篇一：2016年北京市高考数学试卷 理科 解析
2016年北京市高考数学试卷（理科）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．（5分）（2016?北京）已知集合A={x||x|＜2}，B={﹣1，0，1，2，3}，则A∩B=（ ）
A．{0，1} B．{0，1，2} C．{﹣1，0，1} D．{﹣1，0，1，2}
2．（5分）（2016?北京）若x，y满足，则2x+y的最大值为（ ）
A．0 B．3 C．4 D．5
3．（5分）（2016?北京）执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值为（
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（5分）（2016?北京）设，是向量，则“||=||”是“|+|=|﹣|”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（5分）（2016?北京）已知x，y∈R，且x＞y＞0，则（ ）
A．﹣＞0 B．sinx﹣siny＞0 C．（）x﹣（）y＜0 D．lnx+lny＞0
6．（5分）（2016?北京）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）
）
A． B． C． D．1
）图象上的点P（，t）向左平移s（s＞0）7．（5分）（2016?北京）将函数y=sin（2x﹣
个单位长度得到点P′，若P′位于函数y=sin2x的图象上，则（ ）
A．t=，s的最小值为
C．t=，s的最小值为 B．t= D．t=，s的最小值为，s的最小值为
8．（5分）（2016?北京）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（ ）
A．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球
B．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多
C．乙盒中红球不多于丙盒中红球
D．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．
9．（5分）（2016?北京）设a∈R，若复数（1+i）（a+i）在复平面内对应的点位于实轴上，则a=
6210．（5分）（2016?北京）在（1﹣2x）的展开式中，x的系数为．（用数字作
答）
11．（5分）（2016?北京）在极坐标系中，直线ρcosθ﹣ρsinθ﹣1=0与圆ρ=2cosθ交于A，B两点，则|AB|=．
12．（5分）（2016?北京）已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和．若a1=6，a3+a5=0，则S6=．
13．（5分）（2016?北京）双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点．若正方形OABC的边长为2，则
a=
14．（5分）（2016?北京）设函数f（x）=
．
①若a=0，则f（x）的最大值为
②若f（x）无最大值，则实数a的取值范围是
三、解答题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
22215．（13分）（2016?北京）在△ABC中，a+c=b+ac．
（Ⅰ）求∠B的大小； （Ⅱ）求cosA+cosC的最大值．
16．（13分）（2016?北京）A，B，C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，
（Ⅱ）从A班和C班抽出的学生中，各随机选取一个人，A班选出的人记为甲，C班选出的人记为乙．假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；
（Ⅲ）再从A，B，C三班中各随机抽取一名学生，他们该周锻炼时间分别是7，9，8.25（单位：小时），这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为μ1，表格中数据的平均数记为μ0，试判断μ0和μ1的大小．（结论不要求证明）
17．（14分）（2016?北京）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，AB⊥AD，AB=1，AD=2，AC=CD=．
（Ⅰ）求证：PD⊥平面PAB；
（Ⅱ）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；
（Ⅲ）在棱PA上是否存在点M，使得BM∥平面PCD？若存在，求
说明理由． 的值，若不存在，
a﹣x18．（13分）（2016?北京）设函数f（x）=xe+bx，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的
切线方程为y=（e﹣1）x+4，
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间．
19．（14分）（2016?北京）已知椭圆C：+=1（a＞0，b＞0）的离心率为，A（a，0），B（0，b），O（0，0），△OAB的面积为1．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N．求证：|AN|?|BM|为定值．
20．（13分）（2016?北京）设数列A：a1，a2，…，aN （N≥2）．如果对小于n（2≤n≤N）的每个正整数k都有ak＜an，则称n是数列A的一个“G时刻”，记G（A）是数列A的所有“G时刻”组成的集合．
（Ⅰ）对数列A：﹣2，2，﹣1，1，3，写出G（A）的所有元素；
（Ⅱ）证明：若数列A中存在an使得an＞a1，则G（A）≠?；
（Ⅲ）证明：若数列A满足an﹣an﹣1≤1（n=2，3，…，N），则G（A）的元素个数不小于aN﹣a1．
2016年北京市高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．（5分）（2016?北京）已知集合A={x||x|＜2}，B={﹣1，0，1，2，3}，则A∩B=（ ）
