问题 如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6 cm，BC=8 cm，P为BC的中点.动点Q从点P出发，沿射线PC方向以2 cm/s的速度运动，以P为圆心，PQ长为半径作圆. 设点Q运动的时间为t（s）.
（1） 当t=1.2时，判断直线AB与⊙P的位置关系，并说明理由；
（2） 已知⊙O为△ABC的外接圆，若⊙P与⊙O相切，求t的值.
命题意图 本题是2011年南京市的一道中考试题，它着重考查了同学们对勾股定理、相似三角形条件和性质、切线判定方法以及两个圆相切性质的掌握，同时还考查了分类讨论、转化与化归、方程等数学思想方法.
解题指导 （1） 当t=1.2时，⊙P的半径为2.4，要判断直线AB与⊙P的位置关系，就需要比较圆心P到直线AB的距离与2.4的大小，因此，解决本题的关键在于根据条件求出圆心P到直线AB的距离；（2） 两圆相切包括内切和外切两种情况，显然，⊙P与⊙O只能内切，则两圆的圆心距等于它们的半径之差.由于这两个圆的半径大小关系没有给出，因此，需要分情况加以讨论，进而建立方程解决问题.
解题过程 （1） 如图2，过点P作PD⊥AB，垂足为D.
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6 cm，BC=8 cm，AB=■=10 cm.
∵ P为BC的中点，∴ PB=4 cm.
∵ ∠PDB=∠ACB=90°，∠PBD=∠ABC，∴ △PBD∽△ABC，
■=■，即■=■，求得 PD=2.4 cm.
当t=1.2时，PQ=2.4 cm，即圆心P到直线AB的距离等于⊙P的半径，∴ 直线AB与⊙P相切.
（2） ∵ △ABC中∠ACB=90°，∴ AB为△ABC的外接圆的直径，
OB=■AB=5 cm.
连接OP.∵ P为BC的中点，∴ OP=■AC=3 cm. ∵ 点P在⊙O内部，∴ ⊙P与⊙O只能内切.
由⊙O、⊙P半径分别为5、2t，可得5-2t=3或2t-5=3，解得t=1或4. 所以，⊙P与⊙O相切时，t的值为1或4.
追根溯源 本题是一道与圆的位置关系有关的试题，它融直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系于一体，它类似于义务教育课程标准实验教科书苏科版《数学》九年级上册教材第136页第7题与第141页第2题.
第136页第7题：如图3，P是∠BAC的平分线上一点，PD⊥AC，垂足为D. AB与以P为圆心、PD为半径的圆相切吗？为什么？
第141页第2题：如图4，⊙O的半径为4，C是⊙O外一点，OC=7.
（1） 以C为圆心作⊙C与⊙O外切，求小圆⊙C的半径；
（2） 以C为圆心作⊙C与⊙O内切，求大圆⊙C的半径.
变式拓展 1. 两圆内切，其中一个圆的半径为5，两圆的圆心距为2，则另一个圆的半径为__________.
2. 已知关于ｘ的一元二次方程x2-2（R+r）x+d2=0没有实数根，其中R、r分别为⊙O1、⊙O2的半径，d为两圆的圆心距，则⊙O1与⊙O2的位置关系是（ ）
A. 外离 B. 相交 C. 外切 D. 内切
3. 如图5，梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，以AD为直径的半圆O与BC相切.
（1） 求证：OB⊥OC；
（2） 若AD=12，∠BCD=60°，⊙O1与半圆O外切，并与BC、CD相切，求⊙O1的面积.
参考答案
1. 3或7. 2. A.
3. （1） ∵ AB∥CD，∠BAD=90°，∴ ∠ABC+∠BCD=180°、∠ADC=90°，则AB、CD都与⊙O相切.又∵ ⊙O与BC相切，∴ OB平分∠ABC、OC平分∠BCD，∠OBC=■∠ABC，∠OCB
=■∠BCD，∴ ∠OBC+∠OCB =■∠ABC+■∠BCD=90°，∴ ∠BOC=90°，即OB⊥OC.
（2） 设⊙O1与CD相切于点E，连接O1E. 则O1E⊥CD. 设⊙O1的半径为r，由（1）知O1C
=2O1E=2r，且OO1=6+r，所以OC=6+r+2r. 又由AD=12，得OD=6、OC=12，∴ 6+r+2r=12，解得r=2，∴ ⊙O1的面积为4π.
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