【摘要】本文通过一些具体案例剖析如何在数学思维活动中培养反思力、通过数学周记的写作，反思数学学习，培养对数学的亲近感，促进高效率学习。 【关键词】反思；数学周记
数学教学过程中，反思历来具有重要的地位和作用，荷兰著名数学家和数学教育家弗赖登塔尔教授指出：“反思是数学思维活动的核心和动力。”“通过反思才能使现实世界数学化”，美籍数学教育家波利亚也说，“如果没有了反思，他们就错过了解题的一次重要而有效益的方面”，“通过回顾所完成的解答，通过重新考虑和重新检查这个结果和得出这一结果的路子，学生们可以巩固他们的知识和发展他们的解题能力。”曹才翰先生也非常重视并倡导培养学生对学习过程的反思习惯，认为“培养学生对自己的学习过程进行反思的习惯，提高学生的思维自我评价水平，这是提高学习效率，培养数学能力的行之有效的方法。”《普通高中数学课程标准（实验）》把“反思”这一教学理念提到了应有的高度：“人们在学习数学和运用数学解决问题时，不断地经历直观感知……反思与构建等思维过程，这些过程是数学思维能力的具体体现，有助于学生对客观事物中蕴涵的数学模式进行思考和做出判断”，同时提出评价应关注学生“能否不断反思自己的数学学习过程，并改进学习方法”，“教材的呈现应为引导学生自主探索留有比较充分的空间，有利于学生经历观察、实验、猜测、推理、交流、反思等过程”在教学过程中引导学生反思，能促使他们从新的角度，多层次多侧面地对问题的条件、结论、方法等进行全面的考察、分析与思考，弄清各知识要素在问题中的地位和作用；探究性地加以重新整合构造，并进行开放性研究，从而深化对问题的理解，揭示问题本质、探索一般规律，在产生可能的新的结论和方法的同时，可以为学生形成积极主动的、多样的学习方式创造有利的条件，从而激发学生的数学学习兴趣，养成独立思考、积极探索的习惯，提高学生提出问题、分析问题、解决问题的能力。
下面是笔者在教学实践中培养反思力的一些具体尝试，不当之处敬请斧正。
一、解题反思
对问题解答后的结论的正确性的检验或提出疑问；是否还有其他解法或更佳解法；能否对问题的题设或结论进行变式；能否把当前的命题推广到一般情况；进一步考虑问题的题设的完备性(充分性)及结论的精确性等。
（一）广开思路，思维发散
成功地解出一道题后，不能以获得一种解法而满足，而需要再思考，是否还有别的解法？提倡换个角度去突破，重新选择切入点，无论是烦琐的，还是简洁的；无论是精致的还是朴素的，都不嫌弃和拒绝，让解题思路百花齐放、争奇斗妍。
案例1. 已知等差数列 中， ；当 最大时，求 的值。
解法一设公差为 ，由 ，得
即 ，
当 时， 最大。
解法二由解法一，当 最大，则 即
得 又
解法三
又 时， 最大。
上述三种方法，法一利用了函数观点，思维简单，但较繁琐。法二利用了不等式的观点，法三利用了等差数列的性质，解法较简单。
案例2. 在等比数列求和公式的教学中，学生在掌握了“错位相减法”后，激发学生反思问题，寻找新的切入口，学生探索出两种新解法。
证法一：由 得 ，即 …
证法二： 观察：
，类比并由此猜想到：
（可利用多项式乘法进行证明）。笔者再补上证法三。
…
与课本的证法相比，上述的方法也很自然，很精巧（法一从等比数列的定义入手），更具有教学价值（如法二中涉及到了联想、类比、猜想等多种思维形式）
（二）提高警惕，戒误防陷
学生能力的提高一方面靠正面形象的树立，但反面形象的警示作用也不可小视。“狡猾”题目所设置的陷阱也常是失误的根源，防止落入陷阱。
案例3. 在数列 中“ ”是 是等差数列的（ ）
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件
粗略地一看，由 可得 不假思索即知 成等差数列，反之也成立。选（C）。这种由肤浅的认识导致错误的情形在学生身上是屡见不鲜的，若不进行反思，就难以获得“免疫力”，还可能再次跌入陷阱，事实上，数列1，3，1，3…完全满足“ ”，但它决不是等差数列，故应选（B）。一个反例促使学生对等差数列的概念有深刻反思。
