函数是整个高中数学的核心内容，是初等数学与高等数学的主要衔接部分，同时也是贯穿整个中学数学的一根主线，具有概念性强、内容丰富、与其他知识（特别是方程、不等式、导数等）联系广泛等特点． 在高考试卷中，选择题、填空题、解答题三种题型中都有函数试题，而且常考常新，近年以基本函数为背景的应用题和综合题也是高考命题的新趋势．
1． 串联情况：本部分是函数内容的基础． 重点是了解函数的定义，会求简单函数的定义域、值域，体会对应关系在刻画函数概念中的作用． 在熟练掌握有关技能的同时，注意换元、待定系数法等数学思想方法的运用，并通过对分段函数、复合函数、抽象函等的认识，进一步体会函数关系的本质．
2． 考情分析：从近几年来看，对本考点的考查形势稳中求变，向着更灵活的方向发展，多为寻求变量间的函数关系，再求出函数的定义域、值域，进而研究函数性质来解决问题．考查以选择或填空题为主，以解答题形式出现的可能性相对较小，本节知识作为工具和其他知识结合起来命题的可能性依然很大．
3． 破解技巧：
（1）函数的定义域是使式子有意义的自变量的取值范围，一般是构建不等式组求解．
（2）要克服“函数就是解析式”的片面认识，其中列表法、图象法直观，解析法是常用表述法，同时也要注意自变量的实际意义的要求．
（3）确定函数f（x）的值域或最值一般用不等式法、配方法、几何法、换元法，也可直接利用它的图象和性质求解，还可利用单调性定义或导数法确定其性质，再求值域．
4． 经典例题：
函数f（x）=的定义域为A，g（x）=lg［（x－a－1）（2a－x）］（a0得［x－（a+1）］（x－2a）2a，所以B=（2a，a+1）． 因为BA，所以2a≥1或a+1≤－1，即a≥或a≤－2，而aa，则实数a的取值范围是_______.
破解思路 分段函数体现了“分类”的数学方法，也是高考命题的热点之一． 解此类问题一般需从两方面考虑问题，必要时可结合图象处理．
经典答案 法1：当a≥0时，有a－1>a，得aa，解得a1，所以a2，求函数f（x）的最小值．
破解思路 （1）函数的奇偶性问题，一要确定函数的定义域，二要看f（x）与f（－x）的关系；
（2）讨论二次函数的区间最值问题：①注意对称轴与区间的相对位置；②注意系数a的符号对抛物线开口方向的影响．
经典答案 （1）由偶函数的定义得f（－x）=f（x），即2x－a=2x+a，解得a=0．
（2）f（x）=x2+2x－a（x≥a），x2－2x+a（x2，x≥a，得x>1，从而f（x）在x≥a时单调递增， f（x）的最小值为f=．
当x0知f（x）的最小值为a－1．
假设定义域为［0，1］的函数f（x）同时满足以下三个条件时称f（x）为“友谊函数”：
①对任意的x∈［0，1］，总有f（x）≥0；
②f（1）=1；③若x1≥0，x2≥0且x1+x2≤1，则有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立，则下列判断正确的有_________．
（1）f（x）为“友谊函数”，则f（0）=0；
（2）函数g（x）=2x－1在区间［0，1］上是“友谊函数”；
（3）若f（x）为“友谊函数”，且0≤x1 ④f（x）在［－2，－1］上是减函数．其中正确的判断是________.
（把你认为正确的判断都填上）
破解思路 研究函数图象，可以从“数”和“形”两个方面入手，即解析式定量分析与图象的定性分析．
经典答案 因为f（2－x）=－f（x），所以f（x）有对称中心（1，0）．
又f（2－x）=－f（x），所以f（x）= －f（2－x），所以f（x+4）=－f［2－（x+4）］= －f［－（x+2）］．
又f（x）为偶函数，所以f（x+4）= －f（x+2），所以f（x+4）=f［2－（x+2）］=f（－x）=f（x），所以4是f（x）的一个周期．
从而由图象可知其中正确的判断是①②③．
1． 串联情况：二次函数是中学代数的基本内容之一，它既简单又具有丰富的内涵和外延． 作为最基本的初等函数，可以它为素材来研究函数的单调性、奇偶性、最值等性质，还可建立起函数、方程、不等式之间的有机联系；作为抛物线，可以联系其他平面曲线讨论相互之间关系．
2． 考情分析：有关二次函数的内容与近、现代数学发展紧密联系，是我们进入高校继续深造的重要知识基础． 从近几年高考的形势来看，十分注重对三个“二次”（即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式）的考查力度，同时也研究了它的许多重要的结论，并付诸应用． 高考试题中有近一半的试题与这三个“二次”问题有关．
3． 破解技巧：学习二次函数，可以从两个方面入手：一是解析式，二是图象特征． 从解析式出发，可以进行纯粹的代数推理，从图象特征出发，可以实现数与形的自然结合．
4． 经典例题：
已知二次函数y=f（x）=x2+bx+c的图象过点（1，13），且函数y=fx－是偶函数．
（1）求f（x）的解析式．
（2）已知t0时，g（x）=（x-1）2－1，由此可知g（x）max=0．
当1≤t2n－（2m+1），2n+（2m+1）>0，所以有2n+（2m+1）=43，2n－（2m+1）=1，解得m=10，n=11.
