篇一：2016年北京市高考数学试卷 理科 解析
2016年北京市高考数学试卷（理科）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．（5分）（2016?北京）已知集合A={x||x|＜2}，B={﹣1，0，1，2，3}，则A∩B=（ ）
A．{0，1} B．{0，1，2} C．{﹣1，0，1} D．{﹣1，0，1，2}
2．（5分）（2016?北京）若x，y满足，则2x+y的最大值为（ ）
A．0 B．3 C．4 D．5
3．（5分）（2016?北京）执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值为（
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（5分）（2016?北京）设，是向量，则“||=||”是“|+|=|﹣|”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（5分）（2016?北京）已知x，y∈R，且x＞y＞0，则（ ）
A．﹣＞0 B．sinx﹣siny＞0 C．（）x﹣（）y＜0 D．lnx+lny＞0
6．（5分）（2016?北京）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）
）
A． B． C． D．1
）图象上的点P（，t）向左平移s（s＞0）7．（5分）（2016?北京）将函数y=sin（2x﹣
个单位长度得到点P′，若P′位于函数y=sin2x的图象上，则（ ）
A．t=，s的最小值为
C．t=，s的最小值为 B．t= D．t=，s的最小值为，s的最小值为
8．（5分）（2016?北京）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（ ）
A．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球
B．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多
C．乙盒中红球不多于丙盒中红球
D．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．
9．（5分）（2016?北京）设a∈R，若复数（1+i）（a+i）在复平面内对应的点位于实轴上，则a=
6210．（5分）（2016?北京）在（1﹣2x）的展开式中，x的系数为．（用数字作
答）
11．（5分）（2016?北京）在极坐标系中，直线ρcosθ﹣ρsinθ﹣1=0与圆ρ=2cosθ交于A，B两点，则|AB|=．
12．（5分）（2016?北京）已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和．若a1=6，a3+a5=0，则S6=．
13．（5分）（2016?北京）双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点．若正方形OABC的边长为2，则
a=
14．（5分）（2016?北京）设函数f（x）=
．
①若a=0，则f（x）的最大值为
②若f（x）无最大值，则实数a的取值范围是
三、解答题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
22215．（13分）（2016?北京）在△ABC中，a+c=b+ac．
（Ⅰ）求∠B的大小； （Ⅱ）求cosA+cosC的最(原文来自：wWW.DxF5.com 东 星资源网:2016年北京数学高考题答案文)大值．
16．（13分）（2016?北京）A，B，C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，
（Ⅱ）从A班和C班抽出的学生中，各随机选取一个人，A班选出的人记为甲，C班选出的人记为乙．假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；
（Ⅲ）再从A，B，C三班中各随机抽取一名学生，他们该周锻炼时间分别是7，9，8.25（单位：小时），这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为μ1，表格中数据的平均数记为μ0，试判断μ0和μ1的大小．（结论不要求证明）
17．（14分）（2016?北京）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，AB⊥AD，AB=1，AD=2，AC=CD=．
（Ⅰ）求证：PD⊥平面PAB；
（Ⅱ）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；
（Ⅲ）在棱PA上是否存在点M，使得BM∥平面PCD？若存在，求
说明理由． 的值，若不存在，
a﹣x18．（13分）（2016?北京）设函数f（x）=xe+bx，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的
切线方程为y=（e﹣1）x+4，
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间．
19．（14分）（2016?北京）已知椭圆C：+=1（a＞0，b＞0）的离心率为，A（a，0），B（0，b），O（0，0），△OAB的面积为1．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N．求证：|AN|?|BM|为定值．
20．（13分）（2016?北京）设数列A：a1，a2，…，aN （N≥2）．如果对小于n（2≤n≤N）的每个正整数k都有ak＜an，则称n是数列A的一个“G时刻”，记G（A）是数列A的所有“G时刻”组成的集合．
（Ⅰ）对数列A：﹣2，2，﹣1，1，3，写出G（A）的所有元素；
（Ⅱ）证明：若数列A中存在an使得an＞a1，则G（A）≠?；
（Ⅲ）证明：若数列A满足an﹣an﹣1≤1（n=2，3，…，N），则G（A）的元素个数不小于aN﹣a1．
2016年北京市高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．（5分）（2016?北京）已知集合A={x||x|＜2}，B={﹣1，0，1，2，3}，则A∩B=（ ）
A．{0，1} B．{0，1，2} C．{﹣1，0，1} D．{﹣1，0，1，2}
【考点】交集及其运算．
【专题】计算题；转化思想；综合法；集合．
【分析】先求出集合A和B，由此利用交集的定义能求出A∩B．
【解答】解：∵集合A={x||x|＜2}={x|﹣2＜x＜2}，
B={﹣1，0，1，2，3}，
∴A∩B={﹣1，0，1}．
故选：C．
【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．
2．（5分）（2016?北京）若x，y满足，则2x+y的最大值为（ ）
A．0 B．3 C．4 D．5
【考点】简单线性规划．
【专题】计算题；规律型；数形结合；函数思想；转化思想．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，目标函数的几何意义是直线的纵截距，利用数形结合即可求z的取值范围．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．
设z=2x+y得y=﹣2x+z，
平移直线y=﹣2x+z，
由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最大，
此时z最大． 由，解得，即A（1，2），
代入目标函数z=2x+y得z=1×2+2=4．
即目标函数z=2x+y的最大值为4．
故选：C．
篇二：2016年北京高考数学(理科)答案与解析
2016年北京高考数学（理科）答案与解析
1. C
【解析】集合A?{x|?2?x?2}，集合B?{x|?1,0,1,2,3}，所以A?B?{?1,0,1}.
