提出一个问题往往比解决一个问题更重要。提出新的问题,新的可能性,从新的角度去看旧问题,都需要有创造性的想像力,而且标志着科学上真正的进步。”怎样逐步培养学生敢于并善于发现问题和提出问题呢?这就要教师能够深入分析,并把握住知识之间的内在联系,从学生实际出发,依据数学思维的规律,提出恰当的、富有启发性的问题,去启迪、激活学生积极思维;同时采用多种方法引导学生自己通过观察、试验、分析、归纳、类比、联想等数学思想方法,主动去发现问题、提出问题,增强学生提出问题的意识,让学生思维火花在提问题过程中闪现。以下是尝试让学生提出问题的一节课堂教学实录。
在学完解析几何内容后,我选了一道题目:
已知椭圆+的长轴两端点为A1、A2、M、N, 是关于A1A2对称的椭圆上的两点,直线A1M与A2N相交于P,试问P点的轨迹是什么曲线?并求出曲线方程。
题目一出示,同学们一个个拿着笔在画图、实验,取出不同位置的MN,描出P点的位置情况,画出大致图形。
学生1: 的轨迹是2条射线。
学生2:由对称性的 的轨迹是4条射线。
学生3: 的轨迹是2条抛物线。
学生4: 点的轨迹是双曲线。
通过大家共同讨论,比较同意第4个答案,然后教师利用多媒体展示 点轨迹产生的全过程,让学生感受直观图形,以帮助学生理解点的轨迹。
教师:如何说明该轨迹是双曲线?其方程是什么呢?
学生认真思考,出现三种解答方法,由三位同学各自利用幻灯片展示。
学生5(方法一):设点P(x,y)、M(x0,y0)、N(x0,-y0)由已知A1(-a,0)、A2(a,0),则直线A1M的方程为:=(1);直线A2N的方程为:=(2),由(1)、(2)解得x0=y0= 代入椭圆方程并整理得-=1,这就是所求点P的轨迹方程。
学生6(方法二):设点P(x,y)、M(x0,y0)、N(x0,-y0)由已知A1(-a,0)、A2(a,0),则直线A1M的方程为:=(1);直线A2N的方程为:=(2),由(1)、(2)两式相乘得=。∵M(x0,y0)是椭圆上的点,∴+=1,即+=0,= ∴=即-=1
学生7(方法三):设P(x,y)、M(acos?兹,bsin?兹)、N(a?鄄cos?兹-bsin?兹),则直线A1M的方程为:=(1);直线A2N的方程为:=(2),由(1)、(2)两式相乘得=即=
∴-=1
展示三种解法后,教师要求学生谈谈自己的看法或感受。
学生8:方法一比较常规,容易理解。
学生9:利用椭圆的参数方程可以适当减少运算量,我也是用这种方法。
学生10:三种方法中都存在相同的错误,即没有对M点的横坐标x0是否取a进行讨论。若x≠±a,则 P的轨迹应除去(±a,0)两点;若x0=±a,此时M、N、P三点重合,点P(±a,0)也满足双曲线方程。
教师:很好!这位同学能够看出三种解法中的共同错误,说明有敏锐的观察力、严密的解题思维,值得我们学习。还有同学谈谈自己的看法吗?
学生11:方法一虽然比较繁,但从解题过程中可以得出一个很好的结论“不论M、P如何变化均有x0x=a2(x0≠0)”
教师:不错,善于观察,反思解题过程,从图形中找出不变的性质,有创意。
在学生11的影响下,很快又有学生提出了不同的问题。
学生12:若A1(-a,0)、M(x0,y0)、P(x,y)三点共线,且 x0x=a2,则A2(a,0)、N(x0,-y0)、P(x,y)三点也共线。
教师:很好!该同学提出的问题涉及到解析几何中的一个重要内容--三点共线问题。如何证明呢?
学生很快从刚才的三种证法中找出思路。
学生13:要证明A2、N、P三点共线,即证=,而已知A1、M、P三点共线,即=,所以只需证明=化简得x0x=a2,问题得证。
教师:该同学采用分析法证明,使问题显得简单、易懂。
教师刚刚说好,又有学生马上站起来。
学生14:设直线A1M、A2N的斜率分别是K1、K2,求证两直线的斜率乘积是定值,即K1•K2=。
在学生14的启发下,又有两个人站起来说。
学生15:设直线A1M、A2M的斜率分别是K1、K2,则K1•K2=。
学生16:若A1(-a,0)、A2(a,0),M、N关于A1A2对称,证直线A1M、A2N的斜率分别是K1、K2,且K1•K2=,则点M的轨迹是椭圆(除A1、A2外)。
这3个问题有共同之处,学生容易解答。
学生17:若短轴的两个端点分别为B1、B2,M、N 关于直线B1B2对称,则直线了了B1M与直线B2N的交点Q的轨迹是什么曲线?其方程是什么?
