篇一：高中数学必修一导学案 2.3幂函数教案 新人教版必修1
2.3 幂函数（教学设计）
教学目的：
1．通过实例，了解幂函数的概念．
2．具体结合函数y?x,y?x,y?x,y?x,y?x?1的图象，了解幂函数的变化情况．
3．在归纳五个幂函数的基本性质时，应注意引导学生类比前面研究一般的函数、指数函数、对函数等过程中的思想方法，对研究这些函数的思路作出指导． 教学重点：从五个具体的幂函数中认识幂函数的一些性质．
教学难点：画五个幂函数的图象并由图象概括其性质是教学中可能遇到的困难． 一、新课导入
先看五个具体的问题：
（1）如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克，那么她需要支付p=w元，这里p是w的函数； （2）如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S?a，这里S是a的函数； （3）如果立方体的边长为a，求立方体的体积V?a，这里V是a的函数；
（4）如果一个正方形场地的面积为S，那么这个正方形的边长a?S，这里a是S的函数； （5）如果某人t s内骑车进行了1km，那么他骑车的平均速度v?t讨论：以上五个问题中的函数具有什么共同特征？
它们具有的共同特征：幂的底数是自变量，指数是常数． 从上述函数中，我们观察到，它们都是形如y?x的函数．
二、师生互动，新课讲解： 1、幂函数的定义
??
一般地，函数y?x(a?R)叫做幂函数（power function），其中x是自变量，?是常数．对于幂函数y?x，
?
?1
32
23
1
2
12
km/s，这里v是t的函数．
我们只讨论??1,2,3,2、幂函数的图象
1
,?1时的情形． 2
12
2?13
在同一直角坐标系内作出幂函数y?x； y?x； y?x；y?x；y?x的图象．
观察以上函数的图象的特征，归纳出幂函数的性质．
3、幂函数的性质 1）．五个具体的幂函数的性质
1
2
（1）函数y?x； y?x； y?x2；y?x3和y?x?1的图象都通过点（1，1）；
3?12
（2）函数y?x；y?x；y?x是奇函数，函数y?x是偶函数；
（3）在区间(0,??)上，函数y?x，y?x2，y?x3和y?x是增函数，函数y?x?1是减函数； （4）在第一象限内，函数y?x的图象向上与y轴无限接近，向右与x轴无限接近． 2）．一般的幂函数的性质
（1）所有的幂函数y?x在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）； （2）??0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0,??)上是增函数； ?>1时，图象向上，靠近y轴； 0<?<1，图景向上，靠近x轴； ?=1是条直线。
（3）??0时，幂函数的图象在区间(0,??)上是减函数．在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于??时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴；
（4）幂函数y?x的图象，在第一象限内，直线x?1的右侧，图象由下至上，指数?由小到大；y轴和直线x?1之间，图象由上至下，指数?由小到大．
?
?
?1
12
，，2四个值，则相应于曲线课堂练习： 已知幂函数y?x?在第一象限内的图象如图所示，且?分别取?11
12
C1，C2，C3，C4的?的值依次为．
例1：（课本第78页例1）证明幂函数f(x)?x在[0,??)上是增函数．
变式训练1：利用幂函数的性质，比较下列各题中两个幂的值的大小： （1）2.3，2.4；（2）0.31，0.35；（3）(2)
例2：求下列函数的定义域，并判断它们的奇偶性：
（1）y?x；（2）y?x；（3）y?x； （4）y?x 解 （1）函数y?x的定义域是R，它是奇函数； （2）函数y?x?2即y? （3）函数y?
x即y1
312
12
13
34
34
6565
?
32
，(3)
?
32
；（4）1.1，0.9
?
1
2
?
12
．
3?2
3
1
，其定义域是(??,0)?(0,??)，它是偶函数； x2
，其定义域是[0,??)，它既不是奇函数，也不是偶函数；
（4）函数y?
x即y?，其定义域是R，它是奇函数． 变式训练2：
（1）. 设a???11． ，3?，则使函数y?xa的定义域为R且为奇函数的所有a值为（ A ）
(A) 1，3 (B) ?1，1(C) ?1，3(D) ?1，1，3
3
（2）. 若函数f(x)?x(x?R)，则函数y?f(?x)在其定义域上是（ B ）．
?