A．{0，1} B．{0，1，2} C．{﹣1，0，1} D．{﹣1，0，1，2}
【考点】交集及其运算．
【专题】计算题；转化思想；综合法；集合．
【分析】先求出集合A和B，由此利用交集的定义能求出A∩B．
【解答】解：∵集合A={x||x|＜2}={x|﹣2＜x＜2}，
B={﹣1，0，1，2，3}，
∴A∩B={﹣1，0，1}．
故选：C．
【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．
2．（5分）（2016?北京）若x，y满足，则2x+y的最大值为（ ）
A．0 B．3 C．4 D．5
【考点】简单线性规划．
【专题】计算题；规律型；数形结合；函数思想；转化思想．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，目标函数的几何意义是直线的纵截距，利用数形结合即可求z的取值范围．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．
设z=2x+y得y=﹣2x+z，
平移直线y=﹣2x+z，
由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最大，
此时z最大． 由，解得，即A（1，2），
代入目标函数z=2x+y得z=1×2+2=4．
即目标函数z=2x+y的最大值为4．
故选：C．
篇二：2016年北京理数高考试题(含答案)
2016年普通高等学校招生全国统一考试
数学（理）（北京卷）
本试卷共5页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第一部分（选择题共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
（1）已知集合A=
（A）
（C）
（2）若x,y满足 ，则2x+y的最大值为 B=，则 （B） （D）
（A）0 （B）3
（C）4 （D）5
（3）执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值为
（A）1
（B）2
（C）3
（D）4
（4）设a,b是向量，则“IaI=IbI”是“Ia+bI=Ia-bI”的
（A） 充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C） 充分必要条件（D）既不充分也不必要条件
（5）已知x,yR,且xyo，则
（A）
-（B）
（C） (-0 （D）lnx+lny
(6)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为
（A）
（B）
（C）
（D）1
(7)将函数
若 P′位于函数图像上的点P（的图像上，则 ，t ）向左平移s（s﹥0） 个单位长度得到点P′.
（A）t= ，s的最小值为 （B）t= ，s的最小值为
（C）t= ，s的最小值为 （D）t= ，s的最小值为
（8）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则
（A）乙盒中黑球不多于丙盒中黑球
（B）乙盒中红球与丙盒中黑球一样多
（C）乙盒中红球不多于丙盒中红球
（D）乙盒中黑球与丙盒中红球一样多
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．
（9）设aR，若复数（1+i）（a+i）在复平面内对应的点位于实轴上，则a=_______________。
（10）在的展开式中，的系数为__________________.（用数字作答）
与圆交于A，B两点， （11）在极坐标系中，直线则
（12）已知=____________________. 为等差数列，为其前n项和，若 ，，则.
（13）双曲线
的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点。若正方形OABC的边长为2，则a=_______________.
（14）设函数
①若a=0，则f(x)的最大值为____________________；
②若f(x)无最大值，则实数a的取值范围是_________________。
三、解答题（共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）
（15）（本小题13分）
在?ABC
中，a?c?b
（I）求?B 的大小
（II
cosA?cosC 的最大值
（16）（本小题13分）A、B、C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表（单位：小时）；
333
（I） 试估计C班的学生人数；
（II） 从A班和C班抽出的学生中，各随机选取一人，A班选出的人记为甲，C班选出的人记为乙，假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；
（III）再从A、B、C三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是7，9，8.25（单位：小时），这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记 ，表格中数据的平均数记为
和的大小，（结论不要求证明）
，试判断
（17）（本小题14分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD? 平面ABCD，PA?PD,PA=PD,AB?
,
（I）求证：PD?平面PAB;
（II）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；
（II I）在棱PA上是否存在点M，使得BMll平面PCD?若存在，求
（18）（本小题13分） AM 的值；若不存在，说明理由。 AP
设函数f(x)=xeea?x +bx，曲线y=f(x)d hko (2,f(2))处的切线方程为y=(e-1)x+4，
（I）求a,b的值；
(I I) 求f(x)的单调区间。
（19）（本小题14分）
X2y2已知椭圆C：2?2?1 （a>b>0
，A（a,0）,B(0,b)，O（0，0），△OAB的面积为ab1.
