裂项相消法专题 1．（2014•成都模拟）等比数列{an}的各项均为正数，且2a1+3a2=1，a32=9a2a6， （Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=log3a1+log3a2+·+log3an，求数列{}的前n项和． 【答案】（Ⅰ）设数列{an}的公比为q，由a32=9a2a6有a32=9a42，∴q2=． 由条件可知各项均为正数，故q=． 由2a1+3a2=1有2a1+3a1q=1，∴a1=． 故数列{an}的通项式为an=． （Ⅱ）bn=++·+=﹣（1+2+·+n）=﹣， 故=﹣=﹣2（﹣） 则++·+=﹣2[（1﹣）+（﹣）+·+（﹣）]=﹣， ∴数列{}的前n项和为﹣．, 2，（2013•江西）正项数列{an}满足﹣（2n﹣1）an﹣2n=0． （1）求数列{an}的通项公式an；
（2）令bn=，求数列{bn}的前n项和Tn． 【答案】（1）由正项数列{an}满足：﹣（2n﹣1）an﹣2n=0， 可有（an﹣2n）（an+1）=0 ∴an=2n． （2） an=2n，bn=，∴bn= = =， Tn= = =． 数列{bn}的前n项和Tn为． 3．（2013•山东）设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4=4S2，a2n=2an+1． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{bn}满足=1﹣，n∈N*，求{bn}的前n项和Tn． 【答案】（Ⅰ）设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由S4=4S2，a2n=2an+1有：， 解有a1=1，d=2． ∴an=2n﹣1，n∈N*． （Ⅱ）由已知++·+=1﹣，n∈N*，有：
当n=1时，=， 当n≥2时，=（1﹣）﹣（1﹣）=，∴，n=1时符合． ∴=，n∈N* 由（Ⅰ）知，an=2n﹣1，n∈N*． ∴bn=，n∈N*． 又Tn=+++·+， ∴Tn=++·++， 两式相减有：Tn=+（++·+）﹣ =﹣﹣ ∴Tn=3﹣． 4.（2010•山东）已知等差数列{an}满足：a3=7，a5+a7=26．{an}的前n项和为Sn． （Ⅰ）求an及Sn；
（Ⅱ）令（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Tn． 【答案】（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d， a3=7，a5+a7=26， ∴有， 解有a1=3，d=2， ∴an=3+2（n﹣1）=2n+1；
Sn==n2+2n；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知an=2n+1， ∴bn====， ∴Tn===， 即数列{bn}的前n项和Tn=． 5.（2008•四川）在数列{an}中，a1=1，． （Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）令，求数列{bn}的前n项和Sn；
（Ⅲ）求数列{an}的前n项和Tn． 【答案】（Ⅰ）由条件有，又n=1时，， 故数列构成首项为1，公式为的等比数列．∴，即． （Ⅱ）由有，， 两式相减，有：，∴． （Ⅲ）由有． ∴Tn=2Sn+2a1﹣2an+1=． 6.（2010•四川）已知等差数列{an}的前3...
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