篇一：中考数学题型归纳——探究题
中考数学题型归纳——探究题
中考真题（2005-2014）
（2005·青岛）22、（本小题满分12分）
等腰三角形是我们熟悉的图形之一，下面介绍一种等分等腰三角形面积的方法：在 △ABC中，AB?AC，把底边BC分成m等份，连接顶点A
和底边各等分点的线段，即可把这个三角形的面积m等分．
问题的提出：任意给定一个正n边形，你能把它的面积m等分吗？
探究与发现：为了解决这个问题，我们先从简单问题入手：怎样从正
三角形的中心（正多边形的各对称轴的交点，又称为正多边形的中心）
C B 猜想与证明：怎样从正三角形的中心引线段，才能将这个正三角形的面积m等分？叙述你的分法并说明理由．
答：
拓展与延伸：怎样从正方形的中心引线段，才能将这个正方形的面积m等分？（叙述分法即可，不需说明理由） A D 答：
B C
（2006·青岛）23．（本小题满分 10 分）
我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透．
数形结合的基本思想，就是在研究问题的过程中，注意把数和形结合起来考察，斟酌问题的具体情形，把图形性质的问题转化为数量关系的问题，或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，化难为易，获得简便易行的成功方案．
例如，求1＋2＋3＋4＋?＋n的值，其中n是正整数．
对于这个求和问题，如果采用纯代数的方法（首尾两头加），问题虽然可以解决，但在求和过程中，需对n的奇偶性进行讨论．
现每行1）（要
（2007·青岛）23．（本小题满分10分）
提出问题：如图①，在四边形ABCD中，P是AD边上任意 一点，△PBC与△ABC和△DBC的面积之间有什么关系？
探究发现：为了解决这个问题，我们可以先从一些简单的、 特殊的情形入手： B1（1）当AP＝AD时（如图②）：
2
APD图①C
AD时，S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系式为： 6
_____________________________________________________；
1（4）一般地，当AP＝AD（n表示正整数）时，探求S△PBC与S△ABC和S△DBC之 n
间的关系，写出求解过程；
（3）当AP＝1
解：
篇二：中考数学探索性问题 综合题
探索性问题 综合题
【中考题特点】：
近年来全国各地中考试题中频频出现探索型问题，这类问题由于没有明确的结论，要求考生通过自己的观察、联想、分析、比较、归纳、概括来发现解题条件或结论或结论成立的条件，因而对考生的能力要求较高。具体来说有探索条件型——结论明确，需要探索发现使结论成立的条件的题目；探索结论型——给定条件，但无明确的结论或结论不惟一，而要探索发现与之相应的结论的题目；探索规律型——在一定的条件状态下，需探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的题目；探索存在型——在一定的条件下，需探索发现某种数学关系是否存在的题目。
Ⅰ、综合问题精讲：
探索性问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论，需要经过推断，补充并加以证明的题型．探索性问题一般有三种类型：（1）条件探索型问题；（2）结论探索型问题；
（3）探索存在型问题．条件探索型问题是指所给问题中结论明确，需要完备条件的题目；结论探索型问题是指题目中结论不确定，不唯一，或题目结论需要类比，引申推广，或题目给出特例，要通过归纳总结出一般结论；探索存在型问题是指在一定的前提下，需探索发现某种数学关系是否存在的题目．
探索型问题具有较强的综合性，因而解决此类问题用到了所学过的整个初中数学知识．经常用到的知识是：一元一次方程、平面直角坐标系、一次函数与二次函数解析式的求法（图象及其性质）、直角三角形的性质、四边形（特殊）的性质、相似三角形、解直 角三角形等．其中用几何图形的某些特殊性质：勾股定理、相似三角形对应线段成比例等来构造方程是解决问题的主要手段和途径．因此复习中既要重视基础知识的复习，又要加强变式训练和数学思想方法的研究，切实提高分析问题、解决问题的能力． Ⅱ、典型例题剖析
【例1】（2005，临沂）如图2－6－1，已知抛物线的顶点为
A(O，1)，矩形CDEF的顶点C、F在抛物线上，D、E在x轴
上，CF交y轴于点B(0，2)，且其面积为8．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)如图2－6－2，若P点为抛物线上不同于A的一点，
连结PB并延长交抛物线于点Q，过点P、Q分别作x轴的垂
线，垂足分别为S、R．
①求证：PB＝PS；
②判断△SBR的形状；
③试探索在线段SR上是否存在点M，使得以点P、S、M为顶点的三角形和以点Q、R、M为顶点的三角形相似，若存在，请找出M点的位置；若不存在，请说明理由． ⑴解：方法一：∵B点坐标为(0，2)，∴OB＝2，
∵矩形CDEF面积为8，∴CF=4.
