摘 要：为了分析赛程对某一支球队的利弊，我们考虑的因素主要有每支球队两场比赛之间的场次总数、平均相隔场数、背靠背打比赛、球队实力、休息日，并根据这些因素将赛程转换为便于进行数学处理的数字格式，最后给出评价赛程利弊的数量指标。
关键词：背靠背；表格分析；0-1状态变量
一、问题重述
对于NBA这样庞大的赛事，编制一个完整的、对各球队尽可能公平的赛程是一件非常复杂的事情，赛程的安排对球队实力的发挥和战绩有一定的影响，从报刊上经常看到球员、教练和媒体对赛程的抱怨或评论。这个题目主要是要求用数学建模方法对已有的赛程进行定量的分析与评价：
问题一：按照（1）的结果计算、分析赛程对姚明加盟的火箭队的利弊，并找出赛程对30支球队最有利和最不利的球队。
问题二：分析赛程可以发现，每支球队与同区的每一球队赛4场（主客各2场），与不同部的每一球队赛2场（主客各1场），与同部不同区的每一球队有赛4场和赛3场（2主1客或2客1主）两种情况，每支球队的主客场数量相同且同部3个区的球队间保持均衡。试根据赛程找出与同部不同区球队比赛中，选取赛3场的球队的方法。
二、模型的假设
1.假设各支球队为互斥事件，即互不干扰；
2.假设赛程的公平性只与赛程安排有关，而与裁判等其它因素无关；
3.假设任相邻两场比赛之间间隔时间相同；
4.我们不考虑伤病的情况对球队比赛的影响；
5.每支球队的实力得到了充分的发挥；
三、模型的建立与求解
（一）问题一模型的建立与求解
经过上述问题的分析，我们建立每支球队两场比赛之间的间隔总数和平均相隔场次数模型。具体的解决如下：
记第i队第j个间隔场次数为Cij，i=1,2,…,n,j=1,2,…,n-2,则平均相隔场次为
rˉ= Cij…………………………………… (1)
是赛程整体意义下的指标，它越大越好。而(1)式右端的求和即为每支球队两场比赛之间的间隔总数。而rˉ是平均相隔场次数。
实际上，可以得到rˉ的上界为
rˉmax={k-, n=2k+1………………………………… (2)
k-1,n=2
(2)式的所要求的是平均相隔场次数的上限，即当n的值确定时，求出k的值。变可以得出结果。
由上面的公式（1）将求和的值统计的结果在表二。
要计算、分析赛程对姚明加盟的火箭队的利弊，我们就要把火箭的每支球队两场比赛之间的间隔总数和平均相隔场次数求出来。
先将全联盟的球队进行编号，并得出排名，得到如下表格：
由上表可以看出火箭队的编号是6号，即n=30,i=6,j=28.所以，将数据代入可以得到 = 13.85366， =14。与其它的球队相比， 在全联盟的火箭对队两场比赛之间的间隔总数和平均相隔场次数排在第二十六位。因为，每支球队两场比赛之间的间隔总数和平均相隔场次数越靠前，平均相隔的场数就越多，对球队越有利；排名越靠后对球队越不利。姚明加盟的火箭队排在第二十六位，比较靠后，形势对于火箭队处于不太有利的位置。
在表上可以起初的看出，排在第一、二的球队是洛杉矶快船和西雅图超音速队。他们的两场比赛之间的间隔总数和平均相隔的场数分别是1148场和14场。所以，对于这两个球队最有利。而排在最后的是犹他爵士和洛杉矶湖人，他们的两场比赛之间的间隔总数和平均相隔的场数分别是1134场和13.82927场。所以，对这两个球队最不利。
（二）问题二的建模与求解
1.统计表格分析法
对于问题3，由文中已知分析知道：通过对赛程的分析可以发现，每支球队与同区的每一球队赛4场（主客各2场），与不同部的每一球队赛2场（主客各1场），与同部不同区的每一球队有赛4场和赛3场（2主1客或2客1主）两种情况，每支球队的主客场数量相同且同部3个区的球队间保持均衡。
我们知道，每支球队与同区的每支球队比4场，即4*4=16场，加上与不同部的每支球队赛2场，即2*15=30场，剩下的就是同部不同区的场次数为82-16-30=36场。假设赛4场与赛3场的球队个数分别为x、y，
可知ｘ+ｙ=10 ……..①
则4ｘ+3ｙ=10 ……②
联立方程可解得 ，此时可以知道赛4场的球队数为6，赛3场的球队数为4。
2.编制赛程的方法：0-1状态模型
我们提取出同部不同区的两个地区的球队进行一般化分析，考虑其如何选取赛3场的球队及选定赛3场球队后，如何确定2主1客和1主2客的比赛情况的。由于其他任意同部部不同区的球队分析是相同的，我们将全区30个对进行简易化分析。
我们以左侧AB区的球队作为考察对象，则CD区为参照对象，假设0代表两区间球队进行了4场比赛（即进行2主2客的比赛，主客场次数的差值为0），1代表球队进行了3场比赛，其中+1是指AB区球队相对与CD区球队2主1客的情况，-1是则指对应1主2客的情况（即主客场次数差值为+1或-1）。
①首先，在AB区选定一个考察对象，结合表2并根据上述原则2，可确定在CD区赛3场的哪两支球对，对其中一支实力较弱的球队安排1主2客;
②考察对象转换为CD区球队，以其中赛3场的一个球对为考察对象，在AB区剩下的4个未选取球对中，选取其中背靠背场数最多的一个球队作为赛3场球队，并可相应的确定赛3场比赛中主客场的具体数量；
③然后考察对象转换为AB区的球队，重复步骤②，再确定剩下球队中背靠背场数最多的作为赛3场的球队，以此类推，可选择出两个区内进行了3场比赛的球队以及进行3场比赛的球队间主客场数。
④在选取球队时，有重复选取过的球队，由原则1可以知，该球队应不在第3次选取的范围内，即一球队最多被选2次赛3场的比赛。(作者单位：南昌大学科学技术学院，江西南昌，330029)
参考文献：
[1]李鸿吉.模糊数学基础及其算法[M]北京:科技出版社，2005.
[2]沈继红，施久玉，高振滨，张晓威.数学建模[M]哈尔滨：哈尔滨工程大学出版社，2003.
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