2009江西高考文科数学
2009 年普通高等学校招生全国统一考试江西卷 理科数学 本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分第Ⅰ卷 1 至 2 页第Ⅱ卷 3至 4 页共 150 分。第Ⅰ卷 考生注意 1. 答题前考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的 准考证号、姓名、考试科目 与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2. 第 I 卷每小题选出答案后用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动用橡皮擦干净后再选涂其他答案标号。第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上作答。若在试题卷上作答答案无效。
3. 考试结束监考员将试题卷、答题卡一并收回。
参考公式 如果事件,A B 互斥那么 球的表面积公式 ()()()P ABP AP B 24SR 如果事件,A B 相互独立那么 其中 R 表示球的半径 ()()()P A BP AP B 球的体积公式 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p 那么 343VR n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 其中 R 表示球的半径 ()(1)knknknPkCpp一选择题本大题共 12 小题每小题 5 分共 60 分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。
1若复数2(1)(1)zxxi为纯虚数则实数 x 的值为 A1 B0 C1 D1 或1 2函数2ln(x1)x34xy的定义域为 A( 4,1) B( 4, 1) C( 1, 1) D( 1,1] 3已知全集U A的元素个数为 A mn Bm4若函数B 中有 m 个元素()()UUAB痧中有 n 个元素若 ABI非空则ABIn Cn) cosm Dm( )n ( )(13 tanfxxx02x则fx 的最大值为 A1 B2 C31 D32 5设函数2( )( )fxg xx曲线( )yg x在点(1,(1))g处的切线方程为21yx 则曲线( )yfx在点(1,(1))f处切线的斜率为 A 4 B14 C 2 D12 6过椭圆22221xayb(0ab)的左焦点1F 作 x 轴的垂线交椭圆于点 P 2F 为右焦点若1260F P F则椭圆的离心率为 A22 B33 C12 D13 7(1)naxby展开式中不含 x 的项的系数绝对值的和为243 不含 y 的项的系数绝对值的和为3 2 则 , ,a b n 的值可能为 A2,1,5abn B2,1,6abn C1,2,6abn D1,2,5abn 8数列{A 470 B490 C495 D510 9如图正四面体 A B C D 的顶点 A B C 分别在两两垂直的三条射线O x Oy O z 上则在下列命题中错误}na的通项222(cossin)33nnnan其前 n 项和为nS 则30S为 的为 AOA B C是正三棱锥 yxzOABCD B直线O B ‖平面 A C D C直线 AD 与O B 所成的角是45 D二面角 D10为了庆祝六一儿童节某食品厂制作了3 种不同的精美卡片每袋食品随机装入一张卡片集齐3 种卡片可获奖现购买该种食品5 袋能获奖的概率为 A11一个平面封闭区域内任意两点距离的最大值称为该区域的 直径 封闭区域边界曲线的长度与区域直径之比称为区域的 周率 下面四个平面区域阴影部分的周率从左到O BA为45 3181 B3381 C4881 D5081 右依次记为1234,,, 则下列关系中正确的为 A143 B312 C423 D341 12设函数一个正方形区域则a 的值为 A2( )(0)fxaxbxc a的定义域为 D 若所有点( ,( ))( ,)s f ts tD构成2 B4 C8 D不能确定 第Ⅱ卷 注意事项 第Ⅱ卷 2 页须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答若在试题上作答答案无效。
二.填空题本大题共 4 小题每小题 4 分共 16 分。请把答案填在答题卡上 13已知向量(3,1)a (1, 3)b ( , 7)ck若()ac‖b 则 k = 14正三棱柱柱的体积为 15 若 不 等 式111ABCA B C内接于半径为2 的球若,A B 两点的球面距离为 则正三棱29(2 )2xkx的 解 集 为 区 间 ,a b, 且2ba, 则 k 16设直线系 A M 中所有直线均经过一个定点 B 存在定点 P 不在 M 中的任一条直线上 C 对于任意整数 ( D M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等 其中真命题的代号是 写出所有真命题的代号 三.