∴C点坐标为(一2，2)．F点坐标为(2，2)。
设抛物线的解析式为y?ax2?bx?c．
其过三点A(0，1)，C(-2．2)，F(2，2)。
?1?x1?得?2?4a?2b?c 解得a?,b?0,c?1 4?2?4a?2b?c?
∴此抛物线的解析式为y?12x?1 4
方法二：∵B点坐标为(0，2)，∴OB＝2，
∵矩形CDEF面积为8， ∴CF=4.
∴C点坐标为(一2，2)。
根据题意可设抛物线解析式为y?ax2?c。
其过点A(0，1)和C(-2．2)
?1?c 解得a?1,c?1 ?4?2?4a?c
2此抛物线解析式为y?4x?1 1
(2)解：
①过点B作BN?BS，垂足为N．
∵P点在抛物线y=4x+l上．可设P点坐标为(a,1a2?1)．∴PS＝4a
42112?1，OB＝NS＝2，
BN＝a。∴PN=PS—NS=1a2?1 在RtPNB中． 4
12122222PN?BN?(a?1)?a?(a?1)2 PB＝4422∴PB＝PS＝4a?1 1
②根据①同理可知BQ＝QR。
∴?1??2，
又∵ ?1??3，
∴?2??3，
同理?SBP＝∠B
∴2?5?2?3?180?
∴?5??3?90?∴?SBR?90?.
