在高中学习解析几何，不仅要掌握直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线等曲线的方程，能应用它们解题，而且要在一般意义上理解曲线与方程的关系，即“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念，体验“数”与“形”的转化与结合，认识解析几何基本思想方法的要点。为此，人教版高中《数学》A版在选修2-1第二章“圆锥曲线与方程”之首，专门安排了第2.1节“曲线与方程”。这一节具有承上启下的作用，在前面必修部分已有“直线与圆的方程”的基础上，进行由“特殊”到“一般”的进一步抽象提升，引出一般意义上曲线与方程的关系，介绍“求曲线的方程”的通法，为后续学习圆锥曲线等储备理论基础。?
分析教材后可以明显地发现，第2.1节“曲线与方程”中，核心概念是曲线与方程的关系，也即“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念。教材中为表述它们写有如下一段：?
一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：?
（1）曲线上点的坐标都是这个方程的解；?
（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，?
那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线。?
这段话不长，却很精练准确地道出曲线与方程的关系的实质。仔细分析它，可以看出：其中，（1）里“都”字的作用很重要，“都是这个方程的解”保证了曲线上每一点的坐标都满足方程，即这一曲线上的点是“清一色”的，其上没有混杂进来坐标不满足方程的点。因此，（1）保证了曲线对于方程的纯粹性。同样地，（2）里“都”字的作用也很重要，“都是曲线上的点”保证了坐标满足方程的点全部落在曲线上，即这一曲线是“独一家”容纳方程的解对应的点的地方，没有遗漏任何坐标满足方程的点在这一曲线之外。因此，（2）保证了曲线对于方程的完备性。纯粹性与完备性合起来，保证了曲线与方程的等价性，即这里的曲线与方程是同一事物的两种表现形式，前者是几何形式，后者是代数形式，它们可以互相转化。?
也可以从集合的角度认识上述关系。一方面，我们记平面上所有点构成的集合为Π，则平面上任一点P?Π，平面上的曲线C.Π。另一方面，我们记集合{(x,y)|x∈R,y∈R}为R?2，则任一有序实数对(x,y).R?2，二元方程f(x,y)=0的实数解集F={(x,y)|x∈R,y∈R,f(x,y)=0}.R?2。在平面建立坐标系后，使得平面上的点P以坐标表示形式与有序实数对(x,y)建立一一对应，于是平面曲线C（点的集合）就与C??={（x,y）|坐标为（x,y）的点在C上}（有序实数对的集合）等价地对应，记为C～C??；二元方程f(x,y)=0与其实数解集F等价地对应，记为f(x,y)=0～F。C??与F都是R?2的子集，如果C??=F，则由等价传递性，曲线C就与方程f(x,y)=0等价地对应，即C～f(x,y)=0。这一转化过程如下所示：?
①建立平面直角坐标系，C～C??f(x,y)=0～F；?
②C??F?C~f(x,y)=0?f(x,y)=0是C的方程，C是f(x,y)=0的曲线。?
根据集合相等的定义，C??=F即这两集合相互包含。教材中那段话中的（1）就是说C??F；（2）就是说FC??。两者合起来即C??=F。这就是从集合角度对曲线与方程关系的解释。?
从上述分析可以看到，教材中寥寥几行对曲线与方程关系的描述，包含了“形”与“数”的等价转化，体现了解析几何的真谛。但是，由于这段文字具有高度抽象概括的数学语言特色，所以对于一般高中生来说，仅凭阅读这段文字而理解其含义确实不易实现。?
在实际教学中，如何克服上述难点？这是我们应关注的问题。为此，教学中不妨使用类似下面的例子，设计问题启发学生思考。?
例结合曲线与方程关系的条件（1）（2）说明：单位圆的方程为x?2+y?2=1，方程x?2+y?2=1的曲线为单位圆。?
笔者认为，虽然学习本课之前学生对单位圆的方程已很熟悉，本课中引出曲线与方程关系时也会从圆的方程说起，但是在给出曲线与方程关系的一段文字之后，仍有必要再次用简单而具体的例子解释曲线与方程关系中的（1）（2）两层含义。为说明这个问题，学生需要用单位圆的几何特征（圆心在原点，半径为1的圆）说明其上任一点的坐标满足方程x?2+y?2=1，并反过来说明只要(x?0,y?0)是这个方程的解，则点P(x?0,y?0)到原点的距离为1，从而P一定在单位圆上。尽管这样做看起来有些繁琐重复，但对于刚开始理解抽象文字所表达的含义却是不可或缺的。它创设了以直观事例解释抽象概念的机会，使学生能独立地从认识定义入手来理解概念。教学中，根据需要可以多举几个类似的例子。忽视正面运用这种简单例子，可能会使教学欲速则不达。