摘 要： 中考几何综合题常以几何图形为载体去考查几何或函数，并以动态几何或数学活动两大类的题型出现.作者以参与命制的福建省莆田市近年来的中考质检与中考试卷中的几何综合题为例，对数学活动过程的考查方式进行试题评析与命题反思，从而对初中数学教学有一定的启示作用.
关键词： 中考几何综合题 数学活动 评析反思 教学启示
中考数学试卷应继续加强对问题形成过程的考查，这样做有助于引导课标所倡导的教学方式，加强探索性问题考查有利于引导教学实践中让学生有更多的自主探究的机会，完善教学方式.在实施过程中命题者应该关注：怎样设问才能较好地让学生展现自己认识问题和选择解题策略的过程、探究问题和说理的思维活动过程、提出问题与解决问题的过程，什么样的试题形式比较适合于考查学生的数学活动过程，等等.
中考几何综合题常以几何图形为载体去考查几何或函数，常见的是以动态几何或数学活动两大类的题型出现.数学活动过程的考查方式有：
1.数学活动过程中所表现出来的思维方式、思维水平，对活动对象、相关知识与方法的理解深度；
2.迁移活动过程中的知识水平、思想方法，间接考查学生的数学活动过程；
3.能否通过观察、实验、归纳、类比等活动获得数学猜想，并寻求证明猜想的合理性；
4.能否使用恰当的数学语言有条理地表达自己的数学思考过程；
5.经历数学研究活动过程，形成较强的合情推理意识，发展学生的创新能力.
现以我参与命制的福建省莆田市近年来的中考质检与中考试卷中对数学活动考查的几何综合题为例进行试题评析与命题反思.
一、试题评析与命题反思
例1.（2008年莆田市中考25题）
阅读理解：如图1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，点P在BC边上，当∠APD=90°时，易证△ABP∽△PCD，从而得到BP?PC=AB?CD，解答下列问题：
（1）模型探究：如图2，在四边形ABCD中，点P在BC边上，当∠B=∠C=∠APD时，求证：BP?PC=AB?CD；
（2）拓展应用：如图3，在四边形ABCD中，AB=4，BC=10，CD=6，∠B=∠C=60°，AO⊥BC于点O，以O为原点，以BC所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，点P为线段OC上一动点（不与端点O、C重合）.
①当∠APD=60°时，求点P的坐标；
②过点P作PE⊥PD，交y轴于点E，设OP=x，OE=y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.
［试题评析］本题通过“阅读理解―模型探究―拓展应用”三环节问题设置，实际上向学生展示了一个研究具有一般性问题的较完整的过程：先从这个一般性问题的“特殊”（图1为直角情形）入手，到“一般”（图2为非直角情形）；再从“一般”（问题（2）①）上升到新背景中的“特殊”（问题（2）②），使学生经历了“特殊―一般―特殊”由浅入深、归纳与演绎交替变化的思维过程.试题在第一环节中提供了“易证△ABP∽△PCD”的启示，学生在解完“易证”中的具有广泛意义的思考或研究方法（即所谓“一般性方法”）后，就能类比解决后续的各个问题.考查学生利用类比方法进行自主探究学习的能力.本题的价值不仅在于环环相扣、层层推进的精彩设置，而且在于其本身突出地展示着“一般性方法”的深刻含义和普遍适用性.能掌握并善于运用一般性方法，就显示出较高的数学学习能力.（以上是2008年福建省中考数学评价组的评析）
［命题反思］信息迁移题主要考查数学的活动过程，无论是对于信息的收集和处理，还是对于活动对象、相关知识与方法的理解深度，能否进行观察、实验、归纳、类比等活动获得数学猜想，或者是否能运用恰当的数学语言表述自己的数学思考过程都是信息迁移题所关注的，因此该类试题的考核往往也与过程性的目标相一致，体现出一定的数学思考和解决问题能力方面的要求.试题突出模型的探究、抽象、概括与应用，体现了研究一个问题时比较全面的过程：第一，对问题情景分析的基础上先形成猜想；第二，对猜想进行验证（或证明成立，或予以否定）；第三，在经过证明肯定了猜想之后，再做进一步的推广.因此，该类题的意义就不仅在于考查了相应的知识，而且在于考查了活动过程.学生需要掌握通过观察、实验、归纳、类比等获得的数学猜想正确与否的原理、策略与方法，以及结合演绎推理与合情推理发展推理能力，从而进一步加强了学生对数学活动过程中的方法与策略的认识及运用.这样的考题尝试了数学学习的过程性考查，它在很大程度上可以检验学生的学习过程和方式，形式又新颖，体现了新课改理念，有着较好的可推广性和教育性.
