一、用基本图形解答三视图问题 例1 在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图1所示，则相应的侧视图可以为 解析： 简单组合体一般由柱、锥、台、球等简单几何体组成． 我们可以结合已知条件，分析各种可能性．根据俯视图判断，几何体的“前面”是三棱锥，“后面”可能是半圆柱或半圆锥. 再据正视图进一步分析，“后面”不可能为半圆柱，只能为半圆锥.故选D．
小结：把已知三视图转化为相应的直观图是求解三视图问题的关键．在解决三视图问题的时候，可以借助三棱柱、三棱锥、圆柱、圆锥、长方体、正方体等简单几何体，将简单几何体的三视图与组合体的结构进行对比分析，寻找相同点．
二、用基本图形判断点、线、面的位置关系
例2 请写出下列命题中所有真命题的代号： ．
①如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β.
②如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线平行于平面β.
③如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ.
④如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β.
解析：如图2所示，我们可以借助长方体ABCD-A1B1C1D1来判断点、线、面的位置关系．对于①，取平面ABB1A1为α，平面ABCD为β，则α⊥β， 在α内，直线A1B1∥平面β，①为真.对于②，取平面ABB1A1为α，平面A1B1CD为β，则平面α不垂直于平面β，但α内有直线AB∥平面β，②为假.对于③，取平面ABB1A1为α，平面ABCD为β，平面AA1D1D为γ，则α⊥γ， β⊥γ，α∩β＝AB=l，明显，AB⊥平面AA1D1D，即ｌ⊥γ，③为真. 对于④，取平面ABB1A1为α，平面ABCD为β，由AB1不垂直于平面ABCD，可知④为假． 选①③．
小结：当我们面对判断点、线、面位置关系的选择题、填空题时，可根据已知的位置关系选取相应的基本图形，使题中点、线、面的相对位置关系与基本图形中一些特殊的点、线、面相互对应，再根据基本图形的性质作出判断．由于我们常常面对线面垂直和面面垂直这类关系，基本图形的选择以长方体和正方体居多．有时同学们也可以考虑其他基本图形，比如已知两个平面相交但不垂直，可考虑斜棱柱．
三、用基本图形求线线角、线面角、面面角
例3 如图3所示，在三棱锥A-BCD中，AB＝BC＝CD＝DA，AB⊥AD，BC⊥CD，二面角A-BD-C的大小为150°，则直线AC与平面BCD所成角的大小为 ．
解析：若将该三棱椎沿棱BD展开，使平面ABC与平面BCD重合，则可得正方形ABCD. 故可将三棱锥A-BCD看做由正方形ABCD绕对角线BD翻折，且使二面角A-BD-C的大小为150°的几何体． 由此可借助正方形来求解．
如图4所示，联结AC交BD于点O，由正方形的性质可知，在正方形沿BD折起的过程中，始终有AO⊥BD，CO⊥BD.结合图3可知，∠AOC为二面角A-BD-C的平面角，且BD⊥平面AOC， ∴ 平面AOC⊥平面BCD. ∠ACO=•（180°-150°）＝15°即为所求角的大小．
小结：我们通常用定义法、等体积法和向量法求线线角、线面角、面面角的大小．但如果题中几何体的一个二面角按棱展开后是某个特殊的平面图形，或线线角、线面角、面面角本身恰好与长方体、正方体或正四面体等几何体中的线线角、线面角、面面角相互对应，我们就可借助这些基本图形巧妙地计算角的大小．
四、用基本图形探究特定的点或直线是否存在
例4 如图5所示，在三棱锥P-ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上.已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2，试问在线段AP上是否存在点M，使得二面角A-MC-B为直二面角？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由．
解析：同学们一般会使用向量法或直接使用几何法解答例4． 其实，借用长方体来解题更加简便．如图6所示，我们可将三棱锥P-ABC放入长为５、宽为８、高为4的长方体BCFG-B1C1F1G1中．其中，A为FG的中点，K为F1G1的中点，L为B1C1的中点. ∵ AB=AC，D为BC的中点，∴ AD是BC的中垂线，也是长方体下底面的对称轴.又O在AD上， ∴ O位于长方体下底面的对称轴上． ∵ PO⊥平面ABC，又平面ABC∥平面B1C1F1G1， ∴ PO⊥平面B1C1F1G1. 根据长方体的对称性，可知P位于长方体上底面的对称轴KL上．
∵ BC⊥AK，BC⊥PK， ∴ BC⊥平面AKP， ∴ AP⊥BC．假设存在符合条件的点M，则过点B可作直线BN⊥MC于点N． ∵ 二面角A-MC-B为直二面角， ∴ BN⊥平面AMC．又AM?奂AP， ∴ BN⊥AP． ∵ BN?奂平面BMC， ∴ AP⊥平面BMC， ∴ AM⊥BM， △AMB为直角三角形．
在Rt△AGB中，由AG=4，GB=5，可求得AB=. 在Rt△AKP中，由AK=4，KP=AO=3可求得AP=5. 在Rt△PLD中，由PL=2，LD=4可求得PD=2. ∵ BC⊥平面KLDA，PD?奂平面KLDA，∴ BC⊥PD. 在Rt△PDB中，由BD=4，PD=2可求得PB=6. 在△ABP中，由余弦定理可得cos∠MAB=>0，cos∠PBA=>0，可知∠MAB与∠PBA为锐角，∠MBA
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