用导数法简证及拓广一道2009年清华大学自主招生题
压轴题之所以难，重点在于其思维过程的巧妙和复杂。压轴题的教学不能以知道答案为终点，更重要的是答案的由来。这个过程中对问题的审视、分析、思考、变通、调整等等则是压轴题教学中的重中之重，学生只有在通过多次这样的实践和操作，才能真正提高解决压轴题的能力，树立解决压轴题的信息，形成解决压轴题的思维品质 ，最终让压轴题的教育功能得到最大程度的发挥。本章节选若干对函数与导数压轴题进行教学和研究的文章，力图展现解决压轴题的思维过程。
用导数法简证及拓广一道2009年清华大学自主招生题
例说导数法证明不等式２００６年第２期中学数学研究１）（蔓丝一１）（生生±！一１）（土一１）（上一１）（三一１） ｏ一２～／ｙＸ：Ｚ‘２√罗＿８ｔ＋ｃａ”的性质结合评注：此题主要体现…１’的巧用与“ａｂ＋ｂｃ＝（上＋呈）（互＋三）（互＋Ｊ）≥２．／鼍 ｚ ｚ 、ｚ。例说导数法证明不等式广东省龙川县田家炳中学利用导敷证明不等武，就是利用不等式与 函数之间的紧密联系，将不等式的部分或全部 投射到函数上，直接或等价变形后，结合不等式（５１７３００）ｂ为主元构造函数证明 证明：先证左边不等式构造函数Ｆ（ｚ）＝的结构特征，构造相应的函数，通过导数运算判断出函数的单调性，或利用导数运算来求函数 的最值，将不等式的证明转化为函数问题，即转ｇ（工）＋ｇ（目）一２９（兰—车旦），故原不等式左边即转化为证职当ｚ＞ｎ＞ ０时，Ｆ（卫）＞Ｏ；化为比较函数值大小。或函数值在给定区间内恒成立等现择例说明如下． 一、在不等式中突出主元．以主元为自变量 构造函数。将不等式转化为函数在给定区间内 恒成立问题，然后利用导数证明 例１因为Ｆ’（ｚ）＝９７（ｚ）一２９’（兰＃）＝ｌｎｚｚ二ａ，当ｚ＞ｎ＞ｏ时，Ｆ７（ｚ）＞ｏ，故函数Ｆ（ｚ）在（Ⅱ，＋∞）上单调递增，再由０＜Ⅱ＜ｂ 和Ｆ（４）＝ｏ得Ｆ（ｂ）＞０．已知实数ｎ＞ｂ＞ｃ。求证：４２ｂ＋ｂ２ｃ再证右边不等式；构造函数Ｇ（卫）＝Ｆ（ｚ）一（ｚ—ｎ）Ｉｎ２，原不等式右边即转化为证明当 ｚ＞４＞０时，Ｇ（ｚ）＜ｏ； 因为Ｇ７（ｚ）＝Ｆ７（工）＋ｃ２ａ＞ａｂ２十ｂｃ２＋ｃ口２．分析：这是比较法证明不等式的一道典型问题，通过作差化倚可求证．以下通过导数来处 理．注意到ｎ，ｂ，ｃ三个元素在待证的不等式中 的关系是平行的，不妨选择。为主元，构造函 数ｆ（ｚ）＝（ｂ Ｃ）ｚ２＋（Ｃ２一ｂ２）ｚ＋（６２〔（工一ａ）ｌｎ２〕７＝ｌｎ工一Ｉｎ兰｛｝堡一ｌｎ２＝ｌｎ士一ｌｎ（ｚ＋ｄ）＜ｏ，函数Ｇ（ｚ）在（口，＋。。）上单调递减，由０＜ｎ＜ｂ，得Ｇ（ｂ）＜Ｇ（口），又Ｇ（ａ）＝０，．’．Ｇ（ｂ）＜０． 综合以上可知原不等式成立ｂｃ２），则厂（ｚ）＝２（６ｃ）ｚ＋（Ｃ２一ｂ２）＝（ｂ—Ｃ）（２ｘ—ｃ—ｂ），由口＞ｂ＞ｃ可知，当ｚ＞ｂ时，二、增量换元．以新元为自变置构造函数。将不等式转化为函数的最值或单调性问题．利 用导数来求证 例３ 巳知ｌ口ｌ＜１，ｊ ｂｌ＜１，／（ｚ）＞ｏ，故函数ｆ（士）在（６，＋。。）单调递增，由，（ｂ）＝０．ｆ（ａ）＞ｆ（ｂ），印得ａ２ｂ＋６２ｃ＋ｃ２ｎ＞Ⅱｂ２＋ｋ２＋ｃⅡ２．例２若ｇ（ｚ）＝ｘｌｎｘ，设Ｏ＜ａ＜ｂ，求证：ｏ＜ｇ（４）＋ｇ（ｂ）一２９（旦÷垒）＜（ｂ～ｎ）１ｎ２．（２００４年高考题改编）分析：待证不等武中两十平行元素。本侧以求证：．１＋ａ＋ｎｂｉ｜＜１．分析：这是课本一道习题，根据题目结构特点有许多不嗣的证明方法，但根据函数与不等式的联系．通过换元法构造函数，利用导数来证万方数据 中学数学研究明，让人耳目一新．２００６年第２期法得ｆ（０）最小，故ｆ（ｚ）≥ｆ（０） 同理，可构造函数ｇ（ｚ）＝Ｉｎ（ｚ十１）一ｚ， 通过求导证明不等式右边 例６ 已知ａ＞６＞ｅ，求证：ａ５＜ｂ。证明：设ｃ２｝＃三，则有（１＋ｎ６）ｃ一（ｎ＋ｂ）＝Ｏ，以ｃ为主元构造函数： ，（ｚ）＝（１＋ａｂ）ｚ一（ｎ＋ｂ），刚其导数 厂（ｚ）＝ｌ＋ａｂ，由Ｉ ｎ｝＜１，ｌ ｂ『＜１可知，函数 ，（ｚ）是增函数；而厂（ １）＝（１＋ａｂ）（一１）一分析：因为ｎ＞ｂ＞ｓ，故要证原不等式，只须证明ｌｎａｂ＜ｌｎ酽，即证警＜％６，将警，警看作函数ｙ＝Ｉｎ。