∴ △SBR为直角三角形．
③方法一：设PS?b,QR?c，
∵由①知PS＝PB＝b．QR?QB?c，PQ?b?c。∴SR2?(b?c)2?(b?c)2
∴SR?M．且MS＝x，别MR
＝x 。若使△PSM∽△MRQ，
则有b
x2??bc?0
x∴x1?x2∴SR＝
∴M为SR的中点. 若使△PSM∽△QRM，
则有b?x?。
x
∴MRcQBRO。 ???1???MSbBPOS∴M点即为原点O。
?PSM∽ΔMRQ；?PSM∽?MRQ．综上所述，当点M为SR的中点时．当点M为原点时，
方法二：若以P、S、M为顶点的三角形与以Q、M、R为顶点三角形相似，
∵?PSM??MRQ?90?，
∴有?PSM∽?MRQ和?PSM∽△QRM两种情况。
当?PSM∽?MRQ时．?SPM＝?RMQ，?SMP＝?RQM．
由直角三角形两锐角互余性质．知?PMS+?QMR＝90°。∴?PMQ?90?。
取PQ中点为N．连结MN．则MN＝1PQ=1(QR?PS)．
22
∴MN为直角梯形SRQP的中位线,
∴点M为SR的中点当△PSM∽△QRM时，
RMQRQB??。又RM?RO，即M点与O点重合。∴点M为原点O。 MSPSBPMSOS
综上所述，当点M为SR的中点时，?PSM∽△MRQ；当点M为原点时，?PSM∽△QRM。
点拨：通过对图形的观察可以看出C、F是一对关于y轴的对称点，所以（1）的关
2键是求出其中一个点的坐标就可以应用三点式或 y=ax+c型即可．而对于点 P既然在
12抛物线上，所以就可以得到它的坐标为（a， a+1）．这样再过点B作BN⊥PS．得出4
的几何图形求出PB 、PS的大小．最后一问的关键是要找出△PSM与△MRQ相似的条件．
【例2】探究规律：如图2－6－4所示，已知：直线m∥n，A、B为直线n上两点，C、P为直线m上两点．
（1）请写出图2－6－4中，面积相等的各对三角形；
（2）如果A、B、C为三个定点，点P在m上移动，那么，无论P点移动到任何位置，总
有________与△ABC的面积相等．理由是：
_________________.
解决问题：如图 2－6－5所示，五边形 ABCDE是张大爷十年前承包的一块土地的示意图，经过多年开垦荒地，现已变成如图2－6－6所示的形状，但承包土地与开垦荒地的分界小路（2－6－6中折线CDE）还保留着；张大爷想过E点修一条直路，直路修好后，要保持直路左边的土地面积与承包时的一样多，右边的土地面积与开垦的荒地面积一样多．请你用有关的几何知识，按张大爷的要求设计出修路方案（不计分界小路与直路的占地面积）．
（1）写出设计方案．并画出相应的图形；
（2）说明方案设计理由．
解：探究规律：（l）△ABC和△ABP，△AOC和△ BOP、△CPA和△CPB．
（2）△ABP；因为平行线间的距离相等，所以无论点P在m上移动到任何位置，总有△ABP与△ABC同底等高，因此，它们的面积总相等．
解决问题：⑴画法如图2－6－7所示．
连接EC，过点D作DF∥EC，交CM于点F，连接EF，EF即为所求直路位置． ⑵设EF交CD于点H，由上面得到的结论可知：
SΔECF=SΔECD，SΔHCF=SΔEDH，所以S五边形ABCDE=S五边形ABCFE，S五边形EDCMN=S四边形EFMN． 点拨：本题是探索规律题，因此在做题时要从前边问题中总结出规律，后边的问题要用前边的结论去一做，所以要连接EC，过D作DF∥EC，再运用同底等高的三角形的面积相等．
【例3】（2005，成都模拟，12分）如图2－6－8所示，已知抛物线的顶点为M（2，－4），且过点A(－1,5)，连结AM交x轴于点B．
⑴求这条抛物线的解析式；
⑵求点 B的坐标；
⑶设点P（x，y）是抛物线在x轴下方、顶点 M左方一段上
的动点，连结 PO，以P为顶点、PQ为腰的等腰三角形的另一顶点
Q在x轴上，过Q作x轴的垂线交直线AM于点R，连结PR．设面 PQR
的面积为S．求S与x之间的函数解析式；
⑷在上述动点P（x，y）中，是否存在使SΔPQR=2
的点？若存
在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．
解：（1）因为抛物线的顶点为M（2，－4）
2所以可设抛物线的解析式为y=（x－2） －4．
因为这条抛物线过点A（－1，5）
2所以5=a(－1－2)－4．解得a=1．
2所以所求抛物线的解析式为y=（x—2） －4
（2）设直线AM的解析式为y=kx+ b．
因为A（－1，5）, M（2，－4）
所以???k?b?5， 2k?b??4?