?1?2?
(A) 单调递减的偶函数 (B) 单调递减的奇函数 (C) 单调递增的偶函数 (D) 单调递增的奇函数
1
（3）若幂函数f(x)的图象经过点(3，，则其定义域为( )
9
A．{x|x∈R，x>0} B．{x|x∈R，x<0}C．{x|x∈R，且x≠0} D．R
11α1α－2a－22
解析：设f(x)＝x.∵图象过点(3)，∴＝3，即3＝3，∴α＝－2，即f(x)＝x＝2，∴x≠0，即x≠0.
99x答案：C
2x
例3：在同一坐标系作出函数y=x与y=2的图象。 变式训练3：已知幂函数f(x)＝________.
解析：∵幂函数f(x)＝
－4
(m∈N)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则实数m＝
*
在(0，＋∞)上是减函数，∴m－2m－3<0，∴－1<m<3，又m∈N，∴m＝1或2，
－3
2*
当m＝1时，f(x)＝x，其图象关于y轴对称，符合；当m＝2时，f(x)＝x是奇函数，不符合，∴m＝1.
答案：1
布置作业： A组：
1．下图给出4个幂函数的图象，则图象与函数大致对应的是(
)
解析：注意到函数y＝x≥0，且该函数是偶函数，其图象关于y轴对称，结合选项知，该函数图象应与②对应；y
＝
1－1
x的定义域、值域都是[0，＋∞)，结合选项知，该函数图象应与③对应；y＝x＝，结合选项知，其图象
2
x
应与④对应；图象①与y＝x大致对应．综上述所述，选B.
答案：B
1n1n
2．已知n∈{－1,0,1,2,3}，若(－)>()，则n＝__________.
25
解析：可以逐一进行检验，也可利用幂函数的单调性求解． 答案：－1或2
3．（课本P79习题2.3 NO:1）已知幂函数y?f(x)的图象过点(2,2)，试求出这个函数的解析式．
3
4．(课本P79习题2.3 NO:2)在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量速率v（单位：cm/s）与管道半径r(单位：cm)的四次方成正比．
（1）写出气流流量速率v关于管道半径r的函数解析式；
3
（2）若气体在半径为3cm的管道中，流量速率为400cm/s，求该气体通过半径为r的管道时，其流量速率v的表达式；
3
（3）已知（2）中的气体通过的管道半径为5cm，计算该气体的流量速率（精确到1cm/s）．
5．讨论函数y?x的定义域、奇偶性，作出它的图象，并根据图象说出函数的单调性．
27m
6．已知函数f(x)＝－x，且f(4)＝－.
x2
(1)求m的值；
(2)判断f(x)在(0，＋∞)上的单调性，并给予证明． 72m7
解：(1)∵f(4)－4＝－.∴m＝1.
242
2
3
3
2
(2)f(x)x在(0，＋∞)上单调递减，
x
证明如下：
任取0<x1<x2，则f(x1)－f(x2)
222＝(－x1)－x2)＝(x2－x1)(1)．
x1x2x1x2
∵0<x1<x2，∴x2－x1>0，
2
x1x2
＋1>0.
∴f(x1)－f(x2)>0，∴f(x1)>f(x2)， 2
即f(x)x在(0，＋∞)上单调递减．
x
B组：
1．如果幂函数f(x)＝函数f(x)的解析式．
1232
解析：∵f(x)在(0p＋p＋>0，即p－2p－3<0.∴－1<p<3，又∵f(x)是偶函数且p∈
22Z.∴p＝1，故f(x)＝x.
