立体几何是高中数学的一个重要内容，从平面几何到立体几何是一道难度较高的台阶，立体几何成了中学生进入高中数学学习的第一道障碍，学生们往往对立体几何的学习倍感畏惧.究其原因，不外乎沿袭平面几何的思维，缺乏空间想象力，造成思维受阻.因此，培养学生空间想象力，突破空间思维上的障碍，是学好立体几何的关键.就此，结合自己的教学体会，谈一点做法.
一、 加强形象直观 善于使用模型
按照乌申斯基的说法，直观的教学不是以抽象的概念和词语为依据，而是以学生的直接感知的具体形式为依据的.
教会学生去有意识地使用立体几何模型，是顺利地进入立体几何之门的有用钥匙.这里所说的模型并不仅指教学使用的立体几何教具，而主要是指学生人人都有的桌面、书本、笔、手掌（表示平面）、手指（表示直线）、打开的书本（表示二面角）等等.善于使用这些现成的模型，可以使许多立体几何问题变得比较直观，比较容易解决.
一些立体几何问题，不通过使用模型是很难作出判断的.如：“一个二面角的两个面与另一个二面角的两个面分别垂直，这两个二面角的大小关系是什么？”此题仅靠空间想象很难得出结果，作图呢又较难，且作出的图形是不会运动的（模型是可以运动的），要作出各种情况下的图形既费时图形也难画，另外学生往往还会依据平面几何中一个类似的结论而去习惯性思维，得出“相等或互补”的错误结果，其实此题只需用两本打开的书本比划一下，结论很快就可以得到（两个角没有任何关系）.这一教法，融知识性和趣味性于一体，形象、直观，突破解题障碍，提高了学生的学习兴趣，培养了他们的空间想象力.
二、 重视对学生识图、作图能力培养
识图和作图教学是培养学生空间想象力的重要途径之一.识图、作图能力是空间想象力的组成部分.我们常遇到这种情况，学生把题目看了几遍，但仍然画不出适合题意的图形以辅助解题.因此，在立体几何教学之初，要重视对学生识图、作图能力的培养和训练.
识图、作图训练可从以下几方面进行
1? 用直观教具与实物，培养识图、作图能力
作图和识图有着密切的关系，如果学生的识图能力差，就很难画出所需要的图形.在立体几何教学中，应特别注意利用实物和模型，帮助学生认清点、线、面之间的关系，增强感性认识，加深对理论的理解.学生识图、作图能力的提高，就意味着他们在空间的抽象思维能力有了提高.
2? 通过解剖图形，提高识图、作图能力
立体几何图形是由点、线、面这些基本元素通过一定的关系组合而成，这种关系到了空间已经较平面上发生了很大的变化，不熟悉、不适应这种变化，是学生难以从平面几何进入到立体几何学习的一个障碍.如果能将元素按照题意组合成几何图形，又能将图形分解成部件（有简单关系的基本元素的几何体），也就能将复杂问题分解为简单问题，将立体几何问题转化为已熟悉的平面几何问题加以解决.
经常让学生做一些解剖图形的训练，可增强学生的识图、作图能力.
在立体几何问题中，若作出的图形较复杂，线面关系不易寻找，则可引导学生进行图形解剖，把一个复杂的图形分解为几个简单的常见图形，并联想以往知识寻找解题线索，这对进一步提高学生的识图能力有很大帮助.
3? 介绍基本作图方法，直接训练作图能力
画空间图形的直观图，首先要画好平面，尤其是相交的平面，如例3.另可引导学生总结一些基本方法和作图顺序，使他们明确画图要领，掌握画法和程序.画机构比较复杂的几何直观图，应要求学生先根据文字描述进行空间想象，在脑海中形成一个基本图形，然后画出草图，大致确定图形的形状、大小和元素间的位置关系，分清哪些是可见的轮廓线，哪些是不可见的，最后再画出正式的直观图.直观图的作图顺序是由前到后、先线后面、保持平行、实虚分明.
图形是直观的语言，图形的直观性、准确性，直接影响数学思维和数学推理，它是学习立体几何的第一道难关，应该引起我们的重视.
例1 已知二面角αlβ的大小为50°,P为空间中任意一点,则过点P且与平面α和平面β所成的角都是25°的直线的条数为().
解：过二面角α-l-β的棱l作半平面γ,使其平分该二面角,在平面γ内任取一点P′(不在棱l上).现在只需考虑过点P′与平面α和平面β所成的角都是25°的直线的条数.显然,直线OP′(O为P′到棱l的垂线的垂足)是所求直线.又过点P′与平面α成25°角的所有直线形成以直线OP′为母线的圆锥面C??1?,过点P′与平面β成25°角的所有直线形成以直线OP′为母线的圆锥面C??2?.如图,圆锥面C??1?与C??2?除相切于母线OP′外,另有两条交线AD与BC.故满足条件的直线共有3条.正确答案应选C.
点评：本题对逻辑推理能力与空间想象能力都提出了较高的要求,其难点是如何构造一条直线与两个平面都成25°角.在运动中进行定性分析,根据圆锥母线与底面所成的线面角的不变性,过点P′与平面所成角为25°的直线束形成一个圆锥,因此,这两个圆锥的交线就是同时与这两个平面均成25°角的直线.圆锥与二面角、直线与平面,定性与定量形成了动与静的曼妙结合.