因此，函数y=f（x）的图象上存在符合要求的点，它的坐标为（10，121）．
已知二次函数f（x）=ax2+bx+1（a，b∈R，a>0），设方程f（x）=x的两个实数根为x1和x2．
（1）如果x1－1；
（2）如果x10及x10，即4a+2b－10，
即3+3•－－1．
（2）由（x1－x2）2=（x1+x2）2－4x1x2=－， 可得2a+1=． 又x1x2=>0，所以x1，x2同号．
所以x10，2a+1=或g（－2）0，2a+1=，解之得b．
本题还可拆分为以下两道较简单的问题：
（拆分1）集合A=｛（x，y）y=x2+mx+2｝，B=｛（x，y）x－y+1=0，且0≤x≤2｝，若A∩B≠，求实数m的取值范围． （答案：m∈（－∞，－1］）
（拆分2）已知关于x的方程x2－2tx+t2－1=0的两个实根属于区间（-2，4），则实数t的取值范围是_______．（答案：－10；当x∈（－∞，－3）∪（2，+∞）时， f（x） 0=a•22+（b－8）•2－a－ab.解得a=－3，
b=5.所以f（ｘ）=－3x2－3x+18.
（1）由函数图象知，函数f（x）在［0，1］内单调递减，当x=0时，y=18；当x=1时，y=12. 所以f（x）在［0，1］内的值域为［12，18］.
（2）令g（x）=－3x2+5x+c，则g（x）在，+∞上单调递减. 要使g（ｘ）≤0在［1，4］上恒成立，则需g（ｘ）max=g（1）≤0，即－3+5+c≤0，解得c≤－2. 所以当c≤－2时，不等式ax2+bx+c≤0在［1，4］上恒成立.
1． 串联情况：本部分主要侧重考查以下几点：一是以指对数运算为依据，考查求函数值、对数式与指数式的互化；以考查单调性为目的的大小比较；以指数或对数函数为载体，以某一性质为核心，结合其他知识，把问题延伸，主要以考查知识的综合运用和能力的发展为目的．
2． 考情分析：指数函数、对数函数、幂函数是三类常见的重要函数，在历年的高考题中都占据着重要的地位． 从近几年的高考形势来看，对指数函数、对数函数、幂函数的考查，大多以基本函数的性质为依托，结合运算推理，能运用它们的性质解决具体问题． 题目形式多以指数函数、对数函数、幂函数为载体的复合函数来考查函数的性质． 若它们与其他知识点交汇命题，则难度会加大．
3． 破解技巧：指数函数与对数函数互为反函数，运算可相互转化，性质可相互理解，方法可相互借鉴．
（1）学会指数式与对数式的相互转化；
（2）结合指对数“互反”性质记忆有关的概念、图象和性质．
（3）底是参数时，一定要区分底是大于1还是小于1的，与对数有关的问题还要紧扣对数函数的定义域．
4． 经典例题：
已知函数f（x）=ax（x1．
破解思路 证明函数单调性的常用方法有：
定义法，一般是作差、分解、判断.
