篇一：2009年湖南省高考文科数学试卷及答案
2009年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）含答案
数学（文史类）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.log2
【 D 】
11
C. ?D.
22
A．
B.
2. 抛物线y2=-8x的焦点坐标是 【 B 】
A．（2，0） B. （- 2，0）C. （4，0）D. （- 4，0） 3．设sn是等差数列｛an｝的前n项和，已知a1=3，a5=11，则s7等于【 C 】 A．13 B. 35 C. 49 D. 63
4．如图1 D，E，F分别是?ABC的边AB，BC，CA的中点，则 【 A 】
(原文来自：wWW.DxF5.com 东 星资源网:2009湖南高考数学文)????????????
A．AD+ BE+ CF=0 ????????????B．BD?CE?DF=0 ????????????C．AD?CE?CF=0
????????????
D．BD?BE?FC=0 图1
5．某地政府召集5家企业的负责人开会，其中甲企业有2人到会，其余4家企业各有1人到会，会上有3人发言，则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为【 B 】 A．14 B. 16 C. 20 D. 48
6．平面六面体ABCD- A既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为【 C 】 1中，1 B1 C1DA．3B. 4 C.5 D. 6
7．若函数y=f(x)导函数在区间［a,b］是增函数，则函数y=f(x)在区间［a,b］上的图象可能是（A）
8. 设函数y?f(x)在(??,??)内有定义，对于给定的正数K，定义函数
(x)?k
fk(x)??kf,(fx(),xf)?k
取函数f(x)?2
?x
。当K=
1
时，函数fk(x)的单调递增区间为 【C】 2
A (??,0) B (0,??)C (??,?1)D (1,??)
二 填空题：本大题共七小题，没小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的
横线上。
9 . 某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运都
不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为12.
10.若x?0，则x?
11.
在(12
x
4的展开式中，x的系数为 )。
12 . 一个总体分为A.B两层，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本。已
知B层中每个个体被抽到的概率都为
1
，则总体中的个体数为 120 12
x2y2
13. 过双曲线C：2?2?1(a?0,b?0)的一个焦点作圆x2?y2?a2的两条切线，
ab
切点分别为A.B，若?AOB?120（O是坐标原点），则双曲线线C的离心率为
14. 在锐角?ABC中，b??6xlyB?则 为
。
15. 如图2，两块斜边长相等的直角三角板在一起，若
?
AC
的值等于 2，AC的取值范围 cosA
????????????
AD?xAB?yAC，则
x?1?
,y? 22
图2
三 解答题：每小题共6小题，共75分，解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤。 16 （每小题满分12分）
以知向量a?(sin?,cos??2sin?),b?(1,2)。
（Ⅰ）若a//b，求tan?的值； （Ⅱ）若a?b,0????,求?的值。
??co?s解（Ⅰ） 因为a//b，所以2sin??cos??2sin?，于是 asin，故
tan?=
1
4
2
（Ⅱ）由 a=b知，sin?+（cos? -2sin?)2=5，所以
2
1-2sin2?+4sin?=5.
从而-2sin2?+2（1-cos2?=4，即sin2?+cos2? = -1，于是
Sin（2?+
又由0<?<?知，
?）
= - 4??9??5??7?
<2?+<，所以2? +=，或2?-= 4444444
?3?
因此? =，或?=
42
17.（本小题满分12分）
为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类，这三类工程所含项目的个数分别占总数的.独立地从中任意一个项目参与建设要求： （I）他们选择的项目所属类别互不相同的概率； （II）至少有1人选择的项目属于民生工程的概率。
解:记第1名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件
111
、、，现在3名工人236
A1,B1,C1，i=1，2，3.由题意知A1A2A3相互独立，B1B2B3相互独立，C1C2C3相互
独立，A1,B1,C1（i，j，k=1，2，3，且i，j，k互不相同）相互独立， 且P（A1）=，p（B1）=
11
，p（C1）= 36
（1）他们选择的项目所属类别互不相同的概率
P=3！p（A1B2C3）=6p（A1）p（B2）p（C3）
=6x
1111xx = 2366
（1I）至少有1人选择的项目属于民生工程的概率
?????????