ｘ的函数值，构造函数，＝警，得了７＝１－一丁ｌｎｚ＜０，函数ｙ＝ｌｎ，ｚ是减函数，故 原不等式成立 四、多变量不等式中．通过定值变量互换构 造函数．根据题设条件将各变量之间的联系转 化为函数的定义域．利用导数运算缩小变量个 数．再由函数的单调性。逐步求证（口＋ｂ）＝（１十Ⅱ）（１＋ｂ）＜０，，（１）＝（１－Ｉ－ｄ） ?（１＋ｂ）＞Ｏ，由增函数的定义知，一１＜ｃ＜１，即『ｉａ而＋ｂ Ｉ＜１例４ 隶证：“８一Ⅱ５＋Ⅱ２Ⅱ＋ｌ＞０分析：直接证明，比较团难，可对不等式左 边作一变形再构造函数证得 证明：设ｚ＝３，构造ｆ（ｚ）＝口２２２一ａ２ｚ ＋，一ｎ＋１，当日２＝１３时，ｆ（ｚ）＝１；当８２＞Ｏ时，有ｆ’（ｚ）＝“２（２ｘ一１），当ｚ＞寺时，厂（ｚ）１＜工，ｙ＜ｌ，求证：南＋＞ｏ；当ｚ＜｝时，／（ｚ）＜０；所以ｚ＝寻时，１～～２７１一删＋证明：－一１＜ｚ，ｙ＜１，当ｚ＝Ｙ时，不等 式恒成立。以下设上＞ｙ（对３５＜ｙ情形，厨理可 证），以ｚ为主元构造函数：，（ｚ）有最小值，（；），而，（；）＝ｊ３“２＿ｎ＋１＝ｉ１口２＋（ｊ口一１）２＞ｏ综合可得，（ｚ）＞ｏ三、将不等式恒等变形，将其结构变形统 一。根据整体特征构造相应的函数，利用导数求 证 例５若ｚ＞儿）＝＃≯＋。导一ｒ与，ｌ，试证明：１一÷≤ｌｎ（ｚ厂（ｚ）２百丽２ｘ ｊ百‰一三地一ｓｏｙｊ三二１２（！二兰！＋１）≤ｚ．（２００４年广州一模第１９题） 证明：先证不等式左边，即证Ｉｎ（ｚ＋１）一１（卜ｚ２）２（卜础）２＝罄爿譬１雾：ｒｙ＞。，一（１一ｚ２）２（一 ）２＋三毛≥ｏ，因为１ｎ（ｏ＋１）一１＋两１＝ｏ，所以只需证明ｌｎ（ｚ＋１）１十所以函数ｆ（ｚ）在〔Ｙ，１）上是增函数，ｆ（ｚ） ＞＿ｒ（ｙ），而ｆ（ｙ）＝０，故－厂（ｚ）＞０，：，≥Ｉｎ（０＋１）一１＋而１，由上面不等武的整体形式结构，可以构造印南＋ｉ－１ｙｊ≥南例８设ｎ．ｂ，ｃ为正实数，且满足ａｂｃ＝厂（ｚ）＝ｌｎ（ｘ＋１）一ｌ＋ｉ击，原题即转化为函数在（一１。＋。。）上ｆ（ｚ）≥ｆ（ｏ）恒成立，由于１，试证：。，丁矿１万ｊ＋硪ｉ１；。）＋。ｉ瓦１了ｉｊ≥昙（第３６届ＩＭＯ试题），证明：目为ａｂｃ＝１，待证不等式等价干／（ｚ）＝而１一ｉ≥｝殍＝南，所以可得厂（ｚ）＝０时，ｚ＝０；当ｚ＞０时，厂（ｚ）２＞０；当一１＜ｚ＜０时，厂（ｚ）＜０；故由导数的判定方：７．ｃ３＋尘￡＋旦篙一ｊ≥ｏ．不失一般性，不 ２一一…７……妨设ｃ是。，ｂ．ｃ三者中的最大者，由题意，ｃ≥万方数据 ２００６年第２期 １，以ｃ为白变量构造函数中学数学研究一ｌ Ｊ，?‘ｚｌｊ≥ｚ２；；ｚ‘【ｚ＝３，‘。‘，ｎ一１，ｎ Ｊ，儿）＝雨ｂ３ｘ３＋鬟＋崭一ｉ＝ｂ＝１，ｆ（１）＝０．３２２Ⅱ３（ｚ十ｎ）一ｚ３４３ （ｚ＋ｎ）２几）＝坦毪舻＋．?．（垒一萼）＋（旦一１）≥ｏ，即厂（。。）≥．Ｔ－２ ｚｉ０，函数，（ｚ，）在〔ｚ２。＋ｏｏ）上是增函数， 所以ｆ（石１）≥，（ｚ２），３ｂ４２２＋２ｂ３２３（ｂ＋士）２显然，对任意口，ｂ＜Ｘ时，函数ｆ（Ｘ）在【１，即叠Ｘ２＋耋２＋．一荨２＋｝ｃ”‖ …‰）≥耋＋．?＋等２＋詈２一（”…＋＋。。）上是增函数，而当ｃ＝１时．ａｂｃ＝１，．‘．Ⅱ同理，设ｚ：，如分别是这ｎ一１个数中最大、次大者，以ｚ２为主元构造函数瓦ｂ＋瓦‰≥吾． 而而＋ｊ甄了而声虿。所以，（ｃ）≥，（１）＝ｏ，即再南＋设ｚ１，ｚ２，…，ｚ。都是正数，求证：Ｚ ３Ｘ Ｚｎ － ｚ１ ｑｆ（ｘ２）－奶ｘＡ＋“一＋等２＋詈２一（矿…＋ｚ。），利用导数可证窆＋》?．＋等２＋署－－≥Ｘ１（１９８４年高中数学联赛试题）：＋”～。．耋＋．．＋等２＋署２七：＋．．乜）≥工３ 卫ｎ Ｚ２互。．＋苎≥＋生２一（。，。．＋。。），证明：由题意，不妨设ｚ１，ｚ２分别是这ｎ重复上述步骤，可以得知当ｚ１＝ｚ２＿ｔ?＝ ｚ．时．原不等式成立．个数中最大、次大者，即ｚ１≥ｚ２≥丑（ｉ＝３。…， ｎ一１，ｎ），以ｚ１为主元构造函数，（ｚ１）＝旦Ｘ２薹＋耋＋“．＋等２＋生Ｘｌ≥印矿 ＋耄＋”．＋每＋了ｘＡ（¨‖…坻），…ｈ‖ｚ２ Ｚ３ ｚ“则厂（ｚ。）＝２．。ｘ。