篇一：2015年高三自主招生模拟试卷及详细答案(北约)
2015年自主招生模拟试卷（北约）
1． 已知等腰直角△PQR的三个顶点分别在等腰直角△ABC的三条边上，记△PQR，△ABC的面积分别为S△PQR，S△ABC，则解答：如图5-1所示，
A
S?PQRS?ABC
的最小值为 ．
P H
B图5-1 图5-2
（1）当?PQR的直角顶点在?ABC的斜边上，则P,C,Q,R四点共圆，
?APR??CQR?180??BQR,所以sin?APR?sin?BQR.在?APR,?BQR中分别应
用正弦定理得
PRARQRBR
?,?.又?A??B?45,故PR?QR,故sinAsinAPRsinBsinBQR
AR?BR即R为AB的中点.
过R作RH?AC于H，则PR?RH?
S?PQR1
BC,所以2S?ABC
1
(BC)2
PR1???,此22BCBC4
2
时
S?PQRS?ABC
的最大值为
1
. 4
（2）当?PQR的直角顶点在?ABC的直角边上，如图5-2所示，设
BC?1,CR?x(0?x?1),?BRQ??(0???
在Rt?CPR中，PR?
?
2
),则?CPR?90??PRC??BRQ??.
CRx
?, sin?sin?
在?BRQ中，BR?1?x,RQ?PR?
x3
,?RQB????QRB??B????, sin?4
x
PQRB1?x
由正弦定理, ????
sinBsin?PQBsinsin(???)44
x111x2112
?)?()2. ，因此S?PQR?PR?(sin?cos??2sin?22sin?2cos??2sin?
S?PQRS?ABC
?(
111
，当且仅当??arctan2取)2??222
cos??2sin?(1?2)(cos??sin?)5
的最小值为.
等号，此时
S?PQRS?ABC
1
5
2. 若集合A?(m,n)(m?1)?(m?2)?中的元素个数为 ．
??(m?n)?102015,m?Z,n?N*?，则集合A
解答：由已知得n(n?2m?1)?2201652015，因为n,n?2m?1一奇一偶，所以n,n?2m?1两者之一为偶数，即为22016,220165,2201652,
,2201652015共有2016种情况，交换顺序又得到
2016种情形，所以集合A共有4032个元素. 3．若数列{an}的前n项和Sn
?n?n，n?N，则?
3
2
*
2015i?1
1
．
ai?8i?2
答案：
2015
. 6048
22*
a?a?3n?5n?2,又，故a?3n?5n?2(n?N), a?0?i?i1ni?1
i?1
n
n?1
解答：an?
2015
20152015111201511
. ??(?)????3i?1ii?16048i?1ai?8i?2i?13i(i?1)
4．若16
sin2x
?16cosx?10，则cos4x?2
答案：?
1
. 2
sin2x
cosx
?161?sinx?,1?t?16，则16
2
2
解答:设t?16
1616
?10?t?2,或，代入方程得t?tt
t?8，即
sin2x?
113
或，所以cos4x??。 442
,?Z，5．设ab若对任意x?0，都有(ax?2)(x2?2b)?0，则a?______,b?_______.
答案：a?1,b??2.
解答：首先令x?0,知b?0.其次考虑过定点（0,2）的直线y?ax?2，与开口向上的抛物线y?x2?2b，满足对任意x?0所对应图象上的点不在x
轴同侧，因此又a,b?Z，故a?1,b??2.
?
2
.a
6.设
0??,?,??
?
2
，且
s3i??n
3
，s求i证
?s?in3??n
：
1
tan2??tan2??tan2??
2
3
令a=sin?，b=sin?，c=sin?，则a, b, c?(0, 1)且a
3
?b3?c3?1，
a?a???
3
同理b-b?c?c3?
因此
a2b2c2a3b3c3333
??????(a?b?c)?1-a21-b21-c2a-a3b-b3c-c322
。
注意到
sin2?a2
tan???2
1?sin?1?a2sin2?b22
tan???2
1?sin?1?b2
2
sin2?c2
tan???2
1
?1?c222
2
所以tan??tan??tan??
