数大于零
例2.已知向量a=(x2，x+1)，b= (1-x，f(x)=a·b在区间（-1，1）上是增
函数，求t的取值范围。
错解：依定义f(x)?x2(1?x)?t(x?1)??x3?x2?tx?t，f?(x)??3x2?2x?t。 若f(x)在（-1，1）上是增函数，则在（-1，1）上可设f?(x)>0。 ∵f?(x)的图象是开口向下的抛物线， ∴当且仅当f?(1)?t?1?0，且f?(?1)即f(x)在（-1，1）上是增函数。
故t的取值范围是t>5。
剖析：若f?(x)>0，则f(x)在Rf?x??x在R上单调递
3
?t5?0?时，f?(x)在（-1，1）上满足f?(x)>0，
增，但f?(x)≥f?(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件。若f(x)为增函数，则
f?(x)≥0，反之不成立。因为f?(x)≥0，即f?(x)>0或f?(x)=0。当函数在某区间内恒有f?(x)=0时，f(x)为常数，函数不具有单调性。所以，f?(x)≥0是f(x)为增函数的必要
不充分条件。一般地，使f?(x)=0的离散的点不影响函数在该区上的单调性。如
f(x)=x+sinx.
正解：依定义f(x)?x2(1?x)?t(x?1)??x3?x2?tx?t，f?(x)??3x2?2x?t。 若f(x)在（-1，1）上是增函数，则在（-1，1）上可设f?(x)≥0。
∵f?(x)的图象是开口向下的抛物线，∴当且仅当f?(1)?t?1?0，且
f?(?1)?t?5?0时，
f?(x)在（-1，1）上满足f?(x)>0，即f(x)在（-1，1）上是增函数。
故t的取值范围是t≥5。 三、极值的存在条件
例3.已知函数f（x）=x+ax+bx+a在x=1处有极值10，求a，b。
分析：抓住条件“在x=1处有极值10”所包含的两个信息，列出两个方程，解得a，b。a，b有两组值，是否都合题意需检验。
??f??1??0
解：f?(x)=3x+2ax+b，根据题意可得?，
??f?1??10
2
3
2
2
?2a?b?3?0,
解得即?2
?a?a?b?1?10,?a1?4,
或?
b??11,?1
2
?a2??3,?a2??3
而当?时, ?
b?3.b?3?2?2
2
f?(x)?3x?6x?3?3?x?1?，
易得此时，f?(x)在x=1两侧附近符号相同，不合题意。
?a1?4当?时，f?(x)=（3x+11）（x－1），此时，f?(x)在x=1两侧附近符号相异，
b??11?1
符合题意。
所以?
?a?4?b??11
。
评注：极值存在的条件是在极值点处附近两侧的导数值应异号。 四、“过某点”和“在某点处“的关系
例4.过点（--1，0）作抛物线y=x2+x+1的切线，则其中一条切线为（ ） A 2x+y+2=0 B 3x--y+3=0 C x+y+1=0 D x--y+1=0 错解：y'=2x+1 所以切线的斜率K=y'
x??1
??1故切线方程为y??(x?1)即x+y+1=0
点评“在某点处”的切线表明此点是切点，而“过某点”的切线不一定是切点。这里就忽视了二者的区别。
正解：设切点坐标是?x0,y0?，则切线斜率为k=2x0+1 因为切线过点（--1，0）所以
y0x0?1
?2x0?1即x0?2x0?0所以x0?0或x0??2
2
五、极值与最值的关系
例5.求函数f(x)=sin2x—x在?
?错解：f?(x)=2cos2x?1，令f
??
'
所以切点坐标为（0，1）或(--2,3)故切线方程为x—y+1=0或3x+y—12=0所以应选D
????
,?上的最大值和最小值。 ?22?
?x??0，得2cos2
??
x1?=0。解得x1??
?
6
或x2????
6,
?
6
当x???
?
2
,?
??
6?
?时，f?(x)<0,所以f(x)在??
?
2
,?
??
6?
当x????是减函数；
?
?
?时
6?
????
f?(x)＞0，所以f(x)是增函数；当x??,?时f?(x)＜0，所以f(x)是减函数。
?62?
所以当x?
?
6
时，f(x)2
?
6
；当x??
?
6
时，f(x)取最小值
?
6
?
2
。
点评：极值是比较极值点附近函数值得出的，并不意味着它在函数的某个区间上最大（小）。因此，同一函数在某一点的极大（小）值，可以比另一点的极小（大）值小（大）；而最值是指闭区间?a,b?上所有函数值的比较，所以极大（小）值不一定是最大（小）值，最值也不一定是极值。对闭区间?a,b?上的连续函数，如果在相应的开区间?a,b?内可导求
?a,b?上最值可简化过程。即直接将极值点(本文来自：www.dXF5.com 东 星资 源 网:导数学习方法)与端点的函数值比较，就可判定最大（或最小）
的函数值就是最大（或最小）值。
正解：f?(x)=2cos2x?1，令f
'
?x??0，得2cos2
x1?=0。解得x1??
?
6
或x2?
?
6
所以f?
?
???????????????
??f????， 又， f??f?????????6266262222????????
所以函数f(x) 在??
??????
,?上的最大值和最小值分别为,?。
22?22?