P=1-p（B1B2B3）
?????????=1-p（B1）p（B2）p（B3）
=1-（1-
1219
)=
327
18.（本小题满分12分）
如图3，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=4, AA
1点D是BC的中点，点E在AC上，且DE?A1E
?平面ACC1A1; （Ⅰ）证明：平面A1DE
（Ⅱ）求直线AD和平面A1DE所成角的正弦值。
?平面ABC 解 （Ⅰ）如图所示，由正三棱柱ABC-A1B1C1的性质知AA1
又DE?平面ABC，所以DE?AA1.
而DE?AA1?A1E?A1,所以DE⊥平面ACC1A1 1，AA又DE ?平面A1 1DE，故平面A1DE⊥平面ACC1A
F （Ⅱ）解法 1过点A作AF垂直A1E于点
连接DF.由（Ⅰ）知，平面A1， 1DE⊥平面ACC1A
?ADF直线AD和 所以AF?平面A1DE,故
平面?A1DE所成的角。
因为DE?ACC1A1所以DE?AC而
?ABC是边长为4的正三角形，于是AD
=2
又因为AA
1=
AF?
AE=4-CE=4-
1
CD=3 2
所以A1E
=
= 4
AFAE?AA1,
sin?ADF? ??
AD8A1E 即直线AD和平面A1DE
解法2 如图所示，设O是AC的中点，以O为原点建立空间直角坐标系，则相关各点的坐标分别是A(2,0,0,), A
1.(2,0,
E(-1,0.0)
????????????易知A1B=（-3
DE=（0，
0），AD=（-3
0）
设n=（x，y，z）是平面A1DE的一个法向量，则
{
uuuv
n?DE?0uuuuv
n?A1D??3x?0
解得x?z,y?0 故可取n=
，）于是
uuur
uuurn?AD
cosn,AD?n?AD
??8
篇二：2009年湖南省高考数学(理)解析版
2009年湖南高考数学（理工农医类）试题
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若log2a?0, ()b?1, 则
A．a?1，b?0C．0?a?1，b?0
B．a?1，b?0
D．0?a?1，b?0【D】
2．对于非零向量a, b, “a+b=0”是“a∥b”的 A．充分不必要条件 C．充分必要条件
B．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件【A】
3．将函数y?sinx的图象向左平移?(0≤??2??个单位后，得到函数y?sin(x?)的图象，．．则?等于
D．【D】
(x≥0)的图象分别对应曲线 4．如图1，当参数???1, ?2时，连续函
数y A．
C1和C2，则 A．0??1??2
B．
C．
B．0??2??1C．?1??2?0
图1 D．?2??1?0 【B】 5．从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为 A．85
B．56C．49 D．28 【C】
?x?2y≥0,
6．已知D是由不等式组?所确定的平面区域，则圆x2?y2?4在区域D内的弧长为
?3y≥0?x A． B． C．D． 【B】
7．正方体ABCD?ABC111D1的棱上到异面直线AB, CC1的距离相等的点的个数为 A．2 B．3C．4D．5 【C】
8．设函数y?f(x)在(?∞,?∞?内有定义．对于给定的正数K, 定义函数
?f(x),f(x)≤K,
fK(x)??
K, f(x)?K.?