三、 突出转化思想的应用
立体几何中所蕴含的数学思想方法非常丰富，其中最重要的就是转化的思想方法，它贯穿立体几何教学的始终，在立体几何教学中占有很重要的地位.立体几何中的转化主要是空间问题向平面问题的转化，具体从以下几个方面入手.
1? 位置关系的转化
线线、线面、面面平行与垂直的位置关系是立体几何中的一个重点内容，其精髓就是平行与垂直位置关系的相互依存及转化，平行与垂直问题不但能横向转化，而且可以纵向转化.
2? 降维转化
由三维空间向二维空间转化，是研究立体几何问题的重要数学方法之一.降维转化的目的是把空间的基本元素转化到某一个平面中去，用学生们比较熟悉的平面几何知识来解决问题.如线面垂直的判定定理就是转化为三角形全等的平面问题.
又如异面直线所成的角、线面角、面面角的计算，最终都是转化为平面上两相交直线成的角来进行的.
实现空间问题向平面问题转化的方法很多，常用的就有：平移法、射影法、展开法和辅助面法等等.
3? 割补转化
“割形”与“补形”是解决立体几何问题的常用方法之一，通过“割”或“补”.
可化复杂图形为已熟知的简单几何体，从而较快地找到解决问题的突破口.如教材中斜棱柱侧面积公式的推导，就是通过割补法转化为直棱柱后进行的.
4? 等积转化（或称等积变换）
“等积法”在初中平面几何中就已经有所应用，是一种很实用的数学方法与技巧.立体几何中的“等积转化”（或称等积变换）是面积、体积（尤其是四面体的体积）作为媒介，来沟通有关元素之间的联系，从而使问题得到解决.
求线面距离，最好的方法就是通过转化为点面距离、再转化为三棱锥的高，最后利用等积转换而求出的，若用其他方法则较难.
例2 如图，直三棱柱ABCA??1?B??1?C??1?中，AB⊥AC,D、E分别为AA??1?、B??1?C的中点，?DE⊥?平面BCC??1?.设二面角?ABD?C为60°,求B??1?C与平面BCD所成的角的大小.
解：作AG⊥BD，垂足为G，连接CG.由三垂线定理知CG⊥BD，故∠AGC为二面角ABDC的平面角.由题设知，∠AGC=60°.设AC=2，则AG=23.又AB=2，BC=22.
由AB•AD=AG•BD，得2AD=23•AD?2+2?2，?解得AD?=2.
在直角△BAD中，根据勾股定理得BD=AB?2+AD?2=6.
又在直三棱柱ABCA??1?B??1?C??1?中，由D为AA??1?的中点且
AB=AC易知：BD=B?1D=DC=6,B?1C=4，
易求S??△B?1BD?=12×22×2=22,S??△CBD?=12×?22?×2=22.
设B?1到平面BCD距离是h，可以证明AC⊥面A?1B?1BA,则AC为三棱锥CBDB?1的高,则V??B?1BDC?=13×S??△BDC?×h=13×22×h.
V??CBDB?1?=13×S??△BDB?1?×AC=13×22×2=432，
因为V??B?1BDC?=V??CBDB?1?，故13×22×h=432，解得h=2.
设B??1?C与平面BCD所成的角为θ，sinθ=24=12，故θ=30°.
点评：本解法避免作辅助线的繁琐过程，没有把直线B??1?C与平面BCD所成的角在立体几何图形作出了，只是通过等积法求得B?1到平面BCD距离，在大脑中虚设直角三角形，通过解直角三角形得到结果，使问题大大简化，效果很好.
5? 几何向代数转化
例3 如图，平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E,F,O分别为PA,PB,PC的中点，AC=16，PA=PC=10．
（Ⅰ） 设G是OC的中点，证明：FG∥平面BOE.
（Ⅱ） 证明：在△ABO内存在一点M，使FM⊥平面BOE，并求点M到OA,OB的距离．?
解：如图建立空间直角坐标系，则A(0,-8,0)，?B(8,0,0)，?C(0,8,0)，P(0,0,6)；则E(0,-4,3)，F(4,0,3)，G(0,4,0)；可得?OE?=(0,-4,3)，?OB?=(8,0,0)；从而，平面BOE的法向量是n=(0,3,4)．
（Ⅰ） ?FG?=(-4,4,-3)，于是有?FG?•n=0，所以可得：FG∥平面BOE.
(Ⅱ） 证明：设M点坐标为M(x,y,0)，??FM?=(x-4,y,-3)，欲使FM⊥平面BOE，即?FM?∥n,则就有x-4=0?y3=-34，即x=4?y=-94也就是点为M4,-94,0．
又在平面直角坐标系x-O-y中，直线AB的方程为x-y-8=0，而在直线AB上方应该满足不等式x-y-8＜0，点M4,-94刚好满足了这一不等式，因此点M4,-94在直线AB上方，又点M4,-94在第四象限，所以，点M4,-94在△ABO内，且到y轴、x轴距离分别为4、94，即点M到OA,OB的距分别为4、94．
立体几何的教学，关键是要调动学生的学习兴趣，让他们学会联想与转化.立体几何的许多定理、结论源自生活实际，源自平面几何，要教会学生联想实际模型，联想平面几何中已经熟悉的东西，借助可取之材来建立空间想象，加强直观教学，这样就容易让学生接受，让他们喜欢上这一门学科，从而更有效地培养他们的空间想象力，提高他们解决立体几何问题的能力.
（责任编辑：刘正军）