相关试题：（2008年莆田市初三质检第24题）
（1）探究：如图1，E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，且∠EAF＝45°，请猜测并写出线段BE、EF、FD之间的等量关系（不必证明）.
（2）变式：如图2，E、F分别在四边形ABCD的边BC、CD上，∠B＋∠D＝180°，AB＝AD，∠EAF＝∠BAD，则线段BE、EF、FD的等量关系又如何？请加以证明.
（3）应用：在条件（2）中，若∠BAD＝120°，AB＝AD＝1，BC＝CD（如图3），求此时△CEF的周长.
例2.（2009年莆田市质检24题）
（1）如图1，△ABC的周长为l，面积为s，其内切圆的圆心为O，半径为r，求证：r=；
（2）如图2，在△ABC中，A、B、C三点的坐标分别为A（-3，0）、B（3，0）、C（0，4）.若△ABC的内心为D，求点D的坐标；
（3）若与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆叫旁心圆，圆心叫旁心.请求出（2）中的△ABC位于第一象限的旁心的坐标.
［试题评析］三角形的内心为三角形角平分线的交点，由三角形其内切圆组成的图形是初中几何的基本图形之一.学过三角形的内切圆后，几乎每个学生都做过如下的题目:设△ABC的三边分别为a，b，c，内切圆半径为r，求证:s＝1/2（a+b+c）r.此题正是在上述图形和结论的基础上进行了拓展与延伸:首先第（1）小题的变换结论为；r=，考查了学生的基础知识;接着第（2）小题将第（1）小题的基本图形置于平面直角坐标系中，进行了恰当的拓展，考查学生知识迁移的能力和灵活应用知识的能力;最后第（3）小题又在第（2）小题的基础上进一步延伸，知识的应用也由形内扩展到了形外，而解决问题的方法也呈现出多样性和灵活性，较好地考查了学生的数学思维能力和综合应用知识分析、解决问题的能力.整个试题的设计以三角形的内切圆为背景，由简单到复杂，由单一到综合，层次分明，梯度合理，拓展适度，延伸自然，符合学生的认知规律，具有较好的效度和区分度.（以上引自《中国数学教育》2009年第10期中考试题研究张卫东老师的评析）
［命题反思］本题要求学生应用新定义探索解决问题，需要学生阅读题目给出的相对于学生来说是新知识的材料，并在理解的基础上加以运用，以解决新问题.考查了学生自己阅读材料获取新知识，学习理解新知识和应用新知识的能力，考查层次丰富，不同水平的学生可以充分展示自己不同的探究深度，较好地考查了学生综合运用数学知识、思想方法去探索规律、获取新知的能力.试题在知识迁移的同时方法也可以迁移，而且是一题多解，从而让学生经历学习、探索、问题解决的整个过程.这里将考试过程与学习过程结合起来，体现了一种较好的理念.借助问题解决的过程实现对所直接考查知识和技能的再抽象到一般意义下该能力和思想方法的考查，考题显现出新的问题模式策略，对于改进、提高中考的科学有效性、引导课堂教学改革具有积极的作用.
相关试题：（2010年莆田市质检卷第24题）
某课题组在探究“泵站问题”时抽象出数学模型：
直线L同旁有两个定点A、B，则在直线L上存在点P，使PA+PB的值最小.
解法：作点A关于直线L的对称点A′，连接A′B，则A′B与直线L的交点即为P.
