从08年高考试题中我们可以看出用正、余弦定理熟练解题的重要性,正、余弦定理刻划了三角形中边角间的重要关系,是实现三角形中边角互求、互化的重要工具。在解题时,依据条件灵活地选择和应用正、余弦定理,成为解决问题的关键,并且判断三角形形状时由于考虑不全易多解或漏解。现以例题讲解示范如下:
题型一:用正、余弦定理判断三角形形状
例1 在△ABC中,已知acosA=bcosB,试判断△ABC的形状。
分析:判断三角形的形状,可以从边入手也可以从角入手。当所给的条件式既含有“边”又含有“角”时利用正弦定理可将之统一化为边间关系或角间关系。
解法一:(化为角)
由acosA=bcosB可得2RsinAcosA=2RsinBcosB
所以sin2A=sib2B,所以2A=2B或2A+2B=180°,即A=B或A+B=90°
故△ABC为等腰三角形或直角三角形。
总结评述:已知两边和其中一边的对角,三角形的形状一般不是确定的,若用正弦定理解这类问题时,必须根据条件判明这个三角形是否有解,有解时是一解还是两解。具体方法是:若给出的角是锐角,若这角的对边小于另一边,则有两解。反之则只有一解;若给出的角是钝角,若这角的对边大于另一边,有一解。反之则无解。显然,这种判断方法的依据就是:同一三角形中大边(角)对大角(边)。
在高考试题中,本部分出现的题目多为容易题,最高到中等题,但从08年全国卷一17题看,学生对正、余弦定理的应用并不熟练,在考场上不能轻松顺畅的利用正、余弦定理解决问题,用起来还比较混乱,由于近年高考命题突出能力立意,加强对知识综合性和应用性的考查,主要考查正、余弦定理及利用三角公式进行恒等变形的技能及运算能力,以化简、求值、判断三角形形状为主,考查正、余弦定理的应用、三角恒等变换的能力及转化思想的应用能力,解三角形常常作为解题工具用于立体几何中的计算或证明,希望同学们用心学好这部分知识,能熟练应用这两个定理解题。
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