2. C
【解析】可行域如图阴影部分，目标函数平移到虚线处取得最大值，对应的点为?1,2?，最
大值为2?1?2?4.
x+y=3
2x-y=0(1,2)
2x+y=0
x=0
3. B
1
【解析】开始a?1，k?0；第一次循环a??，k?1；第二次循环a??2，k?2，第三
2
次循环a?1，条件判断为“是”跳出，此时k?2.
4. D
??????
【解析】若a=b成立，则以a，b为边组成平行四边形，那么该平行四边形为菱形，a+b，
??????
a?b表示的是该菱形的对角线，而菱形的对角线不一定相等，所以a+b=a?b不??????
一定成立，从而不是充分条件；反之，a+b=a?b成立，则以a，b为边组成平行??
四边形，则该平行四边形为矩形，矩形的邻边不一定相等，所以a=b不一定成立，
从而不是必要条件.
5. C
【解析】 A.考查的是反比例函数y?
11111
在?0,???单调递减，所以?即??0所以A
xyxyx
错； B.考查的是三角函数y?sinx在?0,???单调性，不是单调的，所以不一
x
?1?
定有sinx?siny，B错；C.考查的是指数函数y???在?0,???单调递减，所
?2??1??1??1??1?
以有?????即??????0所以C对；D考查的是对数函数y?lnx的性
?2??2??2??2?
质，lnx?lny?lnxy，当x?y?0时，xy?0不一定有lnxy?0，所以D错.
x
y
x
y
6．A
【解析】通过三视图可还原几何体为如图所示三棱锥，则通过侧视图得高h?1，底面积
1111S??1?1?，所以体积V?Sh?.
2236
7．A
π?ππ??π????π?1
【解析】点P?,t?在函数y?sin?2x??上，所以t?sin?2????sin???，然后
3?43??4????6?2
π?π???
y?sin?2x??向左平移s个单位，即y?sin?2(x?s)???sin2x，所以
3?3???
ππs?+kπ,k?Z，所以s的最小值为.
66
8．B
【解析】取两个球往盒子中放有4种情况：
①红+红，则乙盒中红球数加1个； ②黑+黑，则丙盒中黑球数加1个； ③红+黑（红球放入甲盒中），则乙盒中黑球数加1个； ④黑+红（黑球放入甲盒中），则丙盒中红球数加1个．
因为红球和黑球个数一样，所以①和②的情况一样多，③和④的情况完全随机． ③和④对B选项中的乙盒中的红球与丙盒中的黑球数没有任何影响．
①和②出现的次数是一样的，所以对B选项中的乙盒中的红球与丙盒中的黑球数的影响次数一样． 综上，选B．
9.?1
【解析】?1?i??a?i??a?1??a?1?i
∵其对应点在实轴上 ∴a?1?0，a??1
10.60
2
【解析】由二项式定理得含x2的项为C6??2x??60x2
2
11.2
【解析】将极坐标转化为直角坐标进行运算x??cos?，y??sin?
直线的直角坐标方程为x??1?0
222
∵??2cos?，?sin??cos??2?cos?∴x2?y2?2x
??