ｌ一詈２—１＝（萎一耄２）＋（。ｘ：ｌ解排列组合题的一个递推公式及其应用浙江省诸暨市草塔中学问题一：把１，２。３．…．ｎ这ｎ个数字排成（３１１８１２）何周火Ｄ１＝０，Ｄ２＝１。当ｎ≥３时，考虑１，２，３，…，”一排，使得数字与位数不相同，有多少种不同的排法？ 分析：使得数字与位数不相同，即数字ｉ不 能排在第ｉ位，ｉ＝１，２，３，…，ｎ．这样的排列我这ｎ个数字的排列．我们先排第一位。第一位数字不能排１，只能是２，３，…，ｎ，共有ｎ一１种排法．令ｄ。表示第一位是２的排列数，则第一位是３、４、…、ｎ的排列数也都是ｄ。．所以有Ｄ。； （ｎ一１）ｄ。．（１）们称之为ｎ个元素的错位排列．设这ｎ个元素的错位排列数为Ｄ。，则易知考察在ｄ。中的排列，它们都是２、ｊ２、ｂ、万方数据 例说导数法证明不等式作者： 作者单位： 刊名： 英文刊名： 年，卷(期)： 被引用次数： 肖志向 广东省龙川县田家炳中学,517300 中学数学研究 STUDIES IN MIDDLE SCHOOL MATH GUANGDONG 2006(2) 2次引证文献(2条) 1.刘韧 论导数在不等式中的应用[期刊论文]-现代商贸工业 2009(6) 2.罗会元 一个不等式之拓广及其应用[期刊论文]-中学数学研究 2006(6)本文链接：https://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_zxsxyj200602017.aspx大小：139.44KB
2财富值
免费
登录百度文库，专享文档复制特权，财富值每天免费拿！
你可能喜欢用导数法简证及拓广一道2009年清华大学自主招生题
1. 组合数学概述
组合数学，又称为离散数学，但有时人们也把组合数学和图论加在一起算成是离散数学。组合数学是计算机出现以后迅速发展起来的一门数学分支。计算机科学就是算法的科学，而计算机所处理的对象是离散的数据，所以离散对象的处理就成了计算机科学的核心，而研究离散对象的科学恰恰就是组合数学。组合数学的发展改变了传统数学中分析和代数占统治地位的局面。现代数学可以分为两大类：一类是研究连续对象的，如分析、方程等，另一类就是研究离散对象的组合数学。组合数学不仅在基础数学研究中具有极其重要的地位，在其它的学科中也有重要的应用，如计算机科学、编码和密码学、物理、化学、生物等学科中均有重要应用。微积分和近代数学的发展为近代的工业革命奠定了基础。而组合数学的发展则是奠定了本世纪的计算机革命的基础。计算机之所以可以被称为电脑，就是因为计算机被人编写了程序，而程序就是算法，在绝大多数情况下，计算机的算法是针对离散的对象，而不是在作数 计算。正是因为有了组合算法才使人感到，计算机好象是有思维的。
组合数学不仅在软件技术中有重要的应用价 ，在企业管理，交通规划，战争指挥，金融分析等领域都有重要的应用。在美国有一家用组合数学命名的公司，他们用组合数学的方法来提高企业管理的效益，这家公司办得非常成功。此外，试验设计也是具有很大应用价 的学科，它的数学原理就是组合设计。用组合设计的方法解决工业界中的试验设计问题，在美国已有专门的公司开发这方面的软件。最近，德国一位著名组合数学家利用组合数学方法研究药物结构，为制药公司节省了大量的费用，引起了制药业的关注。
在1997年11月的南开大学组合数学研究中心成立大会上，吴文俊院士指出，每个时代都有它特殊的要求，使得数学出现一个新的面貌，产生一些新的数学分支，组合数学这个新的分支也是在时代的要求下产生的。最近，吴文俊院士又指出，信息技术很可能会给数学本身带来一场根本性的变革，而组合数学则将显示出它的重要作用。杨乐院士也指出组合数学无论在应用上和理论上都具有越来越重要的位置，它今后的发展是很有生命力，很有前途的，中国应该倡导这个方面的研究工作。万哲先院士甚至举例说明了华罗庚，许宝禄，吴文俊等中国老一辈的数学家不仅重视组合数学，同时还对组合数学中的一些基本问题作了重大贡献。迫于中国组合数学发展自身的需要，以及中国信息产业发展的需要，在中国发展组合数学已经迫在眉睫，刻不容缓。
2. 组合数学与计算机软件
