数学思想是人们对数学科学的本质及规律的深刻认识，它通常包括数形结合思想、等价转化思想、分类讨论思想、换元思想等。在处理一些化学问题时，若能恰当利用这些数学思想方法，直观形象，可以使许多复杂问题，化难为易，化繁为简，从而达到优化解题过程，培养学生思维能力的目的。现举例说明如下。
一、 数形结合思想
例1 将0.03 mol的氯气缓缓通入分别含有0.02 mol的亚硫酸和氢溴酸的混合液中，在此过程中溶液的pH与氯气用量的关系示意图正确的是（溶液体积视为不变）
（ ）
解析 因为Cl2具有很强的氧化性，而H2SO3和HBr都具有还原性，这里关键要知道H2SO3的还原性强于HBr的还原性，根据优先原则，Cl2首先和H2SO3溶液反应，完全反应完后，剩余的Cl2再跟HBr反应。推理如下：
（1） H2SO3+Cl2+H2O 4H++SO2-4 +2Cl-
0.02 0.02
（2） 2Br-+Cl2 Br2+2Cl-
0.02 0.01
从上述可知，当Cl2通入0.02 mol时，H2SO3完全反应完，此时，H+浓度最大，溶液的pH最小，之后，剩余0.01 molCl2恰好和0.02 molHBr溶液反应完，在此过程中H+浓度保持不变，然后，结合所给的图象进行分析、推理，从而得出答案为A。
点评 这是一道数形结合的选择题，不少学生见之胆怯，做之慌乱，容易出错，寻其原因，就在于缺少全面分析化学过程的能力，缺乏学科间的联系，未能准确、敏锐察觉题示信息、挖掘“隐含”信息等。
二、 分类讨论思想
例2 22.4 g某金属M能与42.6 g氯气完全反应，取等质量的该金属与稀盐酸反应，可产生氢气8.96 L（标准状况），试通过计算确定该金属的相对原子质量。
解析 金属M跟氯气反应生成物为MClx，跟稀盐酸反应生成物为MCly，分别写出化学方程式进行计算。
2M + xCl2 2MClx
2M 71x
22.4 42.6
列式整理可得：M=18.7x。 ①
2M+2yHCl=2MCly+yH2
2M 22.4y
22.4 8.96
列式整理可得：M=28y。 ②
对①式和②式进行讨论可得：
只有当x=3、y=2时，相对原子质量M才能等于56。
点评 讨论法是一种发散思维的方法。解计算题时，若题设条件充分，则可直接计算求解；若题设条件不充分，常需要根据化学问题的不同情景或含字母的取值范围进行分类讨论，因为某些字母的量变会导致结果的质变。分类讨论可使问题的答案更完整、更准确，杜绝因思考不周而漏解、错解。常用分类思想解题，对培养思维的严密性大有裨益。
三、 极限思想
例3 在某条件下，容器内有如下化学平衡：A+4B 2C+D+热量，此时，A、B、C的物质的量均为a mol，而D的物质的量为d mol.
（1） 改变a的取值，再通过改变反应的条件，可使反应重新达到平衡，并限定达到新的平衡时，D的物质的量只能在d/2~2d之间变化，则a的取值范围是 （含a、d的式子表示）。
（2） 如果要使本反应重新建立的平衡中，D的物质的量只能在d~2d之间变化，则肯定可采取的措施是（ ）
A. 升高反应温度
B. 增大反应容器内的压强
C. 增大反应容器内的容积
D. 降低反应温度
E. 减小反应容器内的压强
F. 减小反应容器内的容积
解析 若平衡正向移动，采取极限思想，转化生成D为d mol，即D在新平衡中的物质的量为2d mol，转化关系如下：
A + 4B 2C + D
旧平衡 a a a d
转化量 d 4d 2d d
新平衡 （a-d） （a-4d） （a+2d） 2d
要求a-d＞0、a-4d＞0同时成立，即a＞4d。
若平衡逆向移动，采取极限思想，D转化了d/2 mol，即D在新平衡中的物质的量为d/2 mol。转化关系如下：
A + 4B 2C + D
旧平衡 a a a d
转化量 d/2 2d d d/2
新平衡 （a+d/2） （a+2d） （a-d） d/2
则a-d＞0，即a＞d。
故答案∶（1） a＞4d；（2） D。
点评 极限思想在用于解某些化学计算题时，可起到简化思路，出奇制胜，避开抽象、复杂的运算，降低解题难度，迅速突破的效果，能极大地提高学生的想象力和应用数学思想解决化学问题的能力。
四、 不等式思想
由于不等式具有单项放缩性，故而在应用不等式求函数最值时，可以求得相应函数的最大值或最小值之一，借此来解决化学问题，可以达到事半功倍的效果。
例4 在标准状况下，将NO、NO2和O2混合并充满容器，然后把容器倒置于水槽中，充分反应后水充满容器（假设产物不扩散），则容器内所得溶液物质的量浓度（c）数值的大小范围是（ ）
A. 0＜c＜ B. ＜c＜
C. ＜c＜ D. ＜c＜
解析 反应后水充满容器，则说明混合气体中O2与NO、NO2恰好完全反应。设混合气体在标准状况下的总体积为V L，其中NO为x L，NO2为y L。依据NO、NO2分别为O2和水完全反应的化学方程式：
4NO+3O2+2H2O=4HNO3，
4NO2+O2+2H2O=4HNO3
及题给条件可得：
x+3/4x+y+1/4y=V，V=（7x+5y）/4。①
又从物质的量浓度的定义可知：
c（HNO3）= = 。②
①②联立求解得：
c（HNO3）= 。③
至此，取其物质的量浓度的上下限值的范围，故可以对③的结果进行“放缩”处理。
“放”：c（HNO3）=（x+y）/［5.6×（7x+5y）］＞（x+y）/［5.6×7×（x+y）］=1/39.2，
“缩”：c（HNO3）=（x+y）/［5.6×（7x+5y）］＜（x+y）/［5.6×5×（x+y）］=1/28。
故选B.