取函数f(x)?2?x?e?x．若对任意的x?(?∞,?∞)，恒有fK(x)?f(x)，则
A．K的最大值为2
B．K的最小值为2
C．K的最大值为1 D．K的最小值为1 【D】
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分. 把答案填在答题卡中对应题号后的横线上． ．．．9．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为 12 ．
10
．在(1?x)3?(13?(13的展开式中，x的系数为．11．若x?(0,)，则2tanx?tan(?x)
13．一个总体分为A, B两层，其个体数之比为4:1, 用分层抽样方法从总体中抽取一 个容量为
10的样本．已知B层中甲、乙都被抽到的概率为, 则总体中的个体数为．
14．在半径为13的球面上有A, B, C三点，AB?6, BC?8, CA?10, 则
（1）球心到平面ABC的距离为12；
（2）过A, B两点的大圆面与平面ABC所成二面角（锐角）的正切值为3． 15．将正?ABC分割成n2（n≥2, n?N?）个全等的小正三角形（图2, 图3分别给出了n?2,
3的情形），在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于?ABC的三边及平行于某边的任一直
线上的数（当数的个数不少于3时）都分别依次成等差数列．若顶点A, B, C处的三个数互不相同且和为1，记所有顶点上的数之和为f(n), 则有f(2)?2, f(3)? , ? ,
10(n?1)(n?2)
f(n)?．
A
A
A
A
BCC
CC
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
B
16．（本小题满分12分）
????????????????????2
在?ABC中，已知 2AB?ACAB|?|AC|?3BC, 求角A, B, C的大小.
解 设BC?a，AC?b，AB?c．
????????????????
由2AB?AC?AB|?|AC|得 2bccosA?，所以cosA
又A?(0,??，因此A?．
????????????2
AB|?|AC|?3BC得
bc?2．于是
sinC?sinB?2A．
所以
sinC?sin(?C)?
，sinC?(cosCC)
2sinC?cosC?2C?
sin2CC?0，即sin(2C?)?0．
由A?知0?C?，所以??2C??，从而
2C??0，或2C???．即C?，或C?．故
A?，B?，C?，或A?，B?，C?．
17．（本小题满分12分）
为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分为基础设施工程、民生工程和产 业建设工程三类. 这三类工程所含项目的个数分别占总数的, , . 现有3名工人独立
地从中任选一个项目参与建设.
(Ⅰ) 求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；
(Ⅱ) 记?为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求?的分布列及数学期望.
解 记第i名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件Ai，Bi，Ci，i?1，2，3．由题意知A1，A2，A3相互独立，B1，B2，B3相互独立，C1，C2，C3相互独立，Ai，Bj，Ck（i，j，k?1，2，3，且i，j，k互不相同）相互独立，且
P(Ai)?，P(Bi)?，P(Ci)?．
（Ⅰ）他们选择的项目所属类别互不相同的概率
??6? ?? ． P?3!P(AB12C3)?6P(A1)P(B2)P(C3)
（Ⅱ）解法1 设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为?，由已知，
??B(3,)，且??3??，
)3=， 所以P(?=0)=P(h=3)=C33(2
P(?=1)=P(h=2)=C3()2()=，
)()2=， P(?=2)=P(h=1)=C13(0
P(?=3)=P(h=0)=C3()3=．
故?的分布列是
?的数学期望E??0??1??2??3??2．
解法2 记第i名工人选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程分别为事件Di， i?1，2，3．由已知，D1，D2，D3相互独立，且
P(Di)?P(Ai?Ci)?P(Ai)?P(Ci)???,
k
()k()3-k，k?0，1，2，3． 所以??B(3,)，即P(?=k)=C3
故?的分布列是
?的数学期望E??3??2．
18．（本小题满分12分）
A1
E1
C1
如图4，在正三棱柱ABC?A1B1C1中, AB1, 点D是A1B1的中点，点E在AC11上，且DE?AE.
(Ⅰ) 证明：平面ADE?平面ACC1A1；
A
C
(Ⅱ) 求直线AD和平面ABC1所成角的正弦值.
解 （Ⅰ）如图所示，由正三棱柱ABC?ABC111的性质知 AA1B1C1． 1?平面A又DE?平面A1B1C1，所以DE?AA1．
图4
而DE?AE，AA1?AE?A，所以DE?平面ACC1A1．又DE?平面ADE，故 平面ADE?平面ACC1A1．
（Ⅱ）解法1如图所示，设F是AB的中点，连结DF，DC1，C1F．由正三棱柱ABC?ABC111的性质及D是A1B1的中点知，AB11?C1D，AB11?DF． 又C1D?DF?D，所以AB11?平面C1DF． 而AB//A1B1，所以
A1
EB1C
F
C1
AB?平面C1DF．又AB?平面ABC1，故
平面ABC1?平面C1DF．
A过点
D作DH垂直C1F于点H，则DH?