2
2
注 易知上述不等式等号不能成立。
7．当a3?
a?1?0时，a
1（且次数最低）的满足题设条件的整系数多项式.解 设x?a?a?x
0?a3?a?1?(x3?(x
?1?(x3?5x?1)?3x2?1),
所以
x3?5x?1x2?1).
两边平方，得
x6?10x4?2x3?25x2?10x?1?18x4?12x2?2,
移项整理，得x6?8x4?2x3?13x2?10x?1?0. 故所求的多项式为
x6?8x4?2x3?13x2?10x?1.
8.设n?N?，且2n?1,3n?1都是完全平方数，求证：5n?3为合数 证明：（1）设2n?1?k2,3n?1?m2,k,m?N?，则
5n?3?4(2n?1)?(3n?1)?4k2?m2?(2k?m)(2k?m)（2）若2k?m?1，则
2k?m?1,5n?3?2m?1
?(m?1)2?m2?(2m?1)?2?(3n?1)?(5n?3)?2??2n?0
?2k?m?1
（3）又2k?m?1，?5n?3为合数
*
9.已知数列?an?满足a1?
1，an?1?3an?，n?N．
(I) 证明：?an?是正整数数列；
(II) 是否存在m?N，使得2015am，并说明理由． 参考答案：（Ⅰ
）由an?1?3an?得
22an?1?6anan?1?an?4?0，……………………………… （1）
*
同理可得 an?2?6an?2an?1?an?2?4?0，………………（2）……………………5分 由（1）（2）可知，an,an?2为方程x?6an?1x?an?1?4?0的两根，又an?an?2，即有
2
2
22
an?an?2?6an?1，即an?2?6an?1?an.
因为a1?1,a2?5,所以an为正整数.……………………………………………………10分 （Ⅱ）不存在m?N，使得2015am.…………………………………………………15分 假设存在m?N，使得2015am，则31am.
*
*
一方面，amam?2?am?1?4，所以31am?1?4,即
3015302
，所以a??4??2(mod31). am??4(mod31)m?1?1
22
由费马小定理知230?1(mod31)，所以am?1??1(mod31)…………………………20分 另一方面，假设(am?1,31)?d?1，则d31，即d?31，所以31am?1，(am?1,31)?1.事实上，而31am?1?4，这样得到314.矛盾.
30
所以，由费马小定理得am(mod31). ?1?1
2
30
这样得到1??1(mod31).矛盾.所以不存在m?N*，使得2015am.………………25分
篇二：2015年自主招生模拟试卷(北约)数学及答案WORD
2015年自主招生模拟试卷（北约）
1． 已知等腰直角△PQR的三个顶点分别在等腰直角△ABC的三条边上，记△PQR，△ABC的面积分别为S△PQR，S△ABC，则
S?PQRS?ABC
的最小值为 ．
解答：如图5-1所示，
A
P H
B图5-1 图5-2
（1）当?PQR的直角顶点在?ABC的斜边上，则P,C,Q,R四点共圆，
?APR??CQR?180??BQR,所以sin?APR?sin?BQR.在?APR,?BQR中分别应
用正弦定理得
PRARQRBR
?,?.又?A??B?45,故PR?QR,故sinAsinAPRsinBsinBQR
AR?BR即R为AB的中点.
S?PQR1
BC,所以2S?ABC
1
(BC)2
PR1???,此22BCBC4
2
过R作RH?AC于H，则PR?RH?
时
S?PQRS?ABC
的最大值为
1
. 4
（2）当?PQR的直角顶点在?ABC的直角边上，如图5-2所示，设
BC?1,CR?x(0?x?1),?BRQ??(0???
在Rt?CPR中，PR?
?
2
),则?CPR?90??PRC??BRQ??.
CRx
?, sin?sin?
x3
,?RQB????QRB??B????, sin?4x
PQRB1?x
由正弦定理, ????
sinBsin?PQBsinsin(???)44
x111x2112
?)?()2. ，因此S?PQR?PR?(sin?cos??2sin?22sin?2cos??2sin?
