[摘 要]为了改善GPS大地高向正常高转换的精度，在局部区域内,建立多面函数模型进行高程拟合,可以达到较高的精度。文中利用多面函数模型进行高程拟合,除选取分布均匀的GPS水准联测点外,还对核函数形式的选取做了详细地分析，并与高程拟合中常用的二次曲面拟合法做了对比，进行了精度分析。
[关键词]GPS高程；多面函数法；核函数
目前国内外应用GPS定位技术建立各类控制网时，平面控制基准的精度毋庸置疑，高程定位精度仍需进一步研究和提高。因此如何有效利用GPS测量的高程信息把大地高转换成正常高，直接为测绘生产服务，实现GPS观测时能同时获得实用的三维坐标，是非常实际而有意义地。对于局部区域工程控制网,可以采用数学方法建立合理的高程拟合模型,高程拟合的结果既可以验证水准测量的正确性,也可以作为精度要求较低的高程控制基准使用。本文对多面函数方法进行了详细地研究，利用某工程控制网点的高程异常进行拟合，并与高程拟合中常用的二次曲面拟合法做了对比，进行了精度分析。
多面函数拟合法，1971年由美国哈笛(Hardy)提出。1976年将此法应用于美国大地测量、拟合重力异常、大地水准面差距、垂线偏差等，1978年将此法用于地壳形变。它的基本思想是任何一个规则或不规则的连续曲面均可以由若干简单面(或称单值数学面)来叠加逼近。具体做法是在每个数据点上建立一个曲面，然后在方向上将各个旋转曲面按一定比例叠加成一张整体的连续曲面，使之严格地通过各个数据点[1][2]。
多面叠加的数学表达式为：
这里Q(x,y,xi,yi)为参加插值计算的简单数学面，又称为多面函数的核函数；n为简单数学面的张数或多层叠加面的层数，它的值与分块扩充范围内参与点的个数相等；Ki(i=1,2,3,…，n)为待定参数，它代表了第i个核函数对多层叠加面的贡献。为了计算方便，多层叠加面中的个核函数一般选用同一类型的简单函数，通常是围绕竖向轴旋转的曲面，这条竖正好通过某一参考点，例如：
这里为非零参数。式(3)表示一段双曲线绕竖直轴旋转而成的曲面，当σ=0时，此曲面就退化为圆锥面。
上式是母线为三次曲线的旋转面。
在上述各式中，为内插点到参考点之间的水平距离。
式中，α为参数。
Q6是以高斯曲线为母线的旋转面，C0和a为两个参数。设已知参考点有m个，选择其中n个点作为节点(j=1,2,…，n≤m)记B=(a1,a2，…an)T，则同样有V=AX-ζ0误差方程，式中X为核函数矩阵。
当已知数m大于节点数n时，利用最小二乘法原理，可以根据A=(XTX)-1XTζ0计算方程系数，在核函数权阵的情况下，也可以计算方程系数。系数求出后，同样可以求出待求点的ζ，从而求出Hr。
如果已知数m等于节点数n时，方程唯一解，可以按线性方程求解。如下式：B=X-1s…………………………(8)
这时待定点的解为：ζP=XPB=XPX-1ζ……(9)
这里补充说明，对于已知参考点个数等于误差方程系数的情况下，方程存在唯一解，只可以线性求解。这种方法的m个已知点，要求是高程异常显著点，即能很好描述该区域内高程异常分布的特征点，最好位于最高、最低及坡度变化处。
这种拟合法，虽然理论上严密，但使用上有些困难，特别是σ和核函数的选取，需要不断试验改进选取。下面就其中三个问题进行深入分析。
(1) 核函数的选择
Hardy的研究结果是对扰动位型调和函数拟合倒双曲面函数，对地形模型非调和型拟合正双曲面函数。在参考文献[5]的研究结果中，认为倒双曲面拟合效果良好。因此，在以前的研究中，大多数测量人员对倒双曲面的探讨比较多，而对其他核函数的研究没有涉及。
(2) 光滑系数的确定
优化的σ选取对其高拟合效果有作用，但比较困难，正如Hardy提出，是需要深入研究的一个问题。对于双曲面函数，文中取0～1000000对实验数据进行试验，结果表明σ越大，内插的曲面越平滑，但当大于某一值时将使结果出现很大的偏差。σ对于倒双曲面函数，σ必须大于零，否则无法计算，同时σ的取值也有正双曲面的性质，σ越大，内插的曲面越平滑。但当大于某一值时也将使结果出现很大的偏差。
(3) 核函数节点的选取
在大范围有较多的GPS水准点，即已知高程异常的点较多，可选其中部分作为节点，其余作为拟合高程异常的检核。此时，拟合结果就与所选节点不同而异，这是需要实验研究的问题。对于局部GPS网，GPS水准点不会很多，就可全部用来作为节点，进行拟合。
参考文献：
[1]刘大杰，陶本藻.实用测量数据处理方
法[M].北京:测绘出版社，2000
[2]李志林，朱庆，数字高程模型[M]. 武汉:
武汉测绘科技大学出版社，2000
[3]朱紫阳，施一民，黄占邦.以GPS水准
点作为起闭点的三角高程导线闭合差
限差之讨论[J] 测绘通报，2006(6)
[4]李征航，黄劲松.GPS测量原理与数据
处理[M]. 武汉:武汉大学出版社，2005
[5]陶本藻.GPS水准似大地水准面拟合和
正高计算[J] 测绘通报，1992(4)□
（编辑/刘佳）