随着计算机网络的发展，计算机的使用已经影响到了人们的工作，生活，学习，社会活动以及商业活动，而计算机的应用根本上是通过软件来实现的。我在美国听到过一种说法，将来一个国家的经济实力可以直接从软件产业反映出来。我国在软件上的落后，要说出根本的原因可能并不是很简单的事，除了技术和科学上的原因外，可能还跟我们的文化，管理水平，教育水平，思想素质等诸多因素有关。除去这些人文因素以外，一个最根本的原因就是我国的信息技术的数学基础十分薄弱，这个问题不解决，我们就难成为软件强国。然而问题决不是这么简单，信息技术的发展已经涉及到了很深的数学知识，而数学本身也已经发展到了很深、很广的程度并不是单凭几个聪明的头脑去想想就行了，而更重要的是需要集体的合作和力量，就象软件的开发需要多方面的人员的合作。美国的软件之所以能领先，其关键就在于在数学基础上他们有很强的实力，有很多杰出的人才。一般人可能会认为数学是一门纯粹的基础科学，1 1的解决可能不会有任何实际的意义。如果真是这样，一门纯粹学科的发展落后几年，甚至十年，关系也不大。然而中国的软件产业的发展已向数学基础提出了急切的需求：网络算法和分析，信息压缩，网络安全，编码技术，系统软件，并行算法，数学机械化和计算机推理，等等。此外，与实际应用有关的还有许多许多需要数学基础的算法，如运筹规划，金融工程，计算机辅助设计等。如果我们的软件产业还是把 光一直盯在应用软件和第二次开发，那么我们在应用软件这个领域也会让国外的企业抢去很大的市场。如果我们现在在信息技术的数学基础上，大力支持和投入，那将是亡羊补牢，犹未为晚；只要我们能抢回信息技术的数学基地，那么我们还有可能在软件产业的竞争中，扭转局面，甚至反败为胜。吴文俊院士开创和领导的数学机械化研究，为中国在信息技术领域占领了一个重要的阵地，有了雄厚的数学基础，自然就有了软件开发的竞争力。这样的阵地多几个，我们的软件产业就会产生新的局面。
得注意的是，印度有很好的统计和组合数学基础，这可能也是印度的软件产业近几年有很大发展的原因。
3. 组合数学在国外的状况
纵观全世界软件产业的情况，易见一个奇特的现象：美国处于绝对的垄断地位。造成这种现象的一个根本的原因就是计算机科学在美国的飞速发展。当今计算机科学界的最权威人士很多都是研究组合数学出身的。美国最重要的计算机科学系（MIT，Princeton，Stanford，Harvard，Yale，….）都有第一流的组合数学家。计算机科学通过对软件产业的促进，带来了巨大的效益，这已是不争之事实。组合数学在国外早已成为十分重要的学科，甚至可以说是计算机科学的基础。一些大公司，如IBM，AT T都有全世界最强的组合研究中心。Microsoft 的Bill Gates近来也在提倡和支持计算机科学的基础研究。例如，Bell实验室的有关线性规划算法的实现，以及有关计算机网络的算法，由于有明显的商业价 ，显然是没有对外公开的。美国已经有一种趋势，就是与新的算法有关的软件是可以申请专利的。如果照这种趋势发展，世界各国对组合数学和计算机算法的投入和竞争必然日趋激烈。美国政府也成立了离散数学及理论计算机科学中心DIMACS（与Princeton大学，Rutgers大学，AT T 联合创办的，设在Rutgers大学），该中心已是组合数学理论计算机科学的重要研究阵地。美国国家数学科学研究所（Mathematical Sciences Research Institute，由陈省身先生创立）在1997年选择了组合数学作为研究专题，组织了为期一年的研究活动。日本的NEC公司还在美国的设立了研究中心，理论计算机科学和组合数学已是他们重要的研究课题，该中心主任R. Tarjan即是组合数学的权威。我所熟悉的美国重要的国家实际室（Los Alamos国家实验室，以造出第一颗原子弹著称于世），从曼哈顿计划以来一直重视应用数学的研究，包括组合数学的研究。我所接触到的有关组合数学的计算机模拟项目经费达三千万美元。不仅如此，该实验室最近还在积极充实组合数学方面的研究实力。美国另外一个重要的国家实验室Sandia国家实验室有一个专门研究组合数学和计算机科学的机构，主要从事组合编码理论和密码学的研究，在美国政府以及国际学术界都具有很高的地位。由于生物学中的DNA的结构和生物现象与组合数学有密切的联系，各国对生物信息学的研究都很重视，这也是组合数学可以发挥作用的一个重要领域。前不久召开的北京香山会议就体现了国家对生物信息学的高度重视。据说IBM也将成立一个生物信息学研究中心。由于DNA就是组合数学中的一个序列结构，美国科学院院士，近代组合数学的奠基人Rota教授预言，生物学中的组合问题将成为组合数学的一个前沿领域。