在?BRQ中，BR?1?x,RQ?PR?S?PQRS?ABC
?(
111
，当且仅当??arctan2取)2??222
cos??2sin?(1?2)(cos??sin?)5
的最小值为.
等号，此时
S?PQRS?ABC
1
5
2. 若集合A?(m,n)(m?1)?(m?2)?中的元素个数为 ．
??(m?n)?102015,m?Z,n?N*?，则集合A
解答：由已知得n(n?2m?1)?2201652015，因为n,n?2m?1一奇一偶，所以n,n?2m?1两者之一为偶数，即为22016,220165,2201652,
,2201652015共有2016种情况，交换顺序又得到
2016种情形，所以集合A共有4032个元素. 3．若数列{an}的前n项和Sn
?n?n，n?N，则?
3
2
*
2015i?1
1
．
ai?8i?2
答案：
2015
. 6048
解答：an?
2015
?a??a
ii?1
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nn?1
i
?3n2?5n?2,又a1?0，故an?3n2?5n?2(n?N*),
20152015111201511
. ??(?)????a?8i?23i(i?1)3ii?16048i?1ii?1i?1
4．若16
sin2x
?16
cos2x
?10，则cos4x?答案：?
1
. 2
sin2x
解答:设t?16,1?t?16，则16cosx?161?sinx?
22
1616
?10?t?2,或，代入方程得t?tt
t?8，即
sin2x?
113
或，所以cos4x??。 442
,?Z，5．设ab若对任意x?0，都有(ax?2)(x2?2b)?0，则a?______,b?_______.
答案：a
?1,b??2.
解答：首先令x?0,知b?0.其次考虑过定点（0,2）的直线y?ax?2，与开口向上的抛物线y?x2?2b，满足对任意x?0所对应图象上的点不在x
轴同侧，因此又a,b?Z，故a
?
2
.a
?1,b??2.
6.设
0??,?,??
?
2
，且
s3i??n
3
，s求i证
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：
1
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2
3
令a=sin?，b=sin?，c=sin?，则a, b, c?(0, 1)且a
3
?b3?c3?1，
a?a???
33
同理b-b?c?c?
因此
a2b2c2a3b3c3333
??????(a?b?c)?1-a21-b21-c2a-a3b-b3c-c322
。
注意到
sin2?a2
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1?sin?1?a2
22sin?b
tan2???2
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2
sin2?c2
tan???2
1
?1?c222
2
所以tan??tan??tan??
2
2
注 易知上述不等式等号不能成立。
7．当a3?a?1?0时，a1（且次数最
低）的满足题设条件的整系数多项式.解
设x?a?
a?x
0?a3?a?1?(x3?(x
?1?(x3?5x?1)?3x2?1),
所以
x3?5x?1x2?1).
两边平方，得
x6?10x4?2x3?25x2?10x?1?18x4?12x2?2,
移项整理，得x6?8x4?2x3?13x2?10x?1?0. 故所求的多项式为
x6?8x4?2x3?13x2?10x?1.
8.设n?N?，且2n?1,3n?1都是完全平方数，求证：5n?3为合数 证明：（1）设2n?1?k2,3n?1?m2,k,m?N?，则
5n?3?4(2n?1)?(3n?1)?4k2?m2?(2k?m)(2k?m)（2）若2k?m?1，则
2k?m?1,5n?3?2m?1
?(m?1)2?m2?(2m?1)?2?(3n?1)?(5n?3)?2??2n?0
?2k?m?1
（3）又2k?m?1，?5n?3为合数
*
9.已知数列?an?满足a1?
1，an?1?3an?，n?N．
(I) 证明：?an?是正整数数列；
(II) 是否存在m?N，使得2015am，并说明理由． 参考答案：（Ⅰ
）由an?1?3an?得
22an?6aa?a?1nn?1n?4?0，……………………………… （1）
*
同理可得 an?2?6an?2an?1?an?2?4?0，………………（2）……………………5分 由（1）（2）可知，an,an?2为方程x?6an?1x?an?1?4?0的两根，又an?an?2，即有
2
2
22
an?an?2?6an?1，即an?2?6an?1?an.