且PA+PB的最小值为A′B.
请利用上述模型解决下列问题：
（1）几何应用：如图1，等腰直角三角形ABC的直角边长为2，E是斜边AB的中点，P是边AC上的一动点，求PB+PE的最小值.
（2）几何拓展：如图2，△ABC中，AB=2，∠BAC=30°，若在AC、AB上各取一点M、N，使BM+MN的值最小，求这个最小值.
（3）代数应用：求代数式+（0≤x≤4）的最小值.
已知菱形ABCD的边长为1，∠ADC=60°，等边△AEF两边分别交边DC、CB于点E、F.
（1）特殊发现：如图1，若点E、F分别是边DC、CB的中点，求证：菱形ABCD对角线AC、BD的交点O即为等边△AEF的外心.
（2）若点E、F始终在分别在边DC、CB上移动，记等边△AEF的外心为点P.
①猜想验证：如图2，猜想△AEF的外心P落在哪一直线上，并加以证明；
②拓展运用：如图3，当△AEF面积最小时，过点P任作一直线分别交边DA于点M，交边DC的延长线于点N，试判断+是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.
［试题评析］本题是一道集阅读理解、实验操作、猜想证明、应用探究于一体的综合题型.试题以菱形中的一个等边三角形旋转作为载体，综合考查了等边三角形、菱形两个基本图形的性质，同时考查了等边三角形的外心（中心）、三角形的中位线、相似、全等等初中数学几何主干知识.其新意主要体现在让学生在操作、实验等尝试性活动中表现出对基础知识的理解水平，对图形的分解与组合的能力，考查了学生的分析、观察、猜测、验证、计算与推理能力.本题的情境较为复杂，要求学生在众多的可变元素中确定不变的元素，有利于全面考查探索过程（类比、归纳、猜想等合情推理等在整个思维过程中能得到充分的体现），从而较为有效地发挥了证明题在考查学生观察、数学表达、猜想、证明等数学活动方面能力的功能，可谓操作与探究相融，猜想与创新同途.本题结论开放、方法开放、思路开放，因而能有效地反映高层次思维，融会了特殊与一般、转化思想、数学建模思想、函数思想、数形结合思想，是一道综合性较强的题目.（以上是2011年福建省中考数学评价组的评析）
［命题反思］将旋转纳入新课程，不只是因为知识本身重要，更重要的是改变了研究问题的视角和方法.通过图形的旋转来呈现问题，并对旋转进行拓展和延伸，以达到揭示方法、考查能力的“研究性试题”已渐露锋芒.将旋转与相似巧妙地融为一体，体现了知识交汇处命题的指导思想.以旋转为载体并融全等、相似、四边形等初中主体知识为一体的动态几何题，已成为近年中考几何压轴题的一种重要形式.坐标几何问题融数、形于一体，具有代数形式和几何形式的双重身份，是考查学生数形结合能力和综合能力的良好载体.对图形运动过程中基本几何要素之间关系的探究等，只有通过亲身探究和实践，才能感知与体验.试题的设计不只是对基础知识基本技能进行测试，而应放在分析和解决数学问题的背景中去评价，应体现情境性、探究性、开放性和实践性的统一.同时试题的考核也与过程性的目标相一致，体现出一定的数学思考和解决问题能力方面的要求，因而能更好地培养学生的独立思考能力和探索精神，培养学生的创造意识与创新能力.
相关试题：（2003年莆田市中考第26题）
操作：在△ABC中，AC=BC=2，∠C=90°，将一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC、CB于D、E两点.图1，2，3是旋转三角板得到的图形中的3种情况.
探究：
（1）三角板绕点P旋转，观察线段PD和PE之间有什么数量关系，并结合图2加以证明.
（2）三角板绕点P旋转，△PBE是否能成为等腰三角形？若能，指出所有情况（即写出△PBE为等腰三角形时CE的长）；若不能，请说明理由.
