摘 要:数学思维就是数学活动中的思维,是以数学问题为载体,通过发现问题、解决问题的方式,达到对数学问题的空间形式和数量关系的一般性认识。本文着重总结了高中数学教学过程中常见的几种思维方式,这对高中数学教学或许有一定的借鉴意义。
关键字:教学,高中数学,思维
“教学目的反映教育目的、教育思想,不同的教学目的反映不同的教育思想,也反映了对教学规律、教学过程等客观性教学要素的看法。”高中数学的教学目的之一就是培养学生的数学思维,使他们应用数学思维来解决千变万化的数学题。时代的发展,科技的进步,对高中生的素质提出了更高的要求,对高中数学教学也提出了更高的要求。高中数学教师是数学教改第一线的生力军,一般来讲,数学教育实验改革的周期比较长,因此,教师将每节课都看作是一次教学实验,认真积累经验,积少成多,将这些经验用新的理念去审视,在这些经验中提取,概括出新的认识,丰富数学教学的理论与实践,这就是对数学的最大贡献。古人云:师者,所以传道授业解惑也。如果说过去认为解惑只是解答疑惑,那么今天,解惑就意味着启迪学生的思维方法。“教学是在教育目的的规范下,教师的教与学生的学共同组成的一种教育活动,在这个活动中,学生在教师有计划、有组织的积极引导下,掌握一定的知识技能,同时促进他们智力、体力、品德、美感及个性的全面发展。”作为数学教师,要启迪学生领悟数学思维和学会数学思维方式的能力,在日常的教学中以"润物细无声"的方式渗透数学的思维方式,既可以提高学生的数学思维修养,又可以收到育人的积极成效。现在我就谈谈在教学实践中总结出来高中生数学思维策略的培养的几种方法。
一、宏观思维
宏观思维是高层次的思维活动,对于数学问题,不是着眼于它的局部特征,而是着眼于它的整体结构,就是要培养学生从整体上去把握数学问题,使学生善于运用战略的眼光去看待数学学习,全方位、多角度地进行观察、分析、类比和联想,充分挖掘和认识数学问题的实质。
二、微观思维
有些数学题目,学生们在解题过程中表面看来好像条件不足,难以入手。其实,这些题目往往在题设的背后巧妙地隐藏着其他已知条件,这些题目只是刻意做了一番伪装,使我们不便轻易识破“庐山真面目”。
【例题】设F(x)=,求
f()+f()+f()+Af()的值
【分析】这个貌似难解的题目,好像一时难以下手,但仔细分析自变量的取值,得到等差数列:
,,,A
它隐含一个微妙的关系,即与首末两项等距离之和等于1,从而联想到寻找f(x)与f(1-x)得关系。
【解】f(x)=,
∴f(1-x)===1-=1-f(x)
故f(x)+f(1-x)=1
令x=,,A,分别代入上式得500个等式,将这个500个等式相加,即得
f()+f()+f()+Af()=500
三、.抽象思维
抽象思维是从复杂的事物中,单纯地抽取某种特性加以认识的思维方法。它是感性认识跃进到理性认识的重要手段。抽象思维广泛地应用于任何一门学科,而数学则是以高度的抽象性为基本特征的一门理论科学。它的显著特征是思维具有严谨的逻辑性,是按照一定的规则进行的思维。
四、辩证思维
高中数学存在着大量的矛盾因素,如相等与不等,常量与变量、已知与未知、有限与无限、动点与定点等。
【例题】设a,b,c∈R+且a+b+c=++=3,
求证:abc=1
【分析】将三正数之和及这三正数的倒数之和为同一定值与三正数之积联系起来,联想到重要不等式:
a+b+c≥3(a1a2a3∈R+)
而结论等式则可看作不等式abc≥1与abc≤1同时成立。
【证明】a b c∈R+,∴3=a+b+c≥3
则abc≤1,且3=++≥3×,
则有abc≥1 故abc=1
五、发散思维