平面ABC
1．
连结AH，则?HAD是直线AD和平面ABC1所成的角.
由已知AB1，不妨设AA1AB?2，DF?DC1?
C1FAD?，DH?DF?DC1
?
1?. 所以 sin?HAD??.
即直线AD和平面ABC
1.
解法2 如图所示，设O是AC的中点，以O为原点建立空间直角坐标系.
不妨设AA1?则AB?2，相关各点的坐标分别是
?. ????????
?????
易知
AB?0)，AC1?(0,2，AD?,,)
.
设平面ABC1的一个法向量为 n?(x,y,z)??????n?AB??y?0,
??????
n?AC?2y??0.??1A(0,?
1,0)，B
0,0)，C
1(0,1,，D(
解得x?y，z?. 故可取 n=(1,.
????
????n?AD??所以，cosn,AD?
|n|?|AD|由此即知，直线AD和平面ABC119．（本小题满分13分）
某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米. 余下工程只需建两端桥墩之间的桥面
和桥墩. 经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2?)x万元. 假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其它因素. 记余下工程的费用为y万元.
(Ⅰ) 试写出y关于x的函数关系式；
(Ⅱ) 当m?640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？
解 （Ⅰ）设需新建n个桥墩，则 (n?1)x?m，即 n??1，
所以 y?f(x)?256n?(n?1)(2?x?256(?1)?(2?)x
256m
?2m?256．? (x3?mx?(x)????512)．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f′2
x2x(x)?0，得 x?512，所以 x?64．令f′
(x)?0，f(x)在区间(0,64 )内为减函数； 当0?x?64时，f′
(x)?0，f(x)在区间(64,640 )内为增函数． 当64?x?640时，f′
所以f(x)在x?64处取得最小值．此时 n??1??1?9．
故需新建9个桥墩才能使y最小．
篇三：2009年湖南高考文科数学试题和答案[word]版
2009年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）含答案
数学（文史类）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.log2
【 D 】
11
C. ?D.
22
A．
B.
2. 抛物线y2=-8x的焦点坐标是 【 B 】
A．（2，0） B. （- 2，0）C. （4，0）D. （- 4，0）
3．设sn是等差数列｛an｝的前n项和，已知a1=3，a5=11，则s7等于【 C 】 A．13 B. 35 C. 49 D. 63
4．如图1 D，E，F分别是?ABC的边AB，BC，CA的中点，则 【 A 】
????????????
A．AD+ BE+ CF=0 ????????????B．BD?CE?DF=0
????????????C．AD?CE?CF=0
????????????
D．BD?BE?FC=0 图1
5．某地政府召集5家企业的负责人开会，其中甲企业有2人到会，其余4家企业各有1人到会，会上有3人发言，则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为【 B 】 A．14 B. 16 C. 20 D. 48
6．平面六面体ABCD- A既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为【 C 】 1中，1 B1 C1DA．3B. 4 C.5 D. 6
7．若函数y=f(x)导函数在区间［a,b］是增函数，则函数y=f(x)在区间［a,b］上的图象可能是（A）
8. 设函数y?f(x)在(??,??)内有定义，对于给定的正数K，定义函数
(x)?k
fk(x)??kf,(fx(),xf)?k
取函数f(x)?2
?x
。当K=
1
时，函数fk(x)的单调递增区间为 【C】 2
A (??,0) B (0,??)C (??,?1)D (1,??)
二 填空题：本大题共七小题，没小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的
横线上。
9 . 某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运都
不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为12.
10.若x?0，则x?
11.
