笔者在研究“抛物线的焦点弦被焦点所分成的两段线段长度的比”这一问题的解法时，得出了抛物线焦点弦的一条优美性质，现整理出来，仅供参考． 1． 抛物线焦点弦的性质：
设AB是抛物线的焦点弦，F为其焦点，直线AB的倾斜角为θ，|FA||FB|=λ（λ＞0），
则(Ⅰ)当抛物线的方程为y?2=±2px(p＞0)时，λ满足?sin??2θ=4λ(1+λ)?2；
（Ⅱ） 当抛物线的方程为x?2=±2py（p＞0）时，λ满足?cos?θ=4λ（1+λ）?2.
证明：(Ⅰ) 当抛物线的方程为y?2=2px（p＞0）时，如图，设直线AB的参数方程为x=P2+t?cos?θ?
y=t?sin?θ(t为参数)，代入y?2=2px中得，t?2?sin?θ-2pt?cos?θ-p?2=0．∴ t?1+t?2=2p?cos?θ?sin??2θ，t?1•t?2=-p?2?sin??2θ．
∴ 由参数t的几何意义得，|AB|?2=|t?1-t?2|?2=(t?1+t?2)?2-4t?1t?2=4p?2?sin??4θ．
设|FA|=m，|FB|=n，则（m+n）?2=4p?2?sin??4θ①．又设A（x?1，y?1），B（x?2，y?2），∴ 由抛物y?2=2px(p＞0)线焦点弦的性质得，y?1y?2=-p?2．
不妨设A(x?1，y?1)在x轴的上方，B（x?2，y?2）在?x轴?的下方，∴ 必有y?1=m?sin?θ?
y?2=-n?sin?θ（0＜θ＜?π?），代入上式得mn=p?2?sin??2θ ②．
又m=λn,则由①,②得（λ+1）?2n?2=4p?2?sin??4θ?
λn?2=p?2?sin??2θ．以上两式相比可得?sin??2θ=4λ(1+λ)?2．
当抛物线的方程为y?2=-2px(p＞0)时，只需用“-p”去换上述证明过程的“p”，易得此时λ也满足?sin??2θ=4λ（1+λ）?2．
（Ⅱ） 当抛物线的方程为x?2=2py（p＞0）时，如图2，设直线AB的参数方程为x=t?cos?θ?
y=P2+t?sin?θ(t为参数)，代入x?2=2py中得，t?2?cos??2θ-2pt?sin?θ-p?2=0．∴ t?1+t?2=2p?sin?θ?cos??2θ，t?1•t?2=-p?2?cos??2θ．
∴ 由参数t的几何意义得，|AB|?2=|t?1-t?2|?2=（t?1+t?2）?2-4t?1t?2=4p?2?cos??4θ．
设|FA|=m，|FB|=n，则（m+1）?2=4p?2?cos??4θ ①．又设A(x?1，y?1)，B（x?2,y?2），∴ 由抛物线x?2=2py（p＞0）焦点弦的性质得，x?1x?2=-p?2．
不妨设A(x?1，y?1)在y轴的右侧，B(x?2,y?2)在y轴的左侧，∴ 必有x?1=m|?cos?θ|?
x?2=-n|?cos?θ|（0≤θ＜?π?且θ≠?π?2），代入上式得mn=p?2?cos??2θ②．
又m=λn,则由①,②得(λ+1)?2n?2=4p?2?cos??4θ?
λn?2=p?2?cos??2θ．以上两式相比可得?cos??2θ=4λ（1+λ）?2．
当抛物线的方程为x?2=-2py（p＞0）时，同样用“-p”去换上述证明过程的“p”，可得此时λ也满足?cos??2θ=4λ(1+λ)?2．
2? 性质的应用：
例1 （2008年高考全国卷Ⅱ•理15题）已知F为抛物线C∶y?2=4x的焦点，过F且斜率为1的直线交抛物线C于A、B两点．设|FA|＞|FB|，则|FA|与|FB|的比值等于 ．
解法1：抛物线y?2=4x的焦点为F(1，0)，准线方程为x=-1，∴ 可设直线AB的方程为y=x-1，将其代入y?2=4x得x?2-6x+1=0，∴ x??1,2?=3±22．∵ |FA|＞|FB|，∴ x??A?=3+22，x??B?=3-22．又?|FA|?=x??A?+1，|FB|=x?B+1，∴ |FA|FB=4+224-22=?3+2．?
解法2：设直线AB参数方程为x=1+t2?
y=t2(t为参数)，代入y?2=4x中可得t?2-42t-8=0，∴ t=?22?±4．结合参数t的几何意义得|FA||FB|=|t??A?|t??B?=22+422-4=3+2．
解法3：设|FA|与|FB|的比值为λ，则λ＞1．由本文中的公式?sin??2θ=4λ(1+λ)?2得，?sin??245?°?=4λ(1+λ)?2，解得λ=3+22．
点评：解法1是基本解法，先设出直线AB的点斜式方程，与抛物线方程联立，从而解出A、B两点的横坐标的值，然后再利用抛物线的定义，将线段|FA|与|FB|的比转化为求A、B两点的横坐标的关系比；解法2是参数解法，其核心是利用直线AB参数方程标准形式中参数t的几何意义去求解；而解法3是利用本文中所得到的公式?sin??2θ=4λ(1+λ)?2去求解，其解法显得更为简便、优美．
例2 （2008年高考江西卷•理15题）过抛物线x?2=2py（p＞0）的焦点F作倾斜角为30?°?的直线，与抛物线分别交于A、B两点（点A在y轴的左侧），则|FA||FB|= ．
解析：该题具有与例1类似的多种解法，这里仅给出应用本文中所得到的公式?cos??2θ=4λ(1+λ)?2的简捷解法：
设|FA||FB|=λ，则0＜λ＜１．由公式?cos??2θ=4λ(1+λ)?2得，?cos??230?°?=4λ(1+λ)?2，解得λ=13．