点评 本题借助不等式思想，对硝酸的物质的量浓度进行整数倍比例放大或缩小，来确定取值范围，使问题解得简捷、直观、明了。
五、 换元思想
例5 将一定质量的碳和8 g氧气置于一密闭容器中，高温下反应后恢复到原来温度，测得混合气体的压强变为反应前的1.4倍，则参加反应的碳的质量为（ ）
A. 2.4 g B. 6 g
C. 4.2 g D. 8.4 g
解析 同温同容下，气体的压强比等于物质的量比。碳在高温下与氧气反应发生如下反应：
① C+O2=CO2，反应中反应前后气体的压强比1 ∶ 1；
② 2C+O2=2CO，反应中反应前后气体的压强比1 ∶ 2。
由反应前后气体的压强变化可知，①、②都发生。又因为氧气的量是给定的，则设反应①和②中分别消耗的氧气的物质的量为x mol和y mol。依题意得：x+y=8/32和（x+y）/（x+2y）=1/1.4二元一次方程组，但不难看出，参加反应的碳的物质的量必然等于生成氧化物的，共有（x+2y） mol，不具体求解x和y的值，整体代换求解即可。
x+2y=1.4×（x+y）=1.4×8/32 mol，
m（C）=1.4×8/32 mol×12 g/mol=4.2 g。
故答案选C.
点评 在选择题的计算题中，换元法是常用的解题技巧之一，通过换元法，可将复杂的解方程组化归为简单的式子求解，从而达到化繁为简，化难为易的目的，可以大大提高解题的速度。
六、 等价转化思想
把所研究的问题转化为与之等价的问题，将复杂的问题转化为容易的问题，或者将陌生的问题转化为熟悉问题，从而找出问题的解决方法。
例6 某二元弱酸（简写H2A）溶液，按下列方式发生一级和二级电离：
H2A H++HA-
HA- H++A2-
已知相同浓度时的电离度α（H2A）> α（HA-），设有下列四种溶液：
A. 0.01 mol/L的H2A溶液；
B. 0.01 mol/L的NaHA溶液；
C. 0.02 mol/L的HCl与0.04 mol/L的NaHA溶液等体积混合；
D. 0.02 mol/L的NaOH与0.02 mol/L的NaHA溶液等体积混合。
填写下列空白（填代号）：
（1） c（H+）最大的是_______，最小的是_______；
（2） c（H2A）最大的是______，最小的是_______；
（3） c（A2-）最大的是_______，最小的是_______。
解析 这是一道相对比较难的题型，初看似乎没有好的解题思路，这里关键是将C、D两项依据化学方程式进行等价转化，问题就容易解决了。假设溶液的体积为1 L，则有：
H+ + HA- H2A
0.02 mol 0.02 mol 0.02 mol
HA- + OH- H2O + A2-
0.02 mol 0.02 mol 0.02 mol
由此可以做如下转化：C. 0.02 mol/L的HCl与0.04 mol/L的NaHA溶液等体积混合→0.01 mol/L H2A与0.01 mol/L的NaHA溶液等体积混合；D. 0.02 mol/L的NaOH与0.02 mol/L的NaHA溶液等体积混合→0.01 mol/LNa2A溶液，这样使一个复杂的问题通过转化变得一目了然，从而进行比较，容易得出如下答案：
（1） c（H+）最大的是A，最小的是D；
（2） c（H2A）最大的是C，最小的是D；
（3） c（A2-）最大的是D，最小的是A。
点评 本题通过灵活用运用等价转化思想进行等价转化后，问题变得简单、直观、明了。
七、 函数思想
函数思想简而言之就是用变量和函数来思考问题的方法。在解题时通过分析化学过程，从中悟出化学思维、化学方法和数学方法结合之玄妙来建立函数关系式，更快更好地解决化学问题，从而提高学生的思维品质。
例7 在10 mL的试管中，充满NO2和O2的混合气体，将其倒立在水槽中，被水充分吸收。若以x（mL）表示混合气体中NO2的体积，以y（mL）表示反应剩余气体的体积：
（1） 试通过计算写出y= f （x）的函数表达式。
（2） 在坐标中画出y= f （x）的曲线。
解析 （1） NO2、O2和水反应的化学方程式为：4NO2+O2+2H2O 4HNO3。
当x=8 mL时，V（NO2） ∶ V（O2）=4 ∶ 1，恰好完全反应，y=0；当0＜x＜8时，O2过量，剩余气体为O2，y=（10-x）-1/4x=10-5/4x；
当8＜x＜10时，NO2过量，又发生反应：3NO2+H2O 2HNO3+NO，剩余气体为NO。
y= ［x-4（10-x）］= （5x-40）。
（2） 由此可绘出函数y= f （x）的图象为：
点评 本题是利用函数图象法解决化学问题。通过建立数学函数，研究数学函数及函数所对应的图象使所要研究的问题直观化、形象化，并使复杂问题抽象成简单关系进行研究。