美国的大学，国家研究机构，工业界，军方和情报部门都有许多组合数学的研究中心，在研究上投入了大量的经费。但他们得到的收益远远超过了他们的投入，更主要的是他们还聚集了组合数学领域全世界最优秀的人才。高层次的软件产品处处用到组合数学，更确切地说就是组合算法。传统的计算机算法可以分为两大类，一类是组合算法，一类是数 算法（包括计算数学和与处理各种信息数据有关的信息学）。依我个人的浅见，近年来计算机算法又多了一类：那就是符号计算算法。吴文俊院士开创的机器证明方法就属于符号计算，引起了国际上的高度评价，被称为吴方法。而国际上还有专门的符号计算杂志。符号算法和吴方法跟代数组合学也有十分密切的联系。组合数学，数 计算（包括计算数学，科学计算，非线性科学，和与处理各种信息数据有关的信息学）和统计学可能是应用最广的数学分支，而组合数学的价 甚至不亚于统计学和数 计算。由于数学机械化近年来的发展和在计算机科学中的重要性，把数学机械化，科学计算和组合数学组合起来，就可以说是中国信息产业的基础。组合数学家H. Wilf和D. Zeilberger1998因为在组合恒等式的机械化证明方面的成果，获得1998年美国数学会的Steele奖。
Gian-Carlo Rota教授在他去年不幸逝世之前，还专门向我提出，希望我向中国有关部门和领导人呼吁，组合数学是计算机软件产业的基础，中国最终一定能成为一个软件大国，但是要实现这个目标的一个突破点就是发展组合数学。中国在软件技术上远远落后于美国，而在组合数学上则更是落后于美国和欧洲。如果中国只是想在软件技术上跟着西方走，而不在组合数学上下功夫，那么中国的软件将一直处于落后的状态。他特别强调组合数学在计算机科学中的作用，以及在大学计算机系加强组合数学教学和人才培养。
最近Thomson Science公司创刊的一份电子刊物《离散数学和理论计算机科学》即是一个很好的说明。它的内容涉及离散数学和计算机科学的众多方面。由于计算机软件的促进和需求，组合数学已成为一门既广博又深奥的学科，需要很深的数学基础，逐渐成为了数学的主流分支。本世纪公认的伟大数学家盖尔芳德预言组合数学和几何学将是下一世纪数学研究的前沿阵地。这一观点不仅得到国际数学界的赞同，也得到了中国数学界的赞同和响应。
加拿大在Montreal成立了试验数学研究中心，他们的思路可能和吴文俊院士的数学机械化研究中心的发展思路类 ，使数学机械化，算法化，不仅使数学为计算机科学服务，同时也使计算机为数学研究服务。吴文俊院士指出，中国传统数学中本身就有浓厚的算法思想。
今后的计算机要向更加智能化的方向发展，其出路仍然是数学的算法，和数学的机械化。另外的一个有说服力的现象是，组合数学家总是可以在大学的计算机系或者在计算机公司找到很好的工作，一个优秀的组合数学家自然就是一个优秀的计算机科学家。相反，美国所有大学计算机系都有组合数学的课程。
除上述以外，欧洲也在积极发展组合数学，英国、法国、德国、荷兰、丹麦、奥地利、瑞典、意大利、西班牙等国家都建立了各种形式的组合数学研究中心。近几年，南美国家也在积极推动组合数学的研究。澳大利亚，新西兰也组建了很强的组合数学研究机构。
得一提的是亚洲的发达国家也十分重视组合数学的研究。日本有组合数学研究中心，并且从美国引进人才，不仅支持日本国内的研究，还出资支持美国的有关课题的研究，这样使日本的组合数学这几年的发展极为迅速。台湾、香港两地也从美国引进人才，大力发展组合数学。新加坡，韩国，马来西亚也在积极推动组合数学的研究和人才培养。台湾的数学研究中心也正在考虑把组合数学作为重点方向来发展。世界各地对组合数学的如此钟爱显然是有原因的，那就是没有组合数学就没有计算机科学，没有计算机软件。
