我们在中学物理教学中,在涉及到一些物理概念与物理规律时,往往要应用一些数学表达式来进行研究,这样可以给我们的学习带来很多的方便与优越性,可以说,数学是研究物理一个必不可少的重要工具。但数学有一个非常显著的特点,就是数学的抽象性。
在数学的抽象中,保留的只是客观事物的数量与形式,也就是数量的关系与空间形式,而舍弃了其他的一切具体内容。抽象性可以归纳为以下三点:(1)不仅数学概念是抽象的,而且数学方法也是抽象的,并且大量使用抽象的符号。(2)数学的抽象是逐级抽象的,下一次的抽象是以前一次的抽象材料为其具体背景。(3)高度的抽象必然有高度的概括。数学的抽象性还表现在它的研究方法上,严格的计算方法,严密的推理论证体系是任何其它自然科学所不及的。数学中往往采用某种物理模型(模拟),它是数学理论的现实来源之一,它有助于数学理论的发现、建立和发展,但是,不管怎么样,最终在数学中所以能成为理论,还得由数学的逻辑推理给以严格的证明来决定。正是由于数学的严格性导致数学结论的确定性和应用的极端广泛性。这是事物的一个方面。
数学对物理的学习研究绝对有价值,但是在学习研究中,需要良好的数学功底,不然会感觉学起来比较吃力。当数学应用于物理学的研究时,便产生了问题的另一个方面,就是数学形式与物理本质的关系问题。我们认为,在物理中,物理本质及其数学形式是辨证的互相联系、互相制约的。一定的物理量总是性质(质)和数量(量)两个方面的统一。例如,“速度”在性质上是反映物体运动快慢程度的,在数量上可以通过单位时间内通过位移的多少或者在一定的位移内所花时间的多少来表示。一般物理定律和公式是表征物理量之间的本质关系或内在联系的,在数学上表现为函数关系。一定的物理本质总是决定相应的数学形式,一定的数学形式总是反映着相应的物理本质。没有适当的数学形式,物理本质就不能精确的表述出来;没有一定的物理内容,数学形式就变为抽象的、没有物理意义的纯粹形式。因此,我们不能脱离具体物理内容而用纯数学的观点去看待和处理物理问题,而应将两者密切的联系起来。
同时,我们还应该认识到,物理实质与数学形式两者是互相制约的。在用数学形式表现物理实质时,一方面物理内容必然要受到数学形式本身的特殊要求的限制,例如分母上的物理量不得为零,偶次根号内的物理量不得为负号等。另一方面,数学形式的运用必然要受到物理实质的制约。物理问题的确定性,只能由物理本身所决定;物理问题的定解,受物理过程具体条件的限制。我们的任务是,从数学所提供的一切可能解(这是数学的高度抽象性的必然结果)中选择合乎物理事实的结论,并从物理意义上加以阐述。
下面通过几个事例具体的谈谈这个问题。
例一 欧姆定律告诉我们,导体中的电流强度,与这段导体两端的电压成正比,与这段导体的电阻成反比。其数学表达式:
I=
从数学上讲,I=与R=是等价的。我们在实际中也往往根据R=,用伏安法测量导体的电阻。可是我们能不能根据R=这个数学式得出结论说:导体的电阻随与在它两端的电压成正比,与通过它的电流强度成反比呢?不能!导体的电阻,是导体自身的特性,即导体的材料、横截面积、长度及温度有关。在不考虑电阻随温度变化的条件下,导体电阻与加在它两端的电压、通过它的电流强度无关。
类似的例子还有很多,如牛顿第二定律的数学表达式是F=ma,我们可以得到m=,我们还可以应用这个式子求物体的质量,但我们决不能讲物体的质量与作用于它的合外力的大小成正比,与它的加速度大小成反比。
例二 真空中相距r的点电荷Q1与Q2之间的静电作用力有库仑定律决定:
F=k
从纯数学的观点看,当r趋向于零时,F趋向无穷大。这是无可非议的。可是作为物理问题,当r趋向于零时,Q1、Q2已失去作为点电荷的条件,不能再把Q1 、Q2看作是点电荷,所以在r趋向于零时,应用库仑定律来说明物体就不合适了。
例三 一个弹簧振子,振幅A=10厘米,频率f=10赫兹,当振子的位移为5厘米时开始计时,试确定振子的振动方程。
我们知道,振动方程的普遍形式是:x=Acos(2πft+φo),振幅(A)、频率(f)和初相位(φo)是振动方程的三要素。现在A=10厘米,f=10赫兹,问题是要确定初相位。
x=10cos(20πft+φo)厘米
因为t=0时,x=5厘米
所以cosφo=
解得φo1= φo2=
这里得到两个解,初相位似乎无法确定。怎么办?我们来仔细的分析一下振动的物理过程。
在这儿,数学上的两个解都是可以的,同时也符合物理的意义。
可见,数学的解包括了所有的解,但它不能确定物理问题的定解,物理的定解只能有物理本身的条件决定。在我们这个例题中,如果讲明当振子的位移x=5厘米:
x=10cos(20πft+)厘米;
如果是x=5厘米,且向着x的正方向运动时开始记时,则振动方程为:
x=10cos(20πft+)厘米。
综上所述,数学是物理学研究中需要的方法和工具之一。但是不论作用有多大,它还是处于从属的地位,要服从物理的主题。它在运用时自然要受到物理实质的制约。物理概念不清楚,对物理规律理解不透,就不可能很好地运用数学工具,对数学推理的结果就不可能作出合乎物理实质的正确处理。