圆的直角坐标方程为?x?1??y2?1
圆心?1,0?在直线上，因此AB为圆的直径，AB?212.6
【解析】∵a3?a5?2a4∴a4?0
∵a1?6，a4?a1?3d∴d??2 ∴S6?6a1?
6??6?1?2
d?6
2
13. 2
【解析】不妨令B为双曲线的右焦点，A在第一象限，则双曲线图象如图
π
∵OABC为正方形，OA
?2∴c?OB?，?AOB?
4
bb
∵直线OA是渐近线，方程为y?x，∴?tan?AOB?1
aa
又∵a2?b2?c2?8∴a?2
y
A
O
C
14．2，a??1．
【解析】由?x3?3x???3x2?3?0，得x??1，如下图，是f?x?的两个函数在没有限制条件
时的图象．
⑴ f?x?max?f??1??2；
⑵ 当a≥?1时，f?x?有最大值f??1??2；
当a??1时，?2x在x?a时无最大值，且?2a??x3?3x?所以，a??1．
max
．
15．
【解析】
⑴ ∵a2?
c2?b2
∴a2?c2?b2?
a2?c2?b2∴cosB???
2acπ
∴?B?
4
⑵∵A?B?C?π
3
∴A?C
?π
4
A?
cos
C
A)?
A π?A?A?sin(A?)
43
∵A?C?π
43
∴A?(0,π)
4ππ∴A??(,π)
44
π
∴sin(A?)最大值为1
4
上式最大值为1
?A?
(16． 【解析】⑴
8
?100?40，C班学生40人 20
1
⑵在A班中取到每个人的概率相同均为
5
设A班中取到第i个人事件为Ai,i?1,2,3,4,5
C班中取到第j个人事件为Cj,j?1,2,3,4,5,6,7,8 A班中取到Ai?Cj的概率为Pi
所求事件为D
11111
则P(D)?P?P?P?P?P5 1234
55555
1213131314?????????? 58585858583? 8⑶?1??0
三组平均数分别为7,9,8.25,总均值?0?8.2
但?1中多加的三个数据7,9,8.25,平均值为8.08，比?0小， 故拉低了平均值
17．
【解析】⑴∵面PAD?面ABCD?AD
面PAD?面ABCD
∵AB?AD，AB?面ABCD ∴AB?面PAD ∵PD?面PAD ∴AB?PD 又PD?PA ∴PD?面PAB
⑵取AD中点为O，连结CO，PO
∵CD?AC? ∴CO?AD ∵PA?PD
D∴PO?AD
以O为原点，如图建系 易知P(0，0，1)，B(11，，0)，D(0，?1，0)，C(2，0，0)，
C????????????
，，?1)，PD?(0，?1，?1)，PC?(2，0，?1)，则PB?(11
????CD?(?2，?1，0)
??
设n为面PDC的法向量，令n?(x0，y0,1) ??????n?PD?0??1??
?n??，?1,1?，则PB与面PCD夹角?有
??????
?2???n?PC?0
?sin??cos?n,zP
A
O
B
⑶假设存在M点使得BM∥面PCD
AM设??，M?0,y',z'?
AP
篇三：2016年高考北京卷理数试题及答案
绝密★启封并使用完毕前
2016年普通高等学校招生全国统一考试
数 学（理）（北京卷）
本试卷共5页，150分，考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出
符合题目要求的一项。
（1）已知集合A={x|x|<2}，B={-1,0,1,2,3}，则A∩B=
（A）{0，1} （B）{0,1,2}
（C）{-1,0,1} （D）{-1,0,1,2}
?2x?y?0,?（2）若x,y满足?x?y?3,则2x+y的最大值为
?x?0,?
（A）0 （B）3 （C）4 （D）5
（3）执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值
为
（A）1（B）2 （C）3 （D）4
（4）a,b是向量，则“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件
（5）已知x,y?R,且x>y>0,则
11??0XY
1x1y（C）()?()?0 22（A） （B）sinx-siny>0 （D）lnx?lny?0
（6）某三棱锥的三视图如图所示，则改三棱锥的体积为
（A）111
（B） （C）t? （D）1 632（7）将函数y?sin(2x??)图像上的点p(,t)向左平移s(s?0)个单位长度得到点p'，若34?
p'位于y?sin2x的图像上，则
（A）t?