因为a1?1,a2?5,所以an为正整数.……………………………………………………10分
（Ⅱ）不存在m?N*，使得2015am.…………………………………………………15分 假设存在m?N*，使得2015am，则31am. 一方面，amam?2?am?1?4，所以31am?1?4,即
3015302
am?1??4(mod31)，所以am?1??4??2(mod31).
22
由费马小定理知230?1(mod31)，所以am?1??1(mod31)…………………………20分 另一方面，假设(am?1,31)?d?1，则d31，即d?31，所以31am?1，(am?1,31)?1.事实上，而31am?1?4，这样得到314.矛盾.
30所以，由费马小定理得am(mod31). ?1?1
30
2
这样得到1??1(mod31).矛盾.所以不存在m?N*，使得2015am.………………25分
篇三：2014年北约自主招生物理试题及答案
2014“北约”自主招生物理试题及答案
一、选择题
1、一气球静止在赤道上空，考虑地球自转，则
A．气球在万有引力和浮力的作用下，处于平衡状态 B．气球绕地球运动的周期等于地球自转周期 C．气球所受万有引力小于浮力 D．气球所受万有引力大于浮力
2、两个相向运动的惯性系S、S’，一个惯性系的观察者看另外一个惯性系的物理过程，
A．惯性系S看惯性系S’，物理过程是变快 B．惯性系S看惯性系S’，物理过程是变慢
[
C．惯性系S’看惯性系S，物理过程是变快
[
D．惯性系S’看惯性系S，物理过程是变慢 3、以下选项正确的是：
A. 在α粒子散射实验中，有大量的粒子具有一个很明显的偏转角B. β衰变辐射的粒子是因为电子跃迁产生的C. 化学反应不会改变放射性元素的半衰期
D. 比结合能越小，原子核中核子结合得越牢固，原子核越稳定
4、如图所示，一定质量的理想气体从状态A依次经过状态B、C和D后再回到状态A。其中，A→
B和C→D 为等温过程，B→C和D?A为绝热过程（气体与外界无热量交换）。这就是著名的“卡诺循环”。该循环过程中，下列说法正确的是： A．A→B过程中，外界对气体做功 B．B→C过程中，气体分子的平均动能增大
C．C→D过程中，单位时间内碰撞单位面积器壁的分子数增多 D．D →A过程中，气体分子的速率分布曲线不发生变化
二．填空题
5、如图，一个质量为2m的球和一个质量为m的球，用长度为2r的
轻杆连在一起，两个球都限制在半径为r的光滑圆形竖直轨道上， 轨道固定于地面。初始时刻，轻杆竖直，且质量为2(本文来自：www.dXF5.com 东 星资 源 网:2016北约自主招生试题)m的球在上 方；此时，受扰动两球开始运动，当质量为2m的球运动到轨道 最低点时，速度为。轨道对两球组成的系统的力为 。
6、把高压气体压入一个瓶子中，当把瓶子盖打开时，外界对气体（填写“做正功”或
“做负功”或“不做功”），气体的温度 （填写“升高”或“降低”或“不变”）。 7、一个带正电的导体在空间中产生电场，用检验电荷去测电场。若检验电荷为正电荷，则对测量的
影响是（填写“变大”或“变小”或“不变”）。若检验电荷为负电荷，则对测量的影响是（填写“变大”或“变小”或“不变”）。
8 、现用电子显微镜观测线度为d的某生物大分子的结构。为满足测量要求，将显微镜工作时电子
的德布罗意波长设定为
d
,其中n?1。已知普朗克常量h、电子质量m和电子电荷量e，电子n
的初速度不计，则电子动量可表示为 ；显微镜工作时电子的加速电压应为 。
三、解答题
9、在真空中，质量为??1和??2的两个小球，只受万有引力作用，某个时刻，两球相距??0，??1的速度
为??0,方向指向??2，??2的速度为??0，速度垂直于两球球心连线，问当速度??0满足什么关系时，两个小球的间距可以为无穷远。