（I）求椭圆C的方程；
(I I)设P的椭圆C上一点，直线PA与Y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N。
求证：lANl? lBMl为定值。
（20）（本小题13分）
设数列A：a1 ，a2 ,?aN (N≥2)。如果对小于n(2≤n≤N)的每个正整数k都有ak ＜an ，则称n是数列A的一个“G时刻”。记“G（A）是数列A 的所有“G时刻”组成的集合。
（I）对数列A：-2，2，-1，1，3，写出G（A）的所有元素；
(I I)证明：若数列A中存在an使得an>a1，则G（A）? ? ；
(I I I）证明：若数列A满足an-an?1 ≤1（n=2,3, ?,N）,则G（A）的元素个数不小于aN -a1。
2016年普通高等学校招生全国统一考试
数学（理）（北京卷）参考答案
一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）
（1）C （2）C （3）B （4）D
（5）C （6）A （7）A （8）B
二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）
（9）?1（10）60
（11)2 （12）6
（13）2 （14）2(??,?1)
三、解答题（共6小题，共80分）
（15）（共13分）
a2?c2?b22ac2解：（Ⅰ）由余弦定理及题设得cosB?. ??2ac2ac2
又因为0??B??，所以?B?
（Ⅱ）由（Ⅰ）知?A??C??4. 3?. 4
3?2cosA?cosC?2cosA?c
?2cosA?
因为0??A?2222?cosA?sinA?cosA?sinA?cos(A?), 222243??，所以当?A?时，2cosA?cosC取得最大值1. 44
（16）（共13分）
解：（Ⅰ）由题意知，抽出的20名学生中，来自C班的学生有8名.根据分层抽样方法，C班的学生人数估计为100?8?40. 20
（Ⅱ）设事件Ai为“甲是现有样本中A班的第i个人”，i?1,2,???,5，
事件Cj为“乙是现有样本中C班的第j个人”，j?1,2,???,8， 11，i?1,2,???,5；P(Cj)?，j?1,2,???,8. 58
111P(AiCj)?P(Ai)P(Cj)??,i?1,2,???,5,j?1,2,???,8. 5840
设事件E为“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长”.由题意知， 由题意可知，P(Ai)?
E?A1C1?A1C2?A2C1?A2C2?A2C3?A3C1?A3C2?A3C3?
A4C1?A4C2?A4C3?A5C1?A5C2?A5C3?A5C4
因此
P(E)?P(A1C1)?P(A1C2)?P(A2C1)?P(A2C2)?P(A2C3)?P(A3C1)?P(A3C2)?P(A3C3)
?P(A4C1)?P(A4C2)?P(A4C3)?P(A5C1)?P(A5C2)?P(A5C3)?P(A5C4)?15?13?408（Ⅲ）?1??0.
篇三：2016年高考试题(数学理)北京卷 解析版
2016年普通高等学校全国统一考试（北京卷）
理科数学
本试卷共5页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第一部分（选择题共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1.已知集合A?{x||x|?2}，B?{?1,0,1,2,3}，则A?B?（）
A.{0,1}B.{0,1,2}C.{?1,0,1} D.{?1,0,1,2}
【答案】
C
考点：集合交集
【名师点睛】1． 首先要弄清构成集合的元素是什么(即元素的意义)，是数集还是点集，如集合
{x|y?f(x)}，{y|y?f(x)}，{(x,y)|y?f(x)}三者是不同的．
2．集合中的元素具有三性——确定性、互异性、无序性，特别是互异性，在判断集合中元素的个数时，以及在含参的集合运算中，常因忽视互异性，疏于检验而出错．
3．数形结合常使集合间的运算更简捷、直观．对离散的数集间的运算或抽象集合间的运算，可借助Venn图实施，对连续的数集间的运算，常利用数轴进行，对点集间的运算，则通过坐标平面内的图形求解，这在本质上是数形结合思想的体现和运用．
4．空集是不含任何元素的集合，在未明确说明一个集合非空的情况下，要考虑集合为空集的可能．另外，不可忽视空集是任何元素的子集．
?2x?y?0?2.若x，y满足?x?y?3，则2x?y的最大值为（）
?x?0?
A.0 B.3C.4 D.5
【答案】C
【解析】
考点：线性规划.