发散思维是指从同一来源材料求不同答案的思维过程,思维方向发散于不同方面,即从不同的方面进行考虑。在数学学习中,发散思维表现于依据定义、定理、公式和已知条件,思维朝着各种可能的方向扩散前进,不局限既定的模式,从不同角度寻找解决问题的各种可能的途径。教学经验告诉我,发散思维的培养,并不是老师单方面努力就能达到理想的效果。这更倾向于学生自己在做题过程中,对题目本身、解题过程、寻求解题思路、创新思维等多方面的经验积累。这是一点一滴,慢慢养成地思维方式。所以学生应在日后要多角度考虑问题。
六、创新思维
党和国家领导人十分重视创新能力的培育,江泽民同志曾指出:“我们必须把增强民族创新能力提高到关系中华民族兴衰存亡的高度来认识,教育在培育民族创新精神和培养创造性人才方面,肩负着特殊使命。”创新思维是多思维方法和逻辑模式的综合运用。创新的思维过程包含着直觉的洞察和灵感的迸发,想象的发挥与模式的构想,类比的跨接与思路的外推,归纳的概括与假设的试探,演绎的联结与溯因的沟通,分析的还原于综合的归纳。数学的创新思维意识可以指导我们进行高层次的数学思维活动,做到打破常规,标新立异,超越传统思维习惯的束缚,透视问题的表象,洞察问题的本质,从而创造性的解决问题。
七、一般思维
这里说的一般思维,就是一种常规的思路。这里简单介绍一下函数思维的培养。在解决数学问题的过程中,把变量之间的制约关系用函数关系反映出来,便形成了函数思想,函数思想是运动变化观点的升华。我们在研究量与量之间的关系时,常量与变量时相对的,是可以转化的,用函数的观点来考虑便是函数思想的体现。
【例题】(全国高考题)求(sin200)2+(cos500)2+sin200cos500的值
【分析】如果我们把sin200看成未知量,把cos500看成它的系数,那么整个式子就是可以看成是一个关于sin200的二次三项式,那么我们就很容易应用函数配方的方法解决问题。
原式=(sin200+cos500)2+(cos500)2
=[sin(500-300)+cos500]2+(cos500)2
=(sin500)2+(cos500)2=
八、直觉思维
直觉思维是指不受固定的逻辑规则约束,直接领悟事物本质的一种思维方式。在直觉思维过程中,学生以已知的知识为依据,对研究的问题提出合理的猜测和假设,含有一个飞跃的过程,往往表现为突然的认识和领悟。直觉思维广泛存在于实际的思维活动中,几乎每个人都有过依靠直觉“灵感”、“预感”解决问题的经历。直觉思维体现了对数学对象及研究进程的本质的整体的理解,直觉思维是促使数学家作出数学发现的重要因素,可以帮助我们开辟数学的道路。
【例题】求(sin200)2+(cos500)2+sin200cos500的值
【分析】欲求这个三角式的值,我们可以把这个式子看成一个整体,当成未知数x,即
x=(sin200)2+(cos500)2+sin200cos500(1)
那么,与这个式子最"亲密"的常数是什么呢?直觉告诉我们一个公式:
(sin?琢)2+(cos?琢)2=1
于是引进y=(cos200)2+(sin500)2+cos200sin500 (2)
(1)+(2)得x+y=2+sin700
(1)-(2)得x-y=--sin700∴x=
总之,本文对高中数学教学过程中常见的几种数学思维的总结和论述,目的就是为了给广大高中数学同仁提供一个借鉴,我相信每一位高中数学教师都有自己的总结和概括,我也是分希望与大家广泛交流经验。列夫?托尔斯泰曾说:“如果学生在学校里学习的结果是使自己什么也不会的话,那他的一生将永远是模仿和抄袭。”加强对高中学生数学思维的培养可以使学生们学会应对不同类型的数学问题,对于培养他们的解题能力,减轻他们的数学学习负担有重要作用。“从特殊意义上看,教学的功能是从对学习所需要的条件的描述中派生出来的。教学意味着安排存在于学生之外的条件。”加涅的论述对我们的高中数学教学有重要的启示意义,我相信这也是一个新的研究课题。