摘要：对复变函数中计算极点处留数的规则Ⅱ作了推广，得到了在低级极点处的留数可按高级极点的留数来计算，给出了计算留数的一个较为简便的方法。 关键词：极点；零点；留数
中图分类号：G640 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2012）03-0077-02
留数是复变函数中的重要概念之一，它在计算复积分、实积分、拉普拉斯逆变换等方面起着主导的作用。留数及其计算在理论研究和实际应用中都具有重要意义。关于复变函数在有限极点处的留数计算，通常采用以下方法：
规则Ⅰ：如果z0是f（z）的可去奇点，则Res［f（z），z0］=0
规则Ⅱ：如果z0是f（z）的m级极点，则Res［f（z），z0］=■■［（z-z0）mf（z）］（m-1）
规则Ⅲ：设f（z）=■，其中P（z）、Q（z）在z0解析，P（z0）≠0，Q（z0）=0，Q"（z0）≠0，则z0是f（z）的一级极点，且Res［f（z），z0］=■[1]
但是在计算如f（z）=■在z0=0处的留数时，因z0=0是分子1-cosz的2级零点，是分母z7的7级零点，所以 z0=0是f（z）=■的5级零点，若按规则Ⅱ计算，则需要计算■的4阶导数，因为是商的导数，计算量非常大。虽然此例可用留数定义来计算，将f（z）在0＜|z|＜r内展开成罗朗级数，求C-1，但如果f（z）在0＜|z|＜r内的罗朗级数较难展开，用定义方法求留数就失效。为此提出：
定理1 如果z0是f（z）的m级极点，则Res[f（z），z0]=■■（z-z0）m+1f（z）］（m）
证明 因为z0是f（z）的m级极点，则f（z）=■+■+…+■+C0+C1（z-z0）+… [2]
所以（z-z0）m+1f（z）=C-m（z-z0）+C-m+1（z-z0）2+…+C-1（z-z0）m+C0（z-z0）m+1+…+［（z-z0）m+1f（z）］（m）=m！C-1+（m+1）！C0（z-z0）+（m+2）（m+1）…3C1（z-z0）2+…
从而■（z-z0）m+1f（z）］（m）=m！C-1
所以Res［[f（z），z0］=■■［（z-z0）m+1f（z）］（m）证毕.
定理1表明：f（z）在m级极点处的留数可按（m+1）级极点的留数来计算，再次利用定理1，（m+1）级极点的留数可按（m+2）级极点的留数来计算，从而得到：f（z）在低级极点处的留数可按高级极点的留数来计算，亦即我们可不必判断点z0是f（z）的极点的级数，只需判别点z0是f（z）分母的零点的级数。这不仅跳过的极点级数的判定，也大大简化了留数的计算。
例1 计算Res［■］
解 因为z0=0是f（z）=■分母的7级零点，根据定理1，按7级极点计算：
Res［■，0］=■■［z7?■］（6）=■=■
例2 计算Res［■，-1］
解 因为z=-1是分母z（z+1）6的6级零点，根据定理1，按6级极点计算：
Res［■，-1］=■■［（z+1）6?■］5）
=■■（z2+2+■）（5）
=■■-■=-3
定理2 设z0是f（z）的孤立奇点，
如果f（z）是偶函数，则成立：
Res［f（z），z0］=-Res［f（z），-z0］
如果f（z）是奇函数，则成立：
Res［f（z），z0］=Res［f（z），-z0］
证明 因为z0是f（z）的孤立奇点，则f（z）=■Cn（z-z0）n+■+■Cn（z-z0）n，其中0＜|z-z0|＜r
f（-z）=■Cn（-z-z0）n+■+■Cn（-z-z0）n
=■Cn（-1）n（z+z0）n-■+■Cn（-1）n（z+z0）n，
其中0＜|z+z0|＜r
当f（z）是偶函数时，f（-z）=f（z），于是Res［f（z），-z0］=-C-1=-Res［f（z），z0］。
当f（z）是奇函数时，f（-z）=-f（z），于是Res［f（z），-z0］=C-1=-Res［f（z），z0］。证毕.
例3 计算Res［■，0］
解 因f（z）=■是偶函数，z0=0是f（z）的孤立奇点，根据定理2，得：
Res［■，0］=-Res［■，-0］ =-Res［■，0］，所以Res［■，0］=0
例3不论用规则Ⅱ还是用定理1来计算都相当复杂，但用定理2来计算却比较简单。
参考文献：
[1]西安交通大学高等数学教研室.复变函数[M].北京：高等教育出版社，1994.
[2]Tristan Needham.复分析可视化方法[M].齐民友，译.北京：人民邮电出版社，2009.