（3）若将三角板的直角顶点放在斜边AB上的M处，且AM∶MB=1∶3，和前面一样操作，试问线段MD和ME之间有什么数量关系？请直接写出结论，不必证明.（图4供操作、实验用）结论为：
二、对初中数学教学的启示
1.要重视基础，回归教材，突出数学基本概念和基本原理的教学，注意数学各部分知识之间的衔接与联系，努力揭示数学概念、法则、结论的发展背景、过程和本质.复杂图形是由基本图形构成的，若真正了解了基本图形，就能在具体的解题过程中，从复杂图形中分解、发现、构造基本图形.命题中对几何基本图形进行加工、改造时，常用的策略有：原题条件的弱化或强化、结论的延伸与拓展、条件与结论的互换；或对图形进行平移、翻折、旋转等操作，使之形成一系列的变式与拓展问题.同时也可变静态情境为动态情境，由特殊位置到一般情形，改变试题的设问形式等.教师在教学中应注意挖掘其性质与功能，从而更好地提高学生的解题功能，拓宽学生的视野，培养学生独立思考、数学阅读、知识迁移、归纳总结的能力，强化学生的数学应用意识和探究意识.
2.关注数学知识的形成过程，培养学生的动手、实验、操作、归纳能力.《数学课程标准》非常重视学习过程和动手操作能力，数学教学绝不能只是学习数学的结论，而应强调知识的发生和发展过程，学生绝不能“只知其然，而不知其所以然”.教学中，要创造一定的空间和时间，重视学生对自我学习过程的品味和反思，使学生理解并掌握数学解题的方法与过程，弄清数学知识的来龙去脉.
教学中，要培养学生动手操作能力，通过让学生亲身体验数学结论的“来历”，在操作过程中获取“解决问题的经验”，在学习过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能.
3.突出数学思想方法的教学，注重提高学生的数学思维能力，增强学生的自主探究意识，培养创新和实践能力.数学不仅是一种重要的“工具”和“方法”，更是一种思维模式，其表现就是数学思想.数学思想是数学基础知识在更高层次上的抽象与概括，它蕴含于数学知识之中，是数学知识的精髓.《数学课程标准》要求学生：能通过观察、实验、归纳、类比等获得数学猜想，并进一步寻求证据、给出证明或举出反例.因此教学中应选择具有代表性、典型性、研究性的问题给予仔细剖析、精讲精练，反对追求繁、难、偏、怪的问题.在掌握通性通法的基础上，进一步寻求其不同解题途径和思维方法，善于打破已有的思维定势，深化其蕴含的数学思想，优化、简化解题方法，以培养学生思维的广阔性.
4.要加强培养学生的阅读理解、分析能力和数学应用的意识.在教学中，要经常引导学生从所熟悉的实际生活中和相关学科的实际问题出发，通过观察分析，归纳抽象出数学概念和规律，让学生不断体验数学与生活的联系，在提高学习兴趣的同时，培养应用意识与建模能力，突出学生阅读分析能力训练.当试题的叙述较长时，不少学生往往摸不着头脑，抓不住关键，从而束手无策，究其原因就是阅读分析能力低.解决的途径是：让学生自己读题、审题、作图、识图、强化用数学思想和方法在解题中的指导性，强化变式，有意识有目的地选择一些阅读材料，利用所给信息解题等.在当今信息时代，收集和处理信息的能力，对每一个人都是至关重要的，也是中考命题的热点.
中考压轴题是经过命题者精心编制，具有典型性、示范性、拓展性、研究性，只有教师认真钻研，学会拓展延伸、类比迁移，才能让自己从一个单纯的执行者转变为开发者，她改变了“记题型，对模式”的僵化、死板的学习方式，从而能够更好地培养学生的发散性思维能力和逻辑思维能力，培养学生的创新意识，教学也必将更加有效.
参考文献：
［1］2011年全国中考数学考试评价报告［M］.华东师范大学出版社.
［2］张卫东.中考角平分线问题的新特点及启示［J］.中国数学教育，2009，（10）：41-42.
［3］蔡德清.中考数学压轴题的命题研究与反思［J］.福建中学数学，2010，（11）：11-14.