4. 组合数学花絮
** 在日常生活中我们常常遇到组合数学的问题。如果你仔细留心一张世界地图，你会发现用一种颜色对一个国家着色，那么一共只需要四种颜色就能保证每两个相邻的国家的颜色不同。这样的着色效果能使每一个国家都能清楚地显示出来。但要证明这个结论确是一个著名的世界难题，最终借助计算机才得以解决，最近人们才发现了一个更简单的证明。
** 我国古代的河洛图上记载了三阶幻方，即把从一到九这九个数按三行三列的队行排列，使得每行，每列，以及两条对角线上的三个数之和都是一十五。组合数学中有许多象幻方这样精巧的结构。1977年美国旅行者1号、2号宇宙飞船就带上了幻方以作为人类智慧的信号。
** 当你装一个箱子时，你会发现要使箱子尽可能装满不是一件很容易的事，你往往需要做些调整。从理论上讲，装箱问题是一个很难的组合数学问题，即使用计算机也是不容易解决的。
** 在中小学的数学游戏中，有这样一个问题，一个船夫要把一只狼，一只羊和一棵白菜运过河。问题是当人不在场时，狼要吃羊，羊要吃白菜，而他的船每趟只能运其中的一个。他怎样才能把三者都运过河呢？这就是一个很典型、很简单的组合数学问题。
** 我们还会遇到更复杂的调度和安排问题。例如，在生产原子弹的曼哈顿计划中，涉及到很多工序，许多人员的安排，很多元件的生产，怎样安排各种人员的工作，以及各种工序间的衔接，从而使整个工期的时间尽可能短？这些都是组合数学典型例子。
** 航空调度和航班的设定也是组合数学的问题。怎样确定各个航班以满足不同旅客转机的需要，同时也使得每个机场的航班起落分布合理。此外，在一些航班有延误等特殊情况下，怎样作最合理的调整，这些都是组合数学的问题。
** 对于城市的交通管理，交通规划，哪些地方可能是阻塞要地，哪些地方应该设单行道，立交桥建在哪里最合适，红绿灯怎样设定最合理，如此等等，全是组合数学的问题。
** 一个邮递员从邮局出发，要走完他所管辖的街道，他应该怎样选择什么样的路径，这就是著名的 中国邮递员问题 ，由中国组合数学家管梅谷教授提出，著名组合数学家，J. Edmonds和他的合作者给出了一个解答。
** 一个通讯网络怎样布局最节省？美国的贝尔实验室和IBM公司都有世界一流的组合数学家在研究这个问题，这个问题直接关系到巨大的经济利益。
** 据说，假日饭店的管理中，也严 规定了有关的工序，如清洁工的第一步是换什么，清洗什么，第二步又做什么，总之，他进出房间的次数应该最少。既然，这样一个简单的工作都需要讲究工序，那么一个复杂的工程就更不用说了。
** 库房和运输的管理也是典型的组合数学问题。怎样安排运输使得库房充分发挥作用，进一步来说，货物放在什么地方最便于存取（如存储时间短的应该放在容易存取的地方）。
** 我们知道，用形状相同的方型砖块可以把一个地面铺满（不考虑边缘的情况），但是如果用不同形状，而又非方型的砖块来铺一个地面，能否铺满呢？这不仅是一个与实际相关的问题，也涉及到很深的组合数学问题。
** 组合数学中有一个著名问题：是否存在稳定婚姻的问题。假如能找到两对夫妇（如张（男）--李（女）和赵（男）--王（女）），如果张（男）更喜欢王（女），而王（女）也更喜欢张（男），那么这样就可能有潜在的不稳定性。组合数学的方法可以找到一种婚姻的安排方法，使得没有上述的不稳定情况出现（当然这只是理论上的结论）。这种组合数学的方法却有一个实际的用途：美国的医院在确定录取住院医生时，他们将考虑申请者的志愿的先后次序，同时也给申请排序。按这样的次序考虑出的总的方案将没有医院和申请者两者同时后悔的情况。实际上，高考学生的最后录取方案也可以用这种方法。
** 组合数学还可用于金融分析，投资方案的确定，怎样找出好的投资组合以降低投资风险。南开大学组合数学研究中心开发出了 金沙股市风险分析系统 现已投放市场，为短线投资者提供了有效的风险防范工具。
总之，组合数学无处不在，它的主要应用就是在各种复杂关系中找出最优的方案。所以组合数学完全可以看成是一门量化的关系学，一门量化了的运筹学，一门量化了的管理学。