2
(p∈Z)是偶函数．且在(0，＋∞)上是增函数．求p的值，并写出相应的
篇二：幂函数学案
1
2
篇三：幂函数的复习学案
幂函数期末复习学案
1123
导学目标： 1.了解幂函数的概念.2.结合函数y＝x，y＝x，y＝x，y＝，y＝xx2
象，了解它们的单调性和奇偶性．
自主梳理
1．幂函数的概念
形如________的函数叫做幂函数，其中____是自变量，____是常数． 2．幂函数的性质
象．
(3)α>0时，幂函数的图象通过点____________，并且在区间(0，＋∞)上是________，α<0时，幂函数在(0，＋∞)上是减函数，图象______原点．
自我检测
1n
1．如图中曲线是幂函数y＝x在第一象限的图象．已知n2
于曲线C1，C2，C3，C4的n值依次为________________．
1x－1
2．已知函数：①y＝2；②y＝log2x；③y＝x；④y＝x.则下列函数图象(在第一象限
2
部分)从左到右依次与函数序号的正确对应顺序是_____________________________________．
1α
3．设α∈{－1,1，3}，则使函数y＝x的定义域为R且为奇函数的所有α值为
2
________．
4．与函数y＝
x
x＋1
________(填序号)．
1x
①y＝2；②y＝log2x；③y＝y＝x＋1.
x
5．已知点(
3
33)在幂函数f(x)的图象上，则f(x)的表达式是____________． 3
探究点一 幂函数的定义与图象
1
例1 已知幂函数f(x)的图象过点2，2)，幂函数g(x)的图象过点(2，)．
4
(1)求f(x)，g(x)的解析式；
(2)求当x为何值时：①f(x)>g(x)；②f(x)＝g(x)；③f(x)<g(x)．
1
变式迁移1 若点(2，2)在幂函数f(x)的图象上，点(－2)在幂函数g(x)的图象上，
4
??f
定义h(x)＝?
?g?
x，fxgx，
x，fxgx，
试求函数h(x)的最大值以及单调区间．
探究点二 幂函数的单调性
例2 比较下列各题中值的大小．
0.8,0.7
(1)33；
3,3
(2)0.210.23； (3)2，1.8；
(4)4.1，3.8和(?1.9).
变式迁移2 (1)比较下列各组值的大小：
25
?23
12
13
35
11
①?8________?()3；
9
?
13
②0.2________0.4.
1.3m0.7m
(2)已知(0.7)<(1.3)，则m的取值范围为_____________________________． 探究点三 幂函数的综合应用
2*
例3 (2010·葫芦岛模拟)已知函数f(x)＝xm－2m－3(m∈N)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满足(a＋1)－<(3－2a)－的a的范围．
33
0.50.3
mm
变式迁移3 已知幂函数f(x)＝x(m?m)(m∈N)．
(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；
(2)若该函数还经过点(22)，试确定m的值，并求满足条件f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围．
课堂小结：
α
1．幂函数y＝x(α∈R)，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x为自变量，指数α为常数，这是判断一个函数是否是幂函数的重要依据和唯一标准．
2．在(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴．幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．
(满分：90分)
一、填空题(每小题6分，共48分)
f1
1．若函数f(x)是幂函数，且满足＝3，则f()的值为________．
f21n1n
2．已知n∈{－1,0,1,2,3}，若(－)>(－)，则n＝________.
