结论1 设椭圆方程x?2a?2+y?2b?2=1（a＞b＞0），F?1，F?2是椭圆的两个焦点，点P在椭圆上且∠F?1PF?2=θ，求证S??△F?1PF?2?=b?2?tan?θ2（0＜θ＜?π?）
证明：由余弦定理：(2c)?2=|PF?1|?2+|PF?2|?2-2|PF?1|•|PF?2|?cos?θ，
4c?2=（|PF?1|+|PF?2|）?2-?2|PF?1|?•|PF?2|-2|PF?1|•|PF?2|?cos?θ，|PF?1|•?|PF?2|?=2b?21+?cos?θ.所以S??△F?1PF?1?=12|PF?1|•|PF?2|?sin?θ=12•2b?21+?cos?θ•?sin?θ=b?2?tan?θ2.（当θ=0时，公式仍然实用）
运用举例
例1 （2000年全国.14）已知：椭圆x?29+y?24=1上的两个焦点F?1，F?2，P，点为是椭圆的动点，当∠F?1PF?2为钝角时，则P点的横坐标的取值范围是 .
分析：当∠F?1PF?2为钝角时，求P点的横坐标的取值范围，如果我们能找到∠F?1PF?2为直角时，P点的横坐标，那么就可以由图形确定∠F?1PF?2为钝角时，P点的横坐标的取值范围.
解：由椭圆方程，得a?2=9，b?2=4，c=5，若∠F?1PF?2=90°，由S??△F?1PF?2?=b?2?tan?θ2得b?2?tan?θ2=12•2c•|y|，易得|y|=455代入椭圆方程得x?29+455?24=1，x=±355，所以P点的横坐标的取值范围是-355，355
例2 （2003年北京春.15）已知F?1，F?2分别是椭圆x?2a?2+y?2b?2=1（a＞b＞0）的左、右焦点，点P在椭圆上，△POF?2是面积为3的正三角形，则b?2的值是? ?.
分析：当连接PF?1时发现，△F?1PF?2为直角三角形，∠F?1PF?2=90?°?，△F?1PF?2的面积为23，运用S??△F?1PF?1?=b?2?tan?θ2，立刻可以求解.
解：连接PF?1，易知∠F?1PF?2=90?°?，S??△F?1PF?2?=?23，?由S??△F?1PF?2?=b?2?tan?θ2知b?2=23
例3 （2004年湖南文.15）.已知：P点为椭圆x?28+y?24=1上的点，F?1，F?2是椭圆的两个焦点，满足?PF?1?•?PF?2?=0的P点的个数为 .
分析：因为∠F?1PF?2=90?°?，所以运用S??△F?1PF?2?=b?2?tan?θ2解本题比较方便.
解：由?PF?1?•?PF?2?=0得∠F?1PF?2=90?°?.由S??△F?1PF?2?=b?2?tan?θ2得b?2?tan?θ2=12•2c•|y|
∵ a?2=8，b?2=4，c?2=a?2-b?2，∴ c=2，∴ |y|=2，y=±2.易知P点个数为2.
例4 (2009上海9) 已知F?1，F?2分别是椭圆x?2a?2+y?2b?2=1（a＞b＞0）的左、右焦点，点P在椭圆上一点，且?PF?1?⊥?PF?2?,若△F?1PF?2的面积为9，则b=? ?.
解：∵ ?PF?1?⊥?PF?2?，∴ ∠F?1PF?2=90?°?.由S??△F?1PF?2?=b?2?tan?θ2知b=3
例5 （2009江西理6）过椭圆x?2a?2+t?2b?2=1（a＞b＞0）的左焦点F?1作x轴的垂线交椭圆于点P，F?2为右焦点，若∠F?1PF?2=60?°?，则椭圆的离心率是 .
解：由题意知：在直角三角形F?1PF?2中，两直角边F?1P=b?2a，F?1F?2=2c，∠F?1PF?2=60?°?，由S??△F?1PF?2?=b?2?tan?θ2知b?2?tan?30?°?=12•2c•b?2a，e=33.
结论2.设双曲线方程x?2a?2-y?2b?2=1（a＞0，b＞0），F?1，F?2是双曲线的两个焦点，点P在双曲线上且∠F?1PF?2=θ，求证S??△F?1PF?2?=b?2?cot?θ2（0＜θ＜?π?）
证明：由余弦定理：（2c）?2=|PF?1|?2+|PF?2|?2-?2|PF?1|•?|PF?2|?cos?θ，
4c?2=(|PF?1|-|PF?2|)?2+2|PF?1|•|PF?2|-?2|PF?1|?•|PF?2|?cos?θ，
|PF?1|•|PF?2|=2b?21-?cos?θ.