学生经过观察、实验、猜想、类比、验证,得出结论是双曲线,其方程是-=1,与原题的双曲线有共同的渐近线。
学生18:能否将双曲线-=1变成椭圆+=1呢?
这个问题激起同学们的兴趣,个个埋头思考,不一会儿有人回答。
学生19:设双曲线的顶点分别是A1、A2、M、N, 是双曲线上的两点,M、N关于A1A2对称,则直线A1M与A2N的交点P的轨迹就是椭圆(除短轴两端点外),其解法与原题类似。
教师:我们从各个角度、各种手段探讨了原问题,大家都提出了自己对问题及其解答上的看法,以及对问题的交换、引申,颇具创意,而其中第18位同学提出的问题,与原问题组成了对偶问题。这说明椭圆与双曲线可以互相变换,构成一个和谐的统一体,这就是数学中的和谐美。
学生20:能否将这椭圆与双曲线相互变换关系移植到其他曲线呢?比如椭圆与圆。
学生21:能。课本上第95页的例子,就是把圆变成为椭圆。反之,可把椭圆变成圆。若是一般情形,圆x2+y2=a2上各点横坐标不变,纵坐标变为原来的,即得椭圆方程+=1,反之,可将椭圆变成圆。
教师:该同学对课本例题理解比较透彻,记忆比较深刻,还能将结论一般化,值得提倡,还有其他情形吗?
学生22:我做了这样的题目,但答案不肯定。已知椭圆+=1,F1、F2是两焦点,P是椭圆上一点,过 F2作∠F1PF2的外角平分线的垂线,垂点为Q,求点Q 的轨迹方程。
学生思考、观察、实验、类比、猜想、得出Q的轨迹可能是圆。
学生23:我通过观察、实验、猜想Q点的轨迹是圆。以下是求解过程:
延长F2Q交F1P的延长线于M,连结OQ。由题意知,△F2QP≌△MQP,则|F2Q|=|QM|、|PM|=|PF2|,又|OF1|=|OF2|,则|OQ|=|F1M|=(|PF1|+|PF2|)=a,所以Q点的轨迹是以O为同心a为半径的圆,其方程为x2+y2=a2
学生23一说完,即刻有学生发言。
学生24:能否将圆变换成椭圆呢?
学生25:能,设圆方程为x2+y2=a2,在x轴上取两点F1(-,0),F2(,0),Q是圆上任意一点,连结OQ过F1作OQ的平行线交F2Q的延长线为M,过Q作F2M的垂线交F2M于P,连结PF2,则OQ是△ F1F2M的中位线,|F1M|=2|OQ|=2a•|MQ|=|QF|,∴|PF2|=|PM|,则|PF1|+|PF2|=|PF1|+|PM|=2a,P点轨迹方程是+=1。
教师:第22位同学的困惑引起了大家的思考,第23位同学论证了由椭圆变换成圆的过程,充分利用了平面几何的性质,这是求解解析几何问题的一种重要的方法。同学25利用同学23的思路构建了圆变成椭圆的过程,两位同学合作完成了椭圆与圆的互相变换。椭圆与圆可看作一个变化过程中的两个方面,二者形成和谐的统一体。这节课我们为解决一个轨迹问题,中间经历提出问题,解答问题,交流合作,共享解题过程,共同体验了反思问题、提出问题、解决问题时的困惑、激动、喜悦,很多同学都充分展表示了自己的聪明才智,很有创新意识。在平时解题过程中,我们也应该采取这样的探究式学习,要学会观察、试验、类比、猜想、归纳、推广,找出问题背后的规律性的东西,并将它一般化。教师语气一停顿,就有学生发言。
学生26:老师,能否将圆x2+y2=a2与双曲线-=1进行相互变换?如何构建?
教师:这个问题作为我们课后的思考题。下课铃响了,同学们进入新的思考中。
参考文献:
1.孔企平,张维忠.数学新课程与数学学习.高等教育出版社.2003.11
2.张奠宙,李士?.数学教育学导论.高等教育出版社.2003.8