摘要：GPS高程测量已经成为工程测量的重要手段，为了将大地高转换成正常高并使其满足一定的精度就必须进行高程拟合。本文主要从GPS高程拟合的模型、关键技术、精度等方面进行分析，探究了GPS高程拟合系统。
关键词：高程拟合数学模型高程异常精度
一、GPS高程拟合概述
在传统的大地测量中，正常高的确定方法是重力测量和天文测量，但是由于大多数的测量单位并不具备这样的测量条件，因此，具有原理简单、易于误差检验和探测的水准测量成了确定正常高的主要手段。然而在实际的作业中，由于长距离水准测量的劳动强度大，外业进展十分缓慢，且极易产生人为的误差，所以在一定的程度上限制了水准测量的应用和推广。虽然采用GPS空间定位系统可以同时确定出点的三维位置，但是令人遗憾的是，这种方法所确定出的高程是相对于一个特定参考椭球的，不是在实际应用中广泛采用的与地球重力位密切相关的正高或者正常高。因此，获得相应点上的大地水准面差距或者高程异常后，我们需要进行相应的高程系统的转换，将大地高转换成正常高。
大地高、正常高及高程异常值之间的关系可以表示成以下关系式：
ξ= H ― h
其中H表示地面点沿参考椭球的法线方向到地面的距离，h表示地面点到似大地水准面的距离，两者之差便是高程异常值ξ。
由于似大地水准面和参考椭球面之间的位置关系十分复杂，我们无法应用GPS直接测量高程代替水准高程，因此必须把GPS大地高转化成正常高。其中求高程异常值的常用方法有：用斯托克斯公式并采用重力方法求得大地水准差距，这种方法需要具有一定精度要求且分布良好的地形数据和重力数据；采用地球重力场模型，只是地球重力场模型只能反映出大地水准面的长波变化。在实际的操作过程中，我们经常采取以下的方法：在GPS网中同时测量少量的几何水准点，然后反求这些几何水准点的高程异常值，再根据平面坐标和高程异常值采用数学拟合的方法进行构造，使平面、多项式曲面或者其它数学曲面替代似大地水准面，最后根据拟合的曲面内插其它的GPS点，算出其它点的高程异常值和待定点的正常高。
二、GPS高程拟合模型
目前我们经常采用的GPS高程拟合模型主要有以下几种：多项式曲线拟合模型、三次样条曲线拟合模型、Akima曲线拟合模型、多项式曲面拟合模型、多面函数法曲面拟合模型和移动法曲面拟合模型等。具体介绍如下：
1.多项式曲线拟合模型
设测点的ξ和x(y或拟合坐标)的函数关系如下：
= +++…+(1)
在使节点处的残差=（）―的平方和最小的条件下解出（1）式中的各项系数，然后按照（1）式求出测线方向或者方向线左右的任意一点的高程异常值。
2.三次样条曲线拟合模型
如果测线过长，或者已知点较多时，不管是进行整体拟合还是进行分段拟合，都不能得到符合拟合精度要求的结果，这时我们宜采用三次样条曲线拟合模型。
设测线经过个测点，和（y或拟合坐标）在（=0,1,2，…，）区间内存在以下三次样条函数关系：
（2）
其中，是待求点的坐标，，是待求点两端的已知点的坐标，是一阶差熵，是二阶差熵，这可以通过一定的数学技巧求得。最后可以按（2）式求得各个插值点的高程异常值。
3.Akima法曲线拟合模型
设已知个不等距GPS测点分别为，相应的高程异常值分别为（=0,1,2，…, ）。
若在区间的两个端点处满足以下条件：
其中，可以通过Akima条件惟一确定。
进而在区间上可以得到惟一确定的三次多项式：
由该多项式可以计算出该子区间内插值点处的高程异常值。
4.多项式曲面拟合模型
如果GPS的测点分布成网状结构时，那么我们应进行曲面拟合。
设测点的和，存在以下的函数关系：
(3)
其中，是趋势值，是误差。
我们可以选用的空间曲面的表达式如下：
（4）
这样，对于每一个已知点，我们都可以列出如（3）式所示的方程，在取最小值的条件下，解出（4）式中相应的的值，进而按照（4）式求得待求点的高程异常值。
5.多面函数曲面拟合模型
设GPS测点和之间存在以下函数关系：
其中，是待定系数，是待求点的坐标，是已知点的坐标，是的二次核函数，它的一般形式是:
，
其中是光滑系数，取值为1。
在这种情况下，首先由已知点求出，然后再推算出测点的高程异常值，即。
6.移动法曲面拟合模型
移动法曲面拟合模型属于点逼近曲面拟合，它引进了权函数，根据内插点到数据点的距离来给出不同的影响程度，两点之间的距离越近，那么影响越大。在计算过程中，通常采用切比雪夫多项式为移动多项式。
设GPS测点和之间存在以下的函数关系：
其中，是拟合系数，，是变量，分别是的和次切比雪夫多项式。
权函数的关系式为：
其中，是常数，一般取数据点平均间距的2倍，是内插点到数据点之间的距离。
当观测值的个数时，可以组成误差方程，解这个方程就能得到拟合系数，然后利用内插点的平面坐标往回代即可得到内插点的高程异常值。
三、GPS拟合系统的关键技术
1.坐标旋转
曲线拟合是在GPS点布设成测线时才能使用，如果按GPS网平差后提供的点位坐标直接在或（或）方向上拟合，那么拟合的精度便不能得到保证。这是由于实际情况中的曲线是与或（或）方向不一致的，存在一定的夹角。因此，为了提高拟合的精度，应该在拟合之前进行坐标旋转。
2.地形修改
在地势起伏较明显的地区进行GPS的高程拟合并不能确保精度的要求，研究资料表明：高程异常中的短波项主要是由局部地形起伏引起的，在地势平缓的地区，高程异常变化较为平稳，在地势起伏较大的地区，高程异常变化剧烈，呈现出较为明显的短波性质。为此，我们假设某点的高程异常是由两部分组成的，即：
（5）
其中，是高程异常的中长波项，是高程异常的短波项。
在地势平缓的地区，很小，可以忽略不计，在地势起伏明显的地区，较大，不可忽略。
由莫落金斯基公式及（5）式我们可以得到：
其中，是地面点的扰动位，是长波项，为主项，是短波项，（是积分元到地面的距离，是万有引力常数，是积分主体的质量）。
3.GPS水准点的可靠性检验
由于各种复杂的实际情况，GPS水准点的等级是不同的，施测年代、平差精度等情况不同，加之可能受到的不同程度的破坏等，都要求对测区内联测几何水准进行可靠性检验。进行可靠性检验的方法是很多的，其中狄克松判别法是一种直观的方法，但是当样本存在多个粗差，尤其是当均值的同侧出现相似的两个或者两个以上的异常值时，狄克松判别法便显示出了其自身的局限性，这时，我们可以使用“狄克松统计量检测多个粗差”的方法。
4.精度评定
（1）内符合精度。根据已知点的高程异常和拟合高程异常求出拟合残差，按照公式计算出内符合精度。
（2）外符合精度。根据检验点的高程异常和拟合高程异常求得拟合残差，然后按照上面的公式计算出外符合精度。
（3）精度评定。把检核点的拟合残差同相应等级的水准测量限差相比较，分析GPS水准的精度。
四、结束语：
上文主要介绍了高程异常值的求法、拟合模型的建立等内容，为我们的实践指明了方向。当然在实际的应用中还需要很据实际情况选择相应的数学模型，并尽量反映出高程异常的变化趋势。
参考文献
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注：文章内所有公式及图表请以PDF形式查看。