在(12
x
4的展开式中，x的系数为 用数字作答)。
12 . 一个总体分为A.B两层，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本。已
知B层中每个个体被抽到的概率都为
1
，则总体中的个体数为 120 12
x2y2
13. 过双曲线C：2?2?1(a?0,b?0)的一个焦点作圆x2?y2?a2的两条切线，
ab
切点分别为A.B，若?AOB?120（O是坐标原点），则双曲线线C的离心率为 2 。14. 在锐角?ABC中，b??6xlyB?则 为
。
15. 如图2，两块斜边长相等的直角三角板在一起，若
?
AC
的值等于 2，AC的取值范围 cosA
????????????
AD?xAB?yAC，则
x?1?
,y? .22
图2
三 解答题：每小题共6小题，共75分，解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤。 16 （每小题满分12分）
以知向量a?(sin?,cos??2sin?),b?(1,2)。
（Ⅰ）若a//b，求tan?的值； （Ⅱ）若a?b,0????,求?的值。
??co?s解（Ⅰ） 因为a//b，所以2sin??cos??2sin?，于是 asin，故
tan?=
1
4
2
（Ⅱ）由 a=b知，sin?+（cos? -2sin?)2=5，所以
2
1-2sin2?+4sin?=5.
从而-2sin2?+2（1-cos2?=4，即sin2?+cos2? = -1，于是
Sin（2?+
又由0<?<?知，
?）
= -4??9??5??7?
<2?+<，所以2? +=，或2?-= 4444444
?3?
因此? =，或?=
42
17.（本小题满分12分）
为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类，这三类工程所含项目的个数分别占总数的.独立地从中任意一个项目参与建设要求： （I）他们选择的项目所属类别互不相同的概率；
111
、、，现在3名工人236
（II）至少有1人选择的项目属于民生工程的概率。
解:记第1名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件
A1,B1,C1，i=1，2，3.由题意知A1A2A3相互独立，B1B2B3相互独立，C1C2C3相互
独立，A1,B1,C1（i，j，k=1，2，3，且i，j，k互不相同）相互独立， 且P（A1）=，p（B1）=
11
，p（C1）= 36
（1）他们选择的项目所属类别互不相同的概率
P=3！p（A1B2C3）=6p（A1）p（B2）p（C3）
=6x
1111xx = 2366
（1I）至少有1人选择的项目属于民生工程的概率
?????????
P=1-p（B1B2B3）
?????????=1-p（B1）p（B2）p（B3）
=1-（1-
1219
)=
327
18.（本小题满分12分）
如图3，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=4, AA
1点D是BC的中点，点E在AC上，且DE?A1E
?平面ACC1A1; （Ⅰ）证明：平面A1DE
（Ⅱ）求直线AD和平面A1DE所成角的正弦值。
?平面ABC 解 （Ⅰ）如图所示，由正三棱柱ABC-A1B1C1的性质知AA1
又DE?平面ABC，所以DE?AA1.
而DE?AA1?A1E?A1,所以DE⊥平面ACC1A1 1，AA又DE ?平面A1 1DE，故平面A1DE⊥平面ACC1A
F （Ⅱ）解法 1过点A作AF垂直A1E于点
连接DF.由（Ⅰ）知，平面A1， 1DE⊥平面ACC1A
?ADF直线AD和 所以AF?平面A1DE,故
平面?A1DE所成的角。
因为DE?ACC1A1所以DE?AC而
?ABC是边长为4的正三角形，于是AD
=2
又因为AA
1=
AF?
AE=4-CE=4-
1
CD=3 2
所以A1E
=
= 4
AFAE?AA1,
sin?ADF? ??
AD8A1E 即直线AD和平面A1DE
解法2 如图所示，设O是AC的中点，以O为原点建立空间直角坐标系，则相关各 点的坐标分别是A(2,0,0,), A
1.(2,0,
E(-1,0.0)
????????????易知A，DE=（0，
0），AD=（-3
0） 1B=（-3
设n=（x，y，z）是平面A1DE的一个法向量，则
{
uuuv
n?DE?0uuuuvn?A1D??3x?0
解得x?z,y?0 故可取n=
，）于是
uuur
uuurn?AD
cosn,AD?n?AD
??8