所以S??△F?1PF?2?=12|PF?1|•|PF?2|?sin?θ=12•2b?21-?cos?θ•?sin?θ=b?2?cot?θ2.（当θ=?π?时，公式仍然实用）
运用举例
例6 （2001全国、广东、河南，14）双曲线x?29-y?216=1的左右焦点分别为F?1，F?2，点P在双曲线上一点，若?PF?1?⊥?PF?2?，则P到x轴的距离为 .
分析：因为?PF?1?⊥?PF?2?，所以△F?1PF?2为直角三角形，求P到x轴的距离，自然想到等面积方法.
解：由双曲线方程，得a=3，b=4，c=5,∵ ?PF?1?⊥?PF?2? ∴ ∠F?1PF?2=90?°?，S??△F?1PF?2?=b?2?cot?θ2=12•?2c•|y|? ∴ 16=12•2c•|y|=5|y|，|y|=165，所以P到x轴的距离为165
例7 (2007全国Ⅱ，11)设F?1，F?2分别是双曲线x?2a?2-y?2b?2=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线上存在点A，使∠F?1AF?2=90?°?，且|AF?1|=3|AF?2|，则双曲线的离心率为 .
解：由|AF?1|=3|AF?2|，知|AF?2|=a，|AF?1|=3a.又F?1AF?2=90?°?，故S??△F?1PF?2?=b?2?cot?∠F?1PF?22=?12PF?1?•PF?2. b?2=12•a•3a，b?2a?2=32，e=1+b?2a?2=102.
例8 （2008陕西理9）已知双曲线x?2a?2-y?2b?2=1?（a＞0，?b＞0）的左右焦点分别为F?1,F?2，过F?1作倾斜角为30?°?的直线交双曲线右支于M点，若MF?2垂直于轴，则双曲线的离心率为 .
解：易知θ=60?°?，|MF?2|=b?2a，所以b?2?cot?θ2=b?2?cot?30?°?=12•2c•b?2a，e=3.
例9 (2008福建理，11) 已知双曲线x?2a?2-y?2b?2=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F?1，F?2，若P为其上一点，且|PF?1|=2|PF?2|,则双曲线的离心率的取值范围 .
分析：本题虽然不知∠F?1PF?2是多少，但由?|PF?1|=??2|PF?2|和?双曲线定义可求出|PF?2|、|PF?1|的值，再运三角形面积公式S??△?=12|PF?1||PF?2|??sin?∠F?1P?F?2和S??△F?1PF?2?=b?2?cot?θ2，问题得到解决.
解：设∠F?1PF?2=θ（0＜θ≤?π?），由|PF?1|=2|PF?2|得，|PF?2|=2a，|PF?1|=4a
所以b?2?cot?θ2=12•2a•4a•?sin?θ，e?2-1=8?sin?θ2，因为0＜θ≤?π?，所以0＜θ2≤?π?2
所以e?2-1≤8，1＜e≤3.
例10 （2009重庆理，15）已知双曲线x?2a?2-y?2b?2=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F?1(-c，0)，F?2(-c，0)，若双曲线上存在点P使?sin?∠PF?1F?2?sin?∠PF?2F?1=ac，则该双曲线的离心率的取值范围是 .
分析：由例9解法得到启发，本题运用等积法可以解决.
解：∵ ?sin?∠PF?1F?2?sin?∠PF?2F?1=|PF?2|PF?2(有正弦定理). ∴ |PF?2|PF?1=ac=1e.∴ |PF?1|=e|PF?2|.
又∵ |PF?1|-|PF?2|=2a，∴ |PF?2|=2ae-1（e＞1），|PF?1|=2eae-1.设∠F?1PF?2=θ（0＜θ＜?π?）.
则b?2?cot?θ2=12|PF?1||PF?2|?sin?θ. b?2?cos?θ2?sin?θ2=122eae-1•2ae-1•2?sin?θ2?cos?θ2.
4e（e-1）?2•?cos?θ2?2=b?2a?2=e?2-1.
∵ 0＜θ＜?π?，
∴ 0＜θ2＜?π?2，?cos?θ2＜1.
∴ (e?2-1)(e-1)?2＜4e，e?4-2e?3+e?2-e?2-2e-?1＜0?
（e?2+1）(e?2-2e-1)＜0，e?2-2e-1＜0，∴ 1＜?e＜2+?1.
点评：椭圆或双曲线上一点，与椭圆或双曲线的两个焦点，构成的三角形是近几年高考常考的题目.以上十道题从不同角度考查椭圆和双曲线相关性质，但解题的手法，都是运用S??△F?1PF?2?=b?2?tan?θ2，S??△F?1PF?2?=b?2?cot?θ2来寻找思路和解题方法的，解题方法比较简单，特别是当∠F?1PF?2为特殊角时，解题更为方便.在近十年全国和各省市高考中，这类题目还有不少，像2005年全国Ⅱ，理6，2004年湖北，理6等等，几乎年年都考，要引起特别重视.?