解答题本大题共 6 小题共 74 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 17 本小题满分 12 分 xefx:cos(2) sin1 (02)Mxy,对于下列四个命题 3)n n 存在正n 边形,其所有边均在 M 中的直线上 设函数( )x 1 求函数( )fx 的单调区间 2 若 18 本小题满分 12 分 某公司拟资助三位大学生自主创业 现聘请两位专家 独立地对每位大学生的创业方案进行0k 求不等式"( )(1)( )0fxkxfx的解集 评审假设评审结果为 支持 或 不支持 的概率都是12.若某人获得两个 支持 则给予 10 万元的创业资助若只获得一个 支持 则给予 5 万元的资助若未获得 支持 则不予资助令 表示该公司的资助总额 (1) 写出 的分布列 (2) 求数学期望 E 19 本小题满分 12 分 △ A B C 中,,A BsincosC 所对的边分别为 , ,a b c sincos,tanAABBC,sin()cosBAC. 1求A C 2若33A B (本文来自：WwW.dXf5.coM 东星 资源网:2009江西高考文科数学)CS,求,a c . 20 本小题满分 12 分 在四棱锥 P2于点 M 交 P C 于点 N . 1求证平面 A BM 平面 P C D 2求直线C D 与平面 A C M 所成的角的大小 3求点 N 到平面 A C M 的距离. A B C D中底面 A B C D 是矩形 P A 平面 A B C D . 以 A C 的中点O 为球心、 A C 为直径的球面交 P D4PAADA B NODMCBPA 21 本小题满分 12 分 已知点100(,)Pxy为双曲线222218xbyb b 为正常数上任一点,2F 为双曲线的右焦点,过1P 作右准线的垂线,垂足为 A ,连接2F A 并延长交 y 轴于2P . (1) 求线段(2) 设 轨 迹 E 与 x 轴 交 于 B,1P2P 的中点 P 的轨迹 E 的方程; D、两 点 , 在 E 上 任 取 一 点分别交 y 轴于 M111(0)Q xyy ,直线Q BQ DN两点.求证:以 M N 为直径的圆过两定点. 22 本小题满分 14 分 各项均为正数的数列{}na12,aa ab 且对满足mnpq的正整数, ,,m n p q 都有.(1)(1)(1)(1)pqmnmnpqaaaaaaa12a45 1当,ab时求通项;na 2证明对任意a 存在与a 有关的常数 使得对于每个正整数n 都有 1.na 2F1FOyxA2P1PP 2009 年普通高等学校招生全国统一考试江西卷 理科数学参考答案 一、选择题本大题共 12 小题每小题 5 分共 60 分。
题号 答案 2111 1 A 2 C 3 D 4 B 5 A 6 B 7 D 8 9 B 10 D 11 C 12 B 1.由00xxx 故选 A 2.由2101x1141340xxxxx .故选 C 3.因为[()()]UUUABAB 痧 所以 AB 共有 mn个元素,故选 D 4.因为( )(13 tan) cosfxxx=cos3 sinxx= 2 cos()3x 当3x是函数取得最大值为 2. 故选 B 5. 由已知(1)2g 而( )( )2fxgxx所以(1)(1)214fg故选 A 6. 因为2(,)bPca再由1260F P F有232 ,baa从而可得33cae故选 B 7. 5(1)243n3nb5(1n)322na则可取1,2,5abn选 D 8. 由于22{cossin}33以 3 为周期,故 2222222223012452829(3 )(6 )(30 )222S 221010211(32)(31)5291011[(3 ) ][9]2547022kkkkkk故选 A 9.将原图补为正方体不难得出 B 为错误故选 B 53310 55(323)5081P故选 D 11前三个区域的周率依次等于正方形、圆、正三角形的周长和最远距离所以122、2、33第四个区域的周率可以转化为一个正六边形的周长与它的一对平行边之间的距离之比所以423则4231选 C 1212m ax||( )xxfx222444bacacbaa||2aa4a 选 B 二、填空题本大题共 4 小题每小题 4 分共 16 分。
13. 5 14.8 15.13.32 16.,B C 6513kk 14.由条件可得2A O B所以22AB O 到平面 A B C 的距离为233所以所求体积等于8 15.由数形结合直线(2)2yk x在半圆29yx之下必须3,1ba则直线(2)2yk x过点1, 22 则2k 16.. 因 为c o s(2 ) s i n1xy所 以 点(0, 2)P到 M中 每 条 直 线 的 距 离2211cossind 即 M 为圆C :错误 又因为(0, 2) 点不存在任何直线上,所以 B 正确 对任意3 M 中边能组成两个大小不同的正三角形 A B C 和 AEF ,故 D 错误, 故命题中正确的序号是 B,C 三、解答题本大题共 6 小题共 74 分。