【名师点睛】可行域是封闭区域时，可以将端点代入目标函数，求出最大值与最小值，从而得到相应范围.若线性规划的可行域不是封闭区域时，不能简单的运用代入顶点的方法求最优解.如变式2，需先准确地画出可行域，再将目标函数对应直线在可行域上移动，观察z的大小变化，得到最优解.
3.执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值为（）
A.1 B.2C.3 D.4
【答案】B
【解析】
试题分析：输入a?1，则k?0，b?1；
进入循环体，a??1，否，k?1，a??2，否，k?2，a?1，此时a?b?1，输出k，则k?2，选B. 2
考点：算法与程序框图
【名师点睛】解决循环结构框图问题，要先找出控制循环的变量的初值、步长、终值(或控制循环的条件)，然后看循环体，循环次数比较少时，可依次列出，循环次数较多时，可先循环几次，找出规律，要特别注意最后输出的是什么，不要出现多一次或少一次循环的错误.
????????4.设a，b是向量，则“|a|?|b|”是“|a?b|?|a?b|”的（）
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】
D
考点：1.充分必要条件；2.平面向量数量积. 【名师点睛】由向量数量积的定义??||?||?cos?(?为，的夹角)可知，数量积的值、模的乘积、夹角知二可求一，再考虑到数量积还可以用坐标表示，因此又可以借助坐标进行运算.当然，无论怎样变化，其本质都是对数量积定义的考查.求解夹角与模的题目在近年高考中出现的频率很高，应熟练掌握其解法.
5.已知x，y?R，且x?y?0，则（） A.1x1y11??0B.sinx?siny?0 C.()?()?0D.lnx?lny?0 22xy
【答案】C
【解析】
试题分析：A：由x?y?0，得1111?，即??0，A不正确； xyxy
B：由x?y?0及正弦函数y?sinx的单调性，可知sinx?siny?0不一定成立；
C：由0?11111?1，x?y?0，得()x?()y，故()x?()y?0，C正确； 22222
D：由x?y?0，得xy?0，不一定大于1，故lnx?lny?0不一定成立，故选C.
考点： 函数性质
【名师点睛】函数单调性的判断：(1)常用的方法有：定义法、导数法、图象法及复合函数法．
(2)两个增(减)函数的和仍为增(减)函数；一个增(减)函数与一个减(增)函数的差是增(减)函数；
(3)奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单调性.
6.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）
A.111 B. C.D.1 632
【答案】A
【解析】
试题分析：分析三视图可知，该几何体为一三棱锥P?ABC，其体积V?111??1?1?1?，故选
A. 326
考点：1.三视图；2.空间几何体体积计算.
【名师点睛】解决此类问题的关键是根据几何体的三视图判断几何体的结构特征.常见的有以下几类：①三视图为三个三角形，对应的几何体为三棱锥；②三视图为两个三角形，一个四边形，对应的几何体为四棱锥；③三视图为两个三角形，一个圆，对应的几何体为圆锥；④三视图为一个三角形，两个四边形，对应的几何体为三棱柱；⑤三视图为三个四边形，对应的几何体为四棱柱；⑥三视图为两个四边形，一个圆，对应的几何体为圆柱.
7.将函数y?sin(2x??)图象上的点P(,t)向左平移s（s?0） 个单位长度得到点P'，若P'位于函数34?
y?sin2x的图象上，则（） A.t?1??，s的最小值为B.t? ，s的最小值为 26
62
C.t?1??，s的最小值为D.t?，s的最小值为 23
32
【答案】
A
考点：三角函数图象平移
【名师点睛】三角函数的图象变换，有两种选择：一是先伸缩再平移，二是先平移再伸缩．特别注意平移变换时，当自变量x的系数不为1时，要将系数先提出．翻折变换要注意翻折的方向；三角函数名不同的图象变换问题，应先将三角函数名统一，再进行变换
8.袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（）
A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多
C.乙盒中红球不多于丙盒中红球D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多
【答案】
C
考点：概率统计分析.
【名师点睛】本题将小球与概率知识结合，创新味十足，是能力立意的好题.如果所求事件对应的基本事件有多种可能，那么一般我们通过逐一列举计数，再求概率，此题即是如此.列举的关键是要有序(有规律)，从而确保不重不漏.另外注意对立事件概率公式的应用.
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．
9.设a?R，若复数(1?i)(a?i)在复平面内对应的点位于实轴上，则a?_______________.
【答案】?1.