胡锦涛同志在1998年接见 五四 青年奖章时发表的讲话中指出，组合数学不同于传统的纯数学的一个分支，它还是一门应用学科，一门交叉学科。他希望中国的组合数学研究能够为国家的经济建设服务。
如果21世纪是信息社会的世纪，那么21世纪也必将是组合数学大有可为的世纪。
有关组合数学的更进一步的资料可在南开大学组合数学研究中心的网页上找到：
生活中矩阵的应用
摘要：矩阵作为一种重要的工具，在生活的方方面面都存在应用。比如科学地选彩票号码，图形的变换处理，控制监控系统都存在了矩阵的痕迹。矩阵在各个领域的应用为我们展示了矩阵的广泛实用性。矩阵实现了对组合的优化，对质量的管理优化，会变得越来越重要。
一．矩阵的概念
在开始讨论矩阵应用前，先了解一下矩阵及相关的一些概念。在数学上，矩阵是指纵横排列的二维数据表 ，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵，这一概念由19世纪英国数学家凯利首先提出。一些矩阵在农业，经济，通信等领域都存在许多特别的应用。
二．矩阵的特别的应用
1．矩阵应用在选彩票号码
一些彩民由于未了解“旋转矩阵”的作用，都采取旧式的复式投注方式(即完全复式)，完完整整地拿去打彩，一些对复式投注进行深入研究的彩民发现进行复式投注浪费了不少成本。据研究者发现约有三分之一号码组合，实际上是不可能中奖或极难中奖的。
据说在美国彩票史上，Gail Howard运用一种叫做“旋转矩阵”投注选号法，奇迹般地中出了74个大奖。这种“旋转矩阵”法，是一种基于“旋转矩阵”数学原理构造的选号法，其核心是：以极低的成本实现复式投注的效果。
那么如何以极低的成本实现复式投注的最佳效果呢？这是由“旋转矩阵”法优点决定的。
实际上，旋转矩阵是教你如何科学地组合号码。与完全复式投注组合号码的方法相比，旋转矩阵有着投入低、中奖保证高的优点。
举个例子讲，10个号码的中6保5型的旋转矩阵的含义就是，你选择了10个号码，如果其中包含了6个中奖号码，那么运用该矩阵提供的14注号码，你至少有一注中对5个号码的奖。本矩阵只要投入28元，而相应的复式投注需要投入420元。大家知道，用10个号码，只购买其中的14注，如果你胡乱组合的话，即使这10个号码中包含有6个中奖号码，你也很可能只中得一些小奖。而运用旋转矩阵的话，就可以得到一个对5个号码的奖的最低中奖保证。
旋转矩阵是世界上著名的彩票专家、澳大利亚数学家底特罗夫研究的，它可以帮助您锁定喜爱的号码，提高中奖的机会。首先您要先选一些号码，然后，运用某一种旋转矩阵，将你挑选的数字填入相应位置。如果您选择的数字中有一些与开奖号码一样，您将一定会中一定奖级的奖。当然运用这种旋转矩阵，可以最小的成本获得最大的收益，且远远小于复式投注的成本。（1）
旋转矩阵的原理在数学上涉及到的是一种组合设计：覆盖设计。而覆盖设计，填装设计，斯坦纳系，t-设计都是离散数学中的组合优化问题。
2．矩阵在透视投影应用
三维计算机图形学中另外一种重要的变换是透视投影。与平行投影沿着平行线将物体投影到图像平面上不同，透视投影按照从投影中心这一点发出的直线将物体投影到图像平面。这就意味着距离投影中心越远投影越小，距离越近投影越大。
最简单的透视投影将投影中心作为坐标原点，z = 1 作为图像平面，这样投影变换为 x" = x / z; y" = y / z，用齐次坐标表示为：这个乘法的计算结果是 (xc,yc,zc,wc) = (x,y,z,z)。
在进行乘法计算之后，通常齐次元素 wc 并不为 1，所以为了映射回真实平面需要进行齐次除法，即每个元素都除以 wc：
更加复杂的透视投影可以是与旋转、缩放、平移、切变等组合在一起对图像进行变换。
比如给定n个点，m个操作，构造O(m n)的算法输出m个操作后各点的位置。操作有平移、缩放、翻转和旋转这里的操作是对所有点同时进行的。其中翻转是以坐标轴为对称轴进行翻转（两种情况），旋转则以原点为中心。如果对每个点分别进行模拟，那么m个操作总共耗时O(mn)。利用矩阵乘法可以在O(m)的时间里把所有操作合并为一个矩阵，然后每个点与该矩阵相乘即可直接得出最终该点的位置，总共耗时O(m n)。假设初始时某个点的坐标为x和y，下面5个矩阵可以分别对其进行平移、旋转、翻转和旋转操作。预先把所有m个操作所对应的矩阵全部乘起来，再乘以(x,y,1)，即可一步得出最终点的位置。