（C）t=1??，s的最小值为 （B
）t?，s的最小值为 26621?，s的最小值为23（D）
t=t??，s的最小值为 3
（8）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半。甲、乙、丙是三个空盒。每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个放入乙盒，否则就放入丙盒。重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则
（A） 乙盒中黑球不多于丙盒中黑球
（B） 乙盒中红球与丙盒中黑球一样多
（C） 乙盒中红球不多于丙盒中红球
（D） 乙盒中黑球与丙盒中红球一样多
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题共6小题，没小题5分，共30分。
（9）设??R ，若复数（1+i）（?+i）在复平面内对应的点位于实轴上，则?=____________
（1?2x）的展开式中，x的系数为（用数字作答） （10）在
（11）在极坐标系中，直
线?cos?sin??1?0??2cos?交于A,B两点，则.
（12）已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和. 若a1=6，a3?a5?0，则S622
x2y2
（13）双曲线2?2?1(a?0,b?0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点ab
B为该双曲线的焦点。若正方形OABC的边长为2，则x?3xx??(14)设函数f（x） ={?2x，x>?3
①若a=0，则f（x）的最大值为;
②若f（x）无最大值，则实数a的取值范围是 .
三、解答题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（15）（本小题13分）
在△ABC中，a2+c2=b2
（Ⅰ）求∠B的大小；
的最大值.
（16）（本小题13分）
A，B，C三个半公有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表（单位：小时）；
（Ⅰ）试估计C班的学生人数；
（Ⅱ）从A班和C班抽出的学生中个随机选取一个人，A班选出的人记为甲，C班选出的人记为乙。假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率； （Ⅲ）再从A,B,C三班中个随机抽取一名学生，他们该周锻炼时间分别是7，9，8，25（单位：小时），这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数几位?1，表格中数据的平均数记为?0，试判断?0和?1的大小。（结论不要求证明）
17.（本小题14分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，AB⊥AD，AB=1，AD=2，AC=CD=.
（Ⅰ）求证：PD⊥平面PAD;
（Ⅱ）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；
（Ⅲ）在棱PA上是否存在点M，使得BM//平面PCD，若存在，求
理由。 的值，若不存在，说明
（18）（本小题13分）
设函数f（x）=+bx，曲线y= f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=（e-1）x+4，
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间。
（19）（本小题14分）
x2y2AB已知椭圆C:2?2?1(a?b?
0)的离心率为，A（a,0）,B（0,b）,O（0，0），?Oab2
的面积为1.
（Ⅰ）椭圆C的方程；
（Ⅱ）设P是椭圆C上的一点，直线PA与y轴交与点M，直线PB与x轴交与点N。 求证：|AN|·|NM|为定值。
（20）（本小题13分）
设数列A：,,..., (N≥2).如果对小于n(2≤n≤N)的每个正整数k都有＜,则称n是数列A的一个“G时刻”，记G（A）是数列A的所有“G时刻”组成的集合。
（I） 对数列A：-2,2，-1,1,3，写出G（A）的所有元素；
（II） 证明：若数列A中存在使得>,则G（A）≠?
（Ⅲ）若数列A满足-≤1（n=2，3，...，N），则G（A）的元素个数不小于
-
1. C
【解析】集合A?{x|?2?x?2}，集合B?{x|?1,0,1,2,3}，所以A?B?{?1,0,1}.
2. C
【解析】可行域如图阴影部分，目标函数平移到虚线处取得最大值，对应的点为?1,2?，最大
值为2?1?2?4.
x+y=32x-y=0
(1,2)
2x+y=0
x=0
3. B
1【解析】开始a?1，k?0；第一次循环a??，k?1；第二次循环a??2，k?2，第三次2
循环a?1，条件判断为“是”跳出，此时k?2.
4. D ??????【解析】若a=b成立，则以a，b为边组成平行四边形，那么该平行四边形为菱形，a+b，
??????a?b表示的是该菱形的对角线，而菱形的对角线不一定相等，所以a+b=a?b不一??????定成立，从而不是充分条件；反之，a+b=a?b成立，则以a，b为边组成平行四边??形，则该平行四边形为矩形，矩形的邻边不一定相等，所以a=b不一定成立，从而
不是必要条件.
5. C
【解析】 A.考查的是反比例函数y?11111在?0,???单调递减，所以?即??0所以Axyxyx
x错； B.考查的是三角函数y?sinx在?0,???单调性，不是单调的，所以不一定?1?有sinx?siny，B错；C.考查的是指数函数y???在?0,???单调递减，所以有?2?