导数法，若f（x）在某个区间A内有导数，则f ′（x）≥0（x∈A）f（x）在A内为增函数；
f ′（x）≤0（x∈A）f（x）在A内为减函数．
经典答案 （1）任取x1，x2∈（a，+∞），且x1f（x2），所以f（x）是（a，+∞）上的减函数．
（2）由01得loga1－>logaa，则00，又因为x10，2+1>0，所以f（x1）1，则00，即f（3）>f（0），又f（x）在R上是单调函数，所以f（x）在R上是增函数，且f（x）是奇函数．f（k•3x）0，问题等价于g（t）=t2－（1+k）t+2>0对任意t>0恒成立．
当0，符合题意．
当≥0，即k≥－1时，则g=2－>0，得－1≤k0，所以f（－x）=log0.5（－x+1）（0≤－x 综上S=－1（－1
1． 串联情况：导数是高中数学中重要的内容，是解决实际问题的强有力的数学工具，运用导数的有关知识，研究函数的性质：单调性、极值和最值是高考的热点问题．
2． 考情分析：对函数与导数的交汇考查非常全面，所占分值较高，既有基本题也有综合题． 一般以两种形式考查：一是直接把导数应用于多项式函数性质的研究，考查多项式函数的单调性、极值、最值等：二是把导数与函数、方程、不等式、数列等相联系，进行综合考查，主要考查函数的最值或求参数取值范围问题．
3． 破解技巧：首先确定函数的定义域，再求导数f ′（x），得到导函数的零点，一般列表判定单调区间与极值或最值；若是含参变量的单调性或极值问题，则应结合定义域对方程根的问题进行讨论；求解某些综合问题时，还要进行命题转化（如恒成立、大小比较、数列问题等），逐步化归为基本问题来解决，尤其要注意分类讨论、数形结合等思想的综合运用．
4． 经典例题：
已知函数f（x）的定义域为［－3，+∞），部分函数值如表1所示，其导函数的图象如图1所示，若正数a，b满足f（2a+b）0，故函数g（x）无极值．
②当m0）． 当a>0时， f（x）的单调增区间为（0，1］，减区间为［1，+∞）；
当a0， 所以m－，m∈－，－3．
1． 串联情况：函数应用题与综合应用题是最能体现考生函数水平的试题：一次函数、二次函数、y=x+（a＞0）型、指数型、对数型与现实生活相结合，考查建模能力，而函数与数列、不等式、导函数等众多知识的交汇已经成为函数综合应用中的典型问题．
2． 考情分析：函数应用问题是高考的热点，高考对应用题的考查即考小题又考大题，而且分值呈上升的趋势． 高考中重视考查环境保护及数学课外的综合性应用题等问题． 出于“立意”和创设情景的需要，函数试题设置问题的角度和方式也不断创新，重视函数思想的考查，加大函数应用题、探索题、开放题和信息题的考查力度，从而使高考考题显得新颖、生动和灵活．
3． 破解技巧：解函数应用问题的步骤（四步八字）
（1）审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；
（2）建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；
（3）求模：求解数学模型，得出数学结论；
（4）还原：将数学问题还原为实际问题的意义．
4． 经典例题：
行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，要继续向前滑行一段距离后才会停下，这段距离叫刹车距离． 为测定某种型号汽车的刹车性能，对这种型号的汽车在国道公路上进行测试，测试所得数据如表3． 在一次由这种型号的汽车发生的交通事故中，测得刹车距离为15.13 m，则该汽车在刹车时的速度是多少？
破解思路 所求问题为根据表3数据，建立描述v与s之间关系的数学模型的问题． 此模型不能由表格中的数据直接看出，因此，以刹车时车速v为横轴，以刹车距离s为纵轴建立直角坐标系． 根据表中的数据作散点图，可看出应选择二次函数作拟合函数．
经典答案 假设变量v与s之间有如下关系式：s=av2+bv+c，因为车速为0时，刹车距离也为0，所以二次曲线的图象应通过原点（0，0）． 再在散点图中任意选取两点A（30，7．30），B（80，44．40）代入，解出a，b，c，于是s=0.0062v2+0.0563v． （代入其他数据有偏差是许可的）
将s=15．13代入得15.13=0.0062v2+0.0563v，解得v≈45.07．
所以，汽车在刹车时的速度是45.07km/h．
如图2，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2r，短半轴长为r，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上，记CD=2x，梯形面积为S．
图2
（1）求面积S以x为自变量的函数关系式，并写出其定义域；
（2）求面积S的最大值．
破解思路 梯形面积是“上底加下底，乘以高除以2”，题目中已经给出梯形的上、下底分别为2x和2r，但是其高是多少呢？这显然取决于椭圆的形状． 又椭圆的方程正是这一形状的“数”的表示，有了方程就可知高与x的关系，进而梯形的面积S与x的关系式（目标函数）也就不难写出来了．以导数为工具求函数S（x）的最大值是比较自然而常规的方法．
经典答案 （1）以AB的中点O为原点建立直角坐标系，则点C在椭圆+=1（y≥0）上，所以S=2（x+r）•，定义域为｛x00；当