【摘 要】一元二次方程是九年级上册的内容，学生在学习时由于概念不清经常会发生一些典型的错误，本文例举了作者在实际教学中学生经常出现的和一元二次方程有关的一些错误，剖析了产生这些错误的原因以及正确的解法。
【关键词】一元二次方程；二次项系数；一般形式；根的判别式
一元二次方程是九年级数学上册部分的内容，它在整个初中教材中的地位是非常重要的。本章内容既是一元一次方程的延伸与拓展，又为后面学习二次函数打下了基础。有些学生在学习过程中对基本知识和概念没有理解掌握，从而在解题过程中经常会出现一些错误。现在就一元二次方程有关常见解题的典型错误作一分析。
一、对一元二次方程的概念不清而导致的错误
例1：下列方程是一元二次方程的是 （填序号）
（1）（1）x+=1
（2）(x+1)(2x-1)=2x2
（3）ax2+bx+c=0
（4）x3=x2(x+1)
错解：选（1）、（2）、（3）
分析：由于一元二次方程是只含有一个未知数并且未知数的最高次数是二次的整式方程。故（1）显然不对，因为（1）是分式方程，不具备整式方程的条件；（2）表面上是一元二次方程，但是合并同类项后二次项消去了，故实际上是一元一次方程；（3）没有强调a≠0且a、b、c是常数；（4）表面上是三次方程，但是化简后为一元二次方程。故正解为（4）。
二、忽视了二次项系数a≠0这个限制条件
例2：已知关于x的一元二次方程（m+2）x2+x+m2-4=0的一个根是0,求m的值。
错解：∵0是方程的一个根，即有（m＋2）×0＋0＋m2－4＝0， ∴m＝±2
分析：此解法是学生没有对一元二次方程的定义真正理解，事实上，当m＝-2时，方程就不是一元二次方程，而是一元一次方程，不符合题意，要舍去，故m=2.
例3：已知方程（a－3）x|a-1|＋2ax－1＝0是关于x的一元二次方程，求a的值.
错解：∵方程是一元二次方程，
∴|a-1|＝2,故a＝3或－1
分析：此解法只顾及了未知数是最高次数是2这一必要条件，而忽视了二次项系数不等于0这个限制条件。
正解:由题意知|a-1|＝2，且a－3≠0
∴a≠3 ∴a＝－1。
三、过于重视二次项系数a≠0这个限制条件
例4：若关于x1的方程kx2+2x+1=0有实数根，则k的取值范围是 。
错解：k?燮1且k≠0
分析：由于学生没有认真审题，错误地将原方程默认为一元二次方程，故在考虑根的判别式≥0时又考虑到二次项系数k≠0，导致出现考虑问题不全面的错误。正确的解题思路应分两种情况，即k=0和k≠0，当k=0时，方程为一元一次方程，有一个实数根；当k≠0时，方程为一元二次方程，此时需满足根的判别式4-4k?叟0，也就是k?燮1且k≠0；综上所述当k?燮1时，此方程有实数根。
四、解方程时约去了方程两边含未知数的代数式
例5：解方程5x（x-2）＝3(x-2)
错解：方程两边同时除以（x-2），
得5x＝3, ∴x＝0.6.
分析：方程两边同时除以（x-2），导致原方程在降次过程中失去了一个根，丢掉了x＝2这个根。正解：移项得5x（x-2）－3(x-2) ＝0，即（5x-3）（x－2）＝0，
∴x1＝0.6， x2＝2。
五、都是没有把方程化为一般形式惹的祸
例6：若关于x的方程(m2-2m)x2-2x+1=-x2是一元二次方程，则m的取值范围是 。
错解：由题意得：m2-2m≠0，得m≠2且m≠0
分析：由于一元二次方程是形如ax2+bx+c=0(a≠0,a、b、c为常数)，故没有将方程化为一般式是不能判断其是否为一元二次方程的，正确的解法应先移项，化为一般式(m2-2m+1)x2-2x+1=0，由题意得：m2-2m+1≠0，故m≠1。
例7：用公式法解方程3x2－4x＝2
错解：∵a＝3,b＝－4,c＝2,
∴b2－4ac＝(－4)2－4×3×2＝－8＜0,
∴原方程无解。
分析：运用公式法解一元二次方程时，没有把方程转化成ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的形式。正确解法应化为一般式3 x2－4x－2＝0，∴b2－4ac＝(－4)2－4×3×（－2）＝40＞0,
∴原方程解为：x1=，x2=
六、忽略了根的判别式
例8：若关于x的方程x2+2(m-1)x+4m2=0的两根互为倒数，求m的值。
错解：设两根为x1、x2，由题意得：x1x2=1，即==1，∴m=±
分析：由于求解过程中没有考虑根的判别式，故导致求出的有不符合要求的m没有舍去。正确的解法是在求得m的值后，再计算一下根的判别式，得：b2-4ac=-12m2-8m+4，当m=时，b2-4ac=-30，原方程有两个不相等的实数根，∴m=。
例9：已知x为实数，满足方程(x2+3x)2-5(x2+3x)-24=0，则x2+3x= 。
错解：因式分解得：(x2+3x+3)(x2+3x-8)=0，∴x2+3x+3=0或x2+3x-8=0于是x2+3x=-3或8。
分析：由于x为实数，所以在求得x2+3x+3=0或x2+3x-8=0后，没有进一步检验这两个方程有无实数根，导致结果出现错误。对于方程x2+3x+3=0，其b2-4ac=-30，故x2+3x=8。
七、解应用题时没有认真审题导致忘记舍根
例10：某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件。若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？
错解：设每件衬衫应降价x元。
(40-x)(20+2x)=1200
800+80x-20x-2x2-1200=0
x2-30x+200=0
(x-10)(x-20)=0
x1=10，x2=20
答：每件衬衫应降价10元或20元时，商场平均每天要赢利1200元。
分析：由于没有认真审题，题中要求尽快减少库存，而降价20元比降价10元每天的销量多，库存减少快，故本题应舍去x1=10，所以每件衬衫应降价20元时商场每天的盈利为1200元。
【参考文献】
[1]何乃忠主编《新课程有效教学疑难问题操作性解读》 教育科学出版社
[2]王安文 《一元二次方程中的典型错误分析》 成都教育学院学报 2003年第6期
（作者单位：江苏省靖江外国语学校）