化归思想是数学的灵魂,它是数学中解决问题的一种非常重要的思想方法。简单的化归思想就是把不熟悉的问题转化成熟悉的问题的一种数学思想,即把数学中待解决或未解决的问题,通过观察、分析、联想、类比等思维过程,并选择恰当的变换、转化,归结到某个或某些已经解决或比较容易解决的问题上,最终解决原始问题。由此可见,运用化归的方法可以使要解决的问题简算化、熟悉化、具体化。这种思想现在已经渗透到数学学习的各个分支中,特别是在数学分析中。
化归思想在数学中有着广泛的应用。下面我们就从几个方面来讨论化归思想在数学分析中的应用。
一、极限中的化归思想
1.数列问题化归为级数问题
数列的敛散性和级数的敛散性实质上是等价的。事实上,设x?1=a?1,…,x?n=a?1+a?2+…+a?n(n≥1),则数列收敛{x?n}级数?收敛???∞n=1a?n,当二者都收敛时有limx→∞x?n=???∞n=1a?n。因此,判定数列{x?n}的敛散性与求limx→∞x?n存在与否,可归结为判定???∞n=1a?n的敛散性与求S=???∞n=1a?n.
例1证明limx→∞(n+1)!(2n)!!=0.
证明 设a?n(n+1)!(2n)!!,则有limn→∞a??n+1?a?n=limn→∞n+22n+2=12 有些不定积分无法直接用换元积分求解,但却可以利用分部积分法求解。分部积分法的化归思想是:求积分时,当我们不宜或无法直接求出其原函数时,可以采用此方法将其一步步转化为易求出其原函数的“不定积分形式”。那么让我们看一个用分部积分法求不定积分的例子。以此来说明分部积分法也同样体现着化归思想应用的广泛性和重要性。
例8 求∫x?3e?xdx.
解 将x?3看成u(x),将e?x看成,则u′(x)=3x?2而v(x)=e?x,那么把它们代入分部积分公式,有∫x?3e?xdx=∫x?3d(e?x)=x?3e?x-∫e?xd(x?3)=x?3e?x-3∫x?2e?xdx,
然后对后一项再用一次分部积分,有
∫x?2e?xdx=∫x?2d(e?x)=x?2e?x-2∫xe?xdx=x?2e?x-2(fxd(e?x))=x?2e?x-2(xe?x-e?x)+C.
于是可得∫x?3e?xdx=e?x(x?3-3x?2+6x-6)+C.(C为任意常数)
从以上例子可看出,由于计算时运用了化归方法,这道题解起来就显得既方便又简捷了。
四、 定积分学中的化归思想
1. 二重积分与累次积分之间的化归
二重积分计算的基本方法是化二重积分为累次积分。这种计算方法就体现了化归方法的应用,即将不熟悉的二重积分化归为我们熟悉的定积分。这几乎是计算二重积分唯一可行的方法。这方面的例子是非常多的,在这里举一个化累次积分为二重积分的例子。
例9 求∫?1?0dx∫?1??x?e?????-y??2?dy.
解 由于内层积分我们无法算出,所以要进行转化,因此,有
∫?1?0dx∫?1?x????y?2?dy=?∫∫?0≤x≤1,x≤y≤1e??-y?2?dy=12e(e-1).
2. 曲线积分化归为定积分
曲线积分的计算同样体现着化归思想。第一型曲线积分或第二型曲线积分,都可归结为定积分来计算。在这里我们主要讨论第二型曲线积分与二重积分及定积分间的转化。
例10 求?∫?Cxy?2dy-x?2ydx,其中C是圆周x?2+y?2=a?2.
解 由格林公式,可知P(x,y)=-x?2y,Q(x,y)=xy?2,则有?P?y=-x?2,?Q?x=y?2,
从而有?∫?Cxy?2dy-C?2ydx=?∫∫?C(y?2+x?2)dxdy,其中G是圆域x?2+y?y≤a?2.
设x=rcosφ,y=rsinφ,那么
?∫?Cxy?2dy-x?2ydx=?∫∫?C(y?2+x?2)dxdy=∫??2π??0dφ∫?a?0r?3dr=π2(a?4-1).
3. 曲面积分化归为重积分
曲面积分的计算也体现着化归思想。第一型曲面积分或第二型曲面积分,都必须化为重积分来计算,然后将重积分化为累次积分来计算。
例11 计算?∫∫??x?3dydz+y?3dzdx+z?3dxdy,其中?是球面x?2+y?2+z?2=a?2(a>0)的外侧。
分析 若按求曲面积分的一般方法,则需把积分区域投影到三个坐标面上,这样计算会十分繁杂。所以可考虑用映射变换法,即取高斯公式和球面坐标变换作两次映射而进行化归处理。
解 利用高斯公式和球面坐标变换,可得
?∫∫??x?3dydz+y?3dzdx+z?3dxdy=3
?∫∫∫?x?2+y?2+z?2≤a?2(x?2+y?2+z?2)dxdydz
=3∫??2π??0dθ∫??π??0dφ∫??a??0r?4sinφdr=125π(a?5-1).
另外,在积分学中还有三重积分与累次积分之间的化归,曲线积分与曲面积分之间的化归,曲面积分与三重积分之间的化归,因此在积分学中化归思想也得到充分体现。?