平均值不等式是历年高考的热点之一，在不等式一章中占有重要地位。新教材（试验修订?本•?必修）以单独一节内容出现，充分体现了均值不等式的重要性。本节知识灵活多变，内容丰富，是培养学生在研究中学习、在探索中创新的好素材。为了达到让学生运用研究性学习理念进行创新学习、透彻理解的目的，对本节内容，我作了如下尝试：主要内容两节课完成。第一节课主要解决一个问题――推出算术平均数不小于几何平均数等一系列成果。在教学过程中，力求以?“(a-b)?2≥0”?出发，通过一连串的设问，最后得出一系列结论，为学生搭建探索成果的平台，使学生在研究中学习，在探索中创新，最终使综合能力得以提升，并把课延伸至课后。?
一 、教学简述?
T： ? 我们知道，若a,b∈R，则(a-b)?2≥0，变换一下表达形式，你会得出怎样的不等式？并指出什么时候等号成立？??
S?1： ?a?2+b?2≥2ab,当a=b时等号成立。??
T：在科学研究中，替代、变式、转化、类比、联想、归纳、总结等是我们常用的方法。首先，我们尝试用替代法作一些探索。?
（为使学生有替代意识，教师引导。）?
T： ?不妨在a?2+b?2≥2ab中，用a代替a?2、用b代替b?2,结论如何？新得出的结论中，a、b有无范围限制？等号成立的条件是什么？??
S?2：?变成了a+b≥2ab； a≥0， b≥0；当a=b时，等号成立。??
T： ?答得很好。但若a=0、b=0，讨论的意义还大不大？可否修正？??
S?3：是否可以把范围变成：a>0，b>0.?
T： 请同学们作出判断。?
S(众)：（异口同声地说）可以。?
T： 对。把刚才同学们探索的结论归纳一下，就有：?
?当a,b∈R?+时，则
a+b2≥ab。（当且仅当a=b时等号成立）??
?我们把
a+b2叫做a与b的算术平均数，把叫做a与b的几何平均数。刚才的结论可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。（板书课题）??
T： ?很好。下面我们尝试一下变式的方法，观察
a+b2≥ab，你能得出哪些变式结论?？?
S?4：?把
a+b2≥ab两边平方，有：
a+b2?2≥ab.??
T： 还有吗？?
S?2： ? 我把a?2+b?2≥2ab两边除以2,有：
a?2+b?22≥ab；再开方，有：
a?2+b?22≥ab；把a?2+b?2≥2ab两边除以ab,有：ba+
ab+≥2。??
（此时课堂气氛热烈，同学们采取多种变式手段，分享彼此间探索的成果。）?
S?5： ?将不等式两边取倒数，可变式：?
① 若将
a+b2≥ab取倒数变换，有：
2a+b≤
1ab；② 若将
a?2+b?22≥ab取倒数，有
2a?2+b?2≤
1ab。??
S?6： 将S?5的①中的不等式分母有理化，?有：
2a+b≤
abab，再化简，有：
2aba+b≤ab??
S?7： 将S?6的结论变形可得：?
2aba+b=
2a+bab=
2
1a+
1b，有结论：
2
1a+
1b≤ab。??
T：同学们思维活跃，共同探讨出一系列的结论，很了不起。?
归纳总结，去粗取精，去伪存真是一个科学工作者应具备的基本素质。请同学们进一步分析完善，归纳自己的成果。?
S?8： 通过刚才的分析探索，我们得到以下结论：?
?
a+b2≥ab；
a?2+b?22≥ab；
2
1a+
1b≤ab。??
T： ?
a+b2、
a?2+b?22都不小于ab，那
a+b2与谁
a?2+b?22大？进而比较出
a?2+b?22、ab、
2
1a+
1b、
a+b2的大小。??
?同学们纷纷动笔，有的用比较法、有的用分析法、有的用综合法去比较
a+b2与
a?2+b?22的大小。??
S?1： ?我用分析法，得出：
a+b2≤
a?2+b?22，从而有： ?
2
1a+
1b≤ab≤
a+b2≤
a?2+b?22
（当且仅当a=b时，等号成立）??
T：答得很好。我们已经推出了两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数及一系列变式结论。那么，?对于三个正数a、b、c，是否有类似结论呢？（抛出思维方向未作回答，留作课后作业。）??
T：? 刚才，我们从(a-b)?2≥0出发，从代数角度探索出
a+b2≥ab及其变式结论。能否从几何角度对
a+b2≥ab进行解释呢？??
S?9： （将课本上的几何模型简述了一下）?
（为了加深学生对几何建模的印象，渗透数形结合思想，另外提问。）?
T：?如何构建几何模型解释
a?2+b?22≥ab？请同学们课后继续思考！?
此时，下课铃声已响，同学们还意犹未尽，课还在继续……??
作为课堂的延伸，我特意补充了两个习题：?
1??类比习题6.2第3题，请你猜想：若 a、b、c ∈R?+，结论如何？?
2?请构建几何模型解释a?2+b?22≥ab。??
二、 课后反馈?
?同学们对两个补充习题很感兴趣，作业中表现出同学们的思维层次较高，能力得以提升。好些学生课后在问
a+b+c3≥
3abc如何证明？?
对
a?2+b?22≥ab的建模，辅导时我作了一点提示：ab可以考虑成以a、b为邻边的矩形的面积（如图①）。?作业中，同学们还有另外三种模型（见图②，图③，图④）。如此多的构建方法是我始料未及的，大大出乎我对学生的估计。
三、 教学反思?
１? 老师应加强学习，苦练内功，提高自身的专业业务水平。要对近几年的高考题进行总结分析；要潜心钻研教材，吃透大纲与考纲，熟悉内容与整个知识体系；要阅读相关教学资料，借鉴他人的好的方式方法，扩充自己的知识面。这样，在备课时，才能对所授内容进行适当处理，分清轻、重、缓、急，找到合适的切入点，合理安排顺序，突出重点，突破难点。?
２? 教师要与时俱进，接受新思想、新观点，转变自身的角度。要把老师对知识的传授变为学生对知识的探索。教师在课堂上不再是一个指导者，而应是一个“服务者”，为学生探索知识、寻求结论搭建平台。引导学生进行研究性学习，培养学生的创新思维能力。?
３? 改进教学方式。教学内容问题化，解决问题探索化。教师为教，不应全盘授予，而应设计出一连串的问题，启发学生去思考，最终使问题得以解决，从而促进学生思维的发展。应避免提一些肤浅的、没有思维价值的问题，应避免脱离实际教学内容、或与所授内容联系不紧、或学生难以回答的设问。设问要富有针对性、启发性，要给学生留有思考的余地，让学生“跳一跳”能有所获。?
４? 课堂调控既是体现教学理念、教学管理的学问，也是展示教学机智与思维的艺术，我们要不断地进行积累和总结。对学生回答的问题要适时予以评价，那怕是答非所问，也要找闪光点进行肯定，激励学生积极思考。教师对学生的帮助要不多也不少，要在怎样使学生去主动探索、不断反思、不断创新上下功夫，让学生尝试成功与失败,让学生带着“问号”来，带着更多的“问号”走，让课堂得以延伸……
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”