解得 k=－3，b=2．
所以直线AM的
解析式为 y=3x＋2．
22当y=0时，得x= ，即AM与x轴的交点B（ ,0） 33
（3）显然，抛物线y=x－4x过原点(0，0〕
当动点P（x，y）使△POQ是以P为顶点、PO为腰且另一顶点Q在x轴上的等腰三角形时，由对称性有点 Q（2x，0）
因为动点P在x轴下方、顶点M左方，所以0＜x＜2．
21因为当点Q与B（ ，0）重合时，△PQR不存在，所以x≠， 33
1所以动点P（x，y）应满足条件为0＜x＜2且x≠， 3
因为QR与x轴垂直且与直线AM交于点R，
所以R点的坐标为（2x，－6x+2）
如图2－6－9所示，作P H⊥OR于H，
则PH=|xQ?xP|?|2x?x|?x,QR?|?6x?2|
11而S=△PQR的面积= QR·|?6x?2|x 22
下面分两种情形讨论：
1①当点Q在点B左方时，即0＜x＜ 时， 3
当R在 x轴上方，所以－6x＋2＞0．
12所以S= （－6x＋2）x=－3x+x； 2
1②当点Q在点B右方时，即＜x＜2时 3
点R在x轴下方，所以－6x＋2＜0．
2
篇三：2015年中考数学综合题几何图形探究
2015年中考数学综合复习（探索型）
1、两块等腰直角三角板△ABC和△DEC如图摆放，其中∠ACB =∠DCE =(转载自：www.dXf5.cOm 东星资源网:中考数学探究题) 90°，F是DE的中点，H是AE的中点，G是BD的中点．
（1）如图1，若点D、E分别在AC、BC的延长线上，通过观察和测量，猜想FH和FG的数量关系为_______ 和位置关系为_____ ；
（2）如图2，若将三角板△DEC绕着点C顺时针旋转至ACE在一条直线上时，其余条件均不变，则（1）中的猜想是否还成立，若成立，请证明，不成立请说明理由；
（2）如图3，将图1中的△DEC绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图3，（1）中的猜想还成立吗？直接写出结论，不用证明
.
2．（1）如图1，已知矩形ABCD中，点E是BC上的一动点，过点E作EF⊥BD于点F，EG⊥AC于点G，CH⊥BD于点H，试证明
CH=EF+EG;
(2) 若点E在ＢＣ的延长线上，如图2，过点E作EF⊥BD于点F，EG⊥AC的延长线于点G，CH⊥BD于点H， 则EF、EG、ＣH三者之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；.
(3) 如图3，BD是正方形ABCD的对角线,L在BD上，且BL=BC, 连结CL，点E是CL上任一点, EF⊥BD于点F，EG⊥BC于点G，猜想EF、EG、BD之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；
3. 在△ABC中，AC=BC，?ACB?90?，点D为AC的中点．
（1）如图1，E为线段DC上任意一点，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连结CF，过点F作FH?FC，交直线AB于点H．判断FH与FC的数量关系并加以证明．
（2）如图2，若E为线段DC的延长线上任意一点，（1）中的其他条件不变，你在（1）中得出的结论是否发生改变，直接写出你的结论，不必证明．
4、（1）如图1所示，在四边形ABCD中，AC=BD，AC与BD相交于点O，E、F分别是AD、BC的中点，联结EF，分别交AC、BD于点M、N，试判断△OMN的形状，并加以证明；
（2）如图2，在四边形ABCD中，若AB?CD，E、F分别是AD、BC的中点，联结FE并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N，请在图2中画图并观察，图中是否有相等的角，若有，请直接写出结论： ；
（3）如图3，在△ABC中，AC?AB，点D在AC上，AB?CD，E、F分别是AD、BC的中点，联结FE并延长，与BA的延长线交于点M，若?FEC?45?，判断点M与以AD为直径的圆的位置关系，并简要说明理由．
5. 已知△ABC中，AB＝AC＝3，∠BAC＝90°，点D为BC上一点，把一个足够大的直角三角板的直角顶点放在D处．
(1)如图①，若BD＝CD，将三角板绕点D逆时针旋转，两条直角边分别交AB、AC于点E、点F，求出重叠部分AEDF的面积(直接写出结果)．
(2)如图②，若BD＝CD，将三角板绕点D逆时针旋转，使一条直角边交AB于点E、另一条直角边交AB的延长线于点F，设AE＝x，重叠部分的面积为y，求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
(3)若BD＝2CD，将三角板绕点D逆时针旋转，使一条直角边交AC于点F、另一条直角边交射线AB于点E．
设CF＝x(x＞1)，重叠部分的面积为y，求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．