25
3．下列函数图象中，正确的序号有________．
*
2
?1
4．(2010·安徽改编)设a＝()，b＝()，c＝()，则a，b，c的大小关系为____________．
5．下列命题中正确的是________(填序号)． ①幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)；
35
25
25
35
25
25
②幂函数的图象不可能在第四象限；
n
③当n＝0时，函数y＝x的图象是一条直线；
n
④幂函数y＝x当n>0时是增函数；
n
⑤幂函数y＝x当n<0时在第一象限内函数值随x值的增大而减小． 6．(2011·徐州模拟)若幂函数y＝(m?3m?3)x的值为________．
α
2
m2?m?2
的图象不经过原点，则实数m
7．已知a＝x，b＝x，c＝x?，x∈(0,1)，α∈(0,1)，则a，b，c的大小顺序是______________．
α
8．已知函数f(x)＝x(0<α<1)，对于下列命题：①若x>1，则f(x)>1；②若0<x<1，则0<f(x)<1；③当x>0时，若f(x1)>f(x2)，则x1>x2；④若0<x1<x2，则
?2
1
fx1fx2
x1x2
其中正确的命题序号是______________．
二、解答题(共42分) 9．(14分)设f(x)是定义在R上以2为最小正周期的周期函数．当－1≤x<1时，y＝f(x)
11
的表达式是幂函数，且经过点．求函数在[2k－1,2k＋1)(k∈Z)上的表达式．
28
1
10．(14分)已知f(x)＝x?n
2
等式f(x－x)>f(x＋3)．
?2n?3
(n＝2k，k∈Z)的图象在[0，＋∞)上单调递增，解不
11．(14分)(2011·苏州模拟)已知函数f(x)＝x(k∈Z)满足f(2)<f(3)． (1)求k的值并求出相应的f(x)的解析式；
(2)对于(1)中得到的函数f(x)，试判断是否存在q>0，使函数g(x)＝1－qf(x)＋(2q－
17
1)x在区间[－1,2]上的值域为[－4，？若存在，求出q；若不存在，请说明理由．
8
答案 自主梳理
α
1．y＝x x α 2.(2)(0，＋∞) 四 (3)(0,0)，(1,1) 增函数 不过 自我检测
11
1．2，，－2
22
解析 方法一 由幂函数的图象与性质，n<0时不过原点，故C3，C4对应的n值均为负，C1，C2对应的n值均为正；
由增(减)快慢知n(c1)>n(c2)>n(c3)>n(c4)．
11
故C1，C2，C3，C4的n值依次为2，2.
22
方法二 作直线x＝2分别交C1，C2，C3，C4于点A1，A2，A3，A4，则其对应点的纵坐标显然为2,2,2
2
12
?12
?k2?k?2
11－2
，2，故n值分别为2，－2.
22
2．④③①②
解析 第一个图象过点(0,0)，与④对应；第二个图象为反比例函数图象，表达式为y＝y＝x恰好符合，∴第二个图象对应③；
第三个图象为指数函数图象，表达式为y＝a，且a>1，①y＝2恰好符合，∴第三个图象对应①；
第四个图象为对数函数图象，表达式为y＝logax，且a>1，②y＝log2x恰好符合，∴第四个图象对应②.
∴四个函数图象与函数序号的对应顺序为④③①②. 3．1,3 4．③
－3
5．f(x)＝x 课堂活动区
α
例1 解 (1)设f(x)＝x，
α
∵图象过点2，2)，故2＝2)，
2
解得α＝2，∴f(x)＝x.
1β
设g(x)＝x，∵图象过点(2，)，
4
1β
∴＝2，解得β＝－2. 4
－2
∴g(x)＝x.
2－2
(2)在同一坐标系下作出f(x)＝x与g(x)＝x的图象，如图所示．
x
x
kx
－1
由图象可知，f(x)，g(x)的图象均过点(－1，1)和(1,1)． ∴①当x>1，或x<－1时， f(x)>g(x)；
②当x＝1，或x＝－1时，f(x)＝g(x)； ③当－1<x<1且x≠0时，f(x)<g(x)．
变式迁移1 解 求f(x)，g(x)解析式及作出f(x)，g(x)的图象同例1， 如例1图所示，
－2??x，x<－1或x>1，
则有：h(x)＝?2
?x，－1≤x≤1.?
根据图象可知函数h(x)的最大值为1，单调增区间为(－∞，－1)和(0,1)；单调减区间为(－1,0)和(1，＋∞)．
例2 解题导引 比较两个幂的大小关键是搞清楚是底数相同，还是指数相同，若底数相同，利用指数函数的性质；若指数相同，利用幂函数的性质；若底数、指数皆不相同，考虑用中间值法，常用0和1“搭桥”进行分组．
x0.80.7
解 (1)函数y＝3是增函数，∴3>3.
333
(2)函数y＝x是增函数，∴0.21<0.23.
(3)∵2?1.8?1.8， ∴2?1.8.
(4)4.1?1＝1；0<3.8
35
35
25
25
?23
12
13
23
121213
?1＝1；
?23
?
(?1.9)<0，∴(?1.9) <3.8
?4.1.
25