10、如图，区域中一部分有匀强磁场，另一部分有匀强电场，方向如图所示，一个带正电的粒子，
从A点以速度v出发，射入匀强磁场，方向未知，经过t1时间运动到磁场与电场交界处B点，此时速度方向垂直于两个场的分界线，此后粒子在电场的作用下，经过t2时间从C点离开电场，已知磁场宽度l1与电场宽度l2，A与B点的水平距离为d，速度v。 （1）求整个运动过程中粒子的最大速度 （2）求B/E （3）求t1/t2
11、相距??的光源和光屏组成一个系统，并整体浸没在均匀的液体当中，液体折射率等于2。实验室
参照系下观察此系统，问：
（1）当液体介质速度为零的时候，光源发出光射到光屏所需时间是多少？
（2）当液体介质沿光源射向光屏的方向匀速运动，且速度为??时，则光从光源到光屏所需时间为多少？
（3）当液体介质沿垂直于光源与光屏连线的方向匀速运动，且速度为??时，再求光从光源到光屏所需时间。
【参考答案】 一、选择题
1、BD 2、BD 3、C 4、C
二、填空题
5、【解答】
(1)由机械能守恒，有：
2mgR?mgR?mgR?2mgR?
2mgR?
1
(m?2m)v2 2
32
mv?v?24gR 3
R 3
(2)如图，质心??的位置为两球的加权平均处，质量为两球质量和，质心??到圆心的距离????=
则质心的速度为所在处杆的线速度：????=
2vCv2
于是有F?mCaC?3m?m
RCR
44
将??=gR代入，得: F?mg
33
vv
RC? R3
6、【解答】
高压气体释放后，气体对外做功，即相当于外界对气体做负功，故气体温度下降。 7、【解答】变小 变大
nhn2h2
8、【解答】2
d2med
三、解答题
9、【解答】
法一：换一个参考系，如以??为参考系，??的初速度变为2??0，??的受力为??+??????，??为万有引力，??????为惯性力又因为对于??而言，自身保持静止，故??=??????
2Gm2
则以??为参考系??的受力为2??=，其中??表示两者之间距离。 2
r
相当于固定??，且把??的质量变为2??，则要????能相距无穷远，则有
12Gm22m(2v0)??0 2l2Gm
化简得到：??0≥
l0
1m221
u?mu2 法二：体系的资用能为: E′=?22m4
其中，??为??，??的相对运动速度：u=2??0 则E??
12mv0 2
则当??,??相距无穷远时，??,??体系的资用能转化为??,??之间的万有引力势能，则
2Gm12Gm2
mv0??0 故v0≥
l02l0
10、【解答】
(1)如图，画出带电粒子的运动轨迹，从A到B为匀速圆周运动；进入电场后，因为刚进入电场时速
度方向与两场交界垂直，受力水平向右，故做类平抛运动。竖直方向为匀速直线运动，故时间??2=??2/??。水平方向为初速度为零的匀加速直线运动，故：
2
1Eq2Eql2
t2???=?2m2mv2
最大速度????????
为竖直方向的速度（即初速度??度的合成，即：vmax
2
Eql22?v?(?)?mv4d2
则????????=???2为所求。
l2
（2）设在磁场中的运动轨迹所对应圆心角为??，则有:??=??(1?????????), ??1=??????????
可推出：????????=1?
ld
, ????????=1 RR
2
于是有：l1?(R?d)2?R2
l12d
? 当然，用勾股定理也可以得到此结果，化简得到：R?
2d2
而磁场中圆周运动半径满足：??=
mv
, 得：B?Bq
mvl12dq(?)2d2
2l22mv2dB
由（1）中??的表达式可推出：??=，则：? 2
Ev(l12?d2)ql2
（3）在磁场中运动时间满足： t1?
圆心角满足：??arcsin
?R
v
?
?m
Bq
?
?(l12?d2)
2dv
l12dl
?arcsin212Rl1?d