3．矩阵在质量问题中的运用
矩阵是从多维问题的事件中，找出成对的因素，排列成矩阵图，然后根据矩阵图来分析问题，确定关键点的方法，它是一种通过多因素综合思考，探索问题的好方法。
在复杂的质量问题中，往往存在许多成对的质量因素．将这些成对因素找出来，分别排列成行和列，其交点就是其相互关联的程度，在此基础上再找出存在的问题及问题的形态，从而找到解决问题的思路。
矩阵图的形式：A为某一个因素群，a1、a2、a3、a4、…是属于A这个因素群的具体因素，将它们排列成行；B为另一个因素群，b1、b2、b3、b4、…为属于B这个因素群的具体因素，将它们排列成列；行和列的交点表示A和B各因素之间的关系。按照交点上行和列因素是否相关联及其关联程度的大小，可以从中得到解决问题的启示。
质量管理中所使用的矩阵图，其成对因素往往是要着重分析的质量问题的两个侧面，如生产过程中出现了不合 品时，着重需要分析不合 的现象和不合 的原因之间的关系，为此，需要把所有缺陷形式和造成这些缺陷的原因都罗列出来，逐一分析具体现象与具体原因之间的关系，这些具体现象和具体原因分别构成矩阵图中的行元素和列元素。
矩阵图法的用途十分广泛．在质量管理中，常用矩阵图法解决以下问题：
①把系列产品的硬件功能和软件功能相对应，从中找出研制新产品或改进老产品的切入点，进行多变量分析、研究从何处入手以及以什么方式收集数据。
②明确应保证产品质量特性及与管理机构或保证部门的关系，使质量保证体制更可靠；
③当生产工序中存在多种不良现象，且它们具有若干个共同的原因时，搞清这些不良现象及其产生原因的相互关系，进而把这些不良现象一举消除。
④明确产品的质量特性与试验测定仪器、试验测定项目之间的关系，力求强化质量评价体制或使之提高效率；（2）
三，对矩阵应用的感悟
上述的矩阵应用说明了矩阵不仅仅是解方程组的工具，而且它是一种有用的工具，不仅仅在数学领域，还在经济，计算机领域等领域。相信在不久的未来，矩阵会变得越来越重要。矩阵的作用会越来越多地让人们发现。在线性代数数学书中，方程组可以转换为矩阵，再通过矩阵来简单，快速地解决问题。在质量管理问题上，它采用矩阵图来找出切入点，了解原因，使质量效率提高。
相信在不久的未来，矩阵对于优化问题的应用会越来越广泛，触及面会越来越多。矩阵是生活变得更简单，方便。
参考文献：
[1] 《科学通报》蒋昌俊,吴哲辉..,1989.
[2] 求解约束矩阵方程及其最佳 近的迭代法的研究彭亚新.湖南大学,2005.
福州大学“离散数学与理论计算机科学研究中心”
在迅速发展的计算机科学技术及信息技术等领域，离散数学是重要的基础学科和支撑学科，它的发展和应用是影响一个国家科学技术发展水平的重要因素。以福州大学“离散数学与理论计算机科学研究中心”为依托的离散数学及其应用教育部重点实验室于2007年7月获教育部批准立项建设。目前，实验室共有固定研究人员27人，其中教授15人，副教授5人，具有博士学位15人，从国外学成归来7人。实验室由马志明院士担任学术委员会主任，范更华教授担任实验室主任。
实验室现有三个研究方向：图论与组合数学、大规模集成电路设计中的数学方法、优化理论与算法。近年来，实验室先后承担国家重点基础研究发展计划（973计划）课题1项、国家自然科学基金重点项目2项、国家自然科学基金项目14项。获国家自然科学二等奖1项，教育部科技一等奖1项，教育部科技二等奖1项。
实验室不仅是高水平科学研究中心，也是高层次人才培养基地。实验室以应用数学、计算机应用技术省级重点学科，国家集成电路人才培养基地，离散数学“211工程”建设重点学科，应用数学博士点以及两个一级学科硕士点（数学、计算机科学与技术）为支撑，形成具有一定规模的离散数学高层次人才培养体系。实验室将充分利用自身的条件，围绕主攻方向，提升开放层次，促进学术交流与合作，使实验室整体研究水平达到国内领先水平，某些研究方向达到国际先进水平，为国家及福建地方建设做出突出贡献。