案例4. 在《互为反函数的函数图象间的关系》这节课上，要求学生通过观察图象可以得出哪些结论，其中一位同学指出：互为反函数的函数图象交点均在直线 上，大家都比较赞同这个结论。有个别学生持有怀疑，但苦于没有反例，我引导学生从简单的函数入手，结果学生找到了函数 与 ， 与 它们的交点不一定在直线 上。但究竟怎样的互为反函数的图象交点在直线 上，或不一定在直线 上呢？通过讨论、探索发现：若 是增函数，则与它的反函数 的公共点必在直线 上；若 是减函数，则与它的反函数 的公共点至少有一个不在直线 上。课本上的两个例题给学生一些误导信息，如不及时反思，将失之交臂。
（三）拓展延伸，究根究底
解题后，要求学生反思问一问，这道题能否换一种设问方式。能通过改编使得题的面貌焕然一新？如果要提高题目的难度，或降低题目的难度，该如何设问？能否弱化题目的条件？能否强化题目的结论？能否由此及彼联想到其它问题？能否作些推广、延伸，得到更一般的结论？这种究根究底式的探索研究对学生思维的发展和能力的提高是极为有益的。
案例5 各项均为实数的等比数列 的前 项和记为 ，若 ，则 等于（）
A.150 B.?200 C.150或?200 D.400或?50
答：选A（利用 ， － ， － ， － 成等比数列，不难求解）
解题以后，总感觉意犹未尽， 与 之间还有哪些递推关系。
探究： ，而
得 进一步对 递推关系进行探究：
而
。利用这个关系再
探究原问题：由 得
或 （舍去）又 ，可求 。这样解题岂不更妙！对于老师来讲这样的发现很平常，但对学生来说能得到这样的结论已知很有意义了。
案例6.人教版高中第一册（上）必修P128例4及P129习题3.5第7题：
（1）已知 是等比数列 的前 项和， 成等差数列，求证 成等差数列。
（2）已知 是等比数列， 是前 项和， ，求证： 成等比数列。
我在作业里布置这样的任务：反思这两题的解题过程，提出问题。针对（1）学生提出①条件的推广：条件可变为 ； 等成等差数列，还可推广为： 成等差数列。②结论推广：结论可变为： ； ； 等成等差数列，还可推广为 成等差数列。针对（2）学生提出①条件推广：由 成等差数列可变为： ； 成等差数列，还可推广为： 成等差数列。②结论推广：结论可变为： ； 成等比数列。还可推广为： 成等比数列。通过启发学生还提出了（1）的条件和结论的推广：若 成等差数列，则 成等差数列。另外我补充了（2）的条件和结论的推广：若 成等差数列，则 、 成等比数列 以及两题的组合，若 是等比数列 的前 项和； 成等差数列，则 成等比数列。
二、写数学周记
反思是一种习惯和意识，不断的反思，才会不断地进步。学习是一个系统工程，培养反思习惯的措施，是全方位、多角度、多层次的反思。课堂上教师示范解题反思的过程中学生自己想到，但未与教师交流的问题，作业中对某些习题不同解法的探讨，学习情感、体验的感受，都可以通过数学日记的形式宣泄出来，记录下来，它使师生之间有了一个互相了解、交流的固定桥梁。让学生写数学周记要说明两个目的：第一，我希望它能给你一些启示，让你深刻理解自己的情感和数学学习体会。通过它，你将更好地了解自己的数学学习：你是怎样学习数学的，什么教学方法最适合你，自己数学学习中遇到的最大困难是什么，是什么因素使你对数学学习感兴趣，是什么因素使你对数学学习情绪低落。第二，我希望能分享你们的学习体验和数学周记内容，这将有利于我了解教学和改进教学，更快地找到让我们共同满意的教学方法。我建议每周总结一次，并做个自我约定，最初几周可以简单地回答以下问题：
（1）本周，你学习了哪些数学知识，哪些学习起来比较容易，哪些觉得有点困难？
（2）本周，你有解得最满意的一道习题吗？得意之处在哪里？
（3）本周，你在数学学习中走过哪些弯路，碰到哪些钉子？现在解决了吗？如果解决了，是怎样解决的？
（4）本周，你在数学学习中遇到的最大困难是什么？有什么经验教训？
（5）本周，你有做错的数学习题吗？是怎样做错的？这样做为什么不行？正确的做法是什么？
（6）本周，你认为涉及哪些数学思想和方法？有哪些收获？
（7）你能勾画出本周数学知识的网络图吗？
（8）本周，你最满意的一节数学课是什么？最失落的一节是什么？
通过数学周记的写作，学生对数学及数学学习产生了新的认识，反思数学学习，培养对数学的亲近感，形成数学地思考问题的习惯。
参考文献
[1]曹一鸣、王仲英. 略论数学反思能力的培养. 中学数学教学参考. 2004.9
[2]张国棣. 让学生的思维在解题后继续飞翔. 中学数学教学参考. 2005.6