17.解 (1) 22(2)1xy的全体切线组成的集合,从而 M 中存在两条平行直线,所以 An ,存在正n 边形使其内切圆为圆C ,故C 正确 "221x"( )1x 当01( )xxxxfxeeex , 由"( )0fx,得 1x . 因为 当0x 时,0fx 1x时,"( )0fx 当1x 时,"( )0fx 所以( )fx 的单调增区间是:[1,) 单调减区间是: (, 0) (0,1]. (2) 由 2"21( )(1)( )xxkxxkxfxkx fxe2(1)(1)0xxkxex, 得(1)(1)0xkx. 故当 0当 1k时解集是 时, 解集是1k{1}xx 1k 当 1k 时, 解集是1k{1}xx. 18.解 1 的所有取值为0,5,10,15, 20, 25,30 1(64 353219解(1) 因为所以sin即 sin得 sin(所以C即 2C 0 )P 3(5 )32P 1564(10)P 5(1 5 )16P 1564(20)P 15643(25)3220BBP 1(3 0 )6430AABBP 1564即 2531101525CCcossin1516sincoscos. A所以.1232sincossincos64E B. sincoscossinB,或CtanAA)BAACsincossin(C, 得sincosAsincos BB coscosAcossinsinCCCCCCCA)CBCACC(B)BC(不成立). 23或AB3A 又因为sin()cosBAC则6BA56BA舍去 得512,4AB (2)1262sin338ABCSaccBac 又sinsinaAC, 即 232 2ac 得22 ,23.ac20解 方法一 1依题设知AC 是所作球面的直径则 AM MC。
又因为 P A 平面 ABCD则 PA CD又 CD AD 所以 CD 平面则 CD AM所以 A M 平面 PCD 所以平面 ABM 平面 PCD。
2由1知 AM2122设 D 到平面 ACM 的距离为h 由23设所求角为 则C DPDM D又 PAC DAD32则 M 是 P D 的中点可得 2AM 则S22M CM C 6A C MA M DAC MMAC DVV即 268h 可求得6h 6sin3h 6arcsin3。
NODMCBPA 3 可求得 PC=6。因为 AN NC由故 N 点到平面 ACM 的距离等于 P 点到平面 ACM 距离的5又因为 M 是 PD 的中点则 P、D 到平面 ACM 的距离相等由2可知所求距离为59方法二 1同方法一 2如图所示建立空间直角坐标系则(2,0,0)P NP AP AP C得 PN83。所以:5 : 9N CP C 。
9。
10627h 。
(0, 0, 0 )设平面 A C M 的一22A(0,0, 4)PB n(2, 4,0)C(0, 4,0)D(0, 2, 2)M个法向量( ,, )x y z由,nA C nA M可得4200xyyz 令1z 则 (2,1,1)n 。设所求角为 则6sin3C DC D nn 所以所求角的大小为6arcsin3。
3由条件可得 A NN C59.在 R tP A C中2P AP NP C,所以83P N 59,则103N CP CP N, N CP C所以所求距离等于点 P 到平面CAM 距离的设点 P到平面CAM 距离为h 则263A Pnhn所以所求距离为5106h927。
21解 (1) 由已知得208330FbAby ,则直线2F A 的方程为:03(3 )ybyxb , 令0x 得09yy,即20(0,9)Py, 设 P xy ,则0000 2952xxyyyy,即0025xxyy代入22002218xybb得:222248125xbyb, 即 P 的轨迹 E 的方程为22221225xybb. (2) 在22221225xybb中令0y 得222xb,则不妨设-2020BbDb , yxzPDMCBANO 于是直线Q B 的方程为:11(2 )2yyxbxb, 直线QD 的方程为:11( -2 )-2yyxbxb, 则11b112-x2002-2bybyMNxb , 则以 M N 为直径的圆的方程为: 2111122--022bybyxyyxbxb , 令0y 得:222122122b yxxb,而11,Q xy在22221225xybb上,则222112225xby, 于是5xb ,即以 M N 为直径的圆过两定点( 5 , 0), (5 , 0)bb. 22解 1由(1)(1)(1)(1)pqmnmnpqaaaaaaaa得 121a121.(1)(1)(1)(1)nnnnaaaaaaa将121245,aa代入化简得 112a1.2nnnaa 所以1111113 1,nnnnaaaa 故数列11{}nnaa为等比数列从而 111,3nnnaa即331.1nnna 可验证3311nnna满足题设条件. (3) 由题设(1)(1)mnmnaaaa的值仅与mn有关,记为,mnb 则111.(1)(1)(1)(1)nnnnnaaaaaabaa 考察函数 ( )(0)(1)(1)aaxfxxx,则在定义域上有 1,1112a( )( ),1,011aafxg aaaa 故对*nN 1( )nbg a恒成立. 又 222( )(1)nnnaabg a, 注意到120( )g a,解上式得 1( )12( )1( )12( )( ),( )( )1( )12( )ng ag ag ag ag aag ag ag ag a 取1( )12( )( )g ag ag a,即有 1.na.