导数的工具性是每个“数学人”都十分清楚的，除了用它讨论函数的各种性质之外，它的另一重要应用就是证明不等式，看看近年高考试题，也许你会发现有多个省市都将与导数有关的不等式问题放在最后，作为压轴题或是拔高题出现，要想真正获得理想的分数，这个内容不上还真的不行，下面就用导数证明不等式的重要环节――函数的产生谈谈常见的五类情况，也许对你学习这块内容会有帮助
一、移项即可产生
例1 当?0x+x?33?
分析：这是一个特殊的不等式，用常规的方法无效，因此，我们试用导数来证
证明：设?f(x)=?tan?x－x+x?33?，则
?f′(x)=1??cos???2x－1－x?2=(?tan?x－x)(?tan?x+x)?
因为?00?，
即?x∈0,π2?时，?f(x)?为增函数，
于是?x∈0,π2?时，?f(x)>f(0)?，而?f(0)=0?，于是?f(x)>0?，
即??tan?x－x+x?33>0?，故??tan?x>x+x?33?
点评：本题的函数在构造上较为简单，只需要将其移项就产生了这是用导数证明不等式构造函数的重要方法之一，我们必须掌握
二、变形之后产生
例2 已知?i,m,n?是正整数，且?1?(1+n)??m?
分析：由??(1+m)??n>?(1+n)??m???n?ln?(1+m)>m?ln?(1+n)??ln?(1+m)m>?ln?(1+n)n?
解：设?f(x)?=??ln?(1+x)x(x≥2)?，则
?f′(x)=x1+x－?ln?(1+x)x?2?，
由?x≥2?，得?01?，
所以?f′(x)???ln?(1+n)n?，所以?n?ln?(1+m)>m?ln?(1+n)?，
即??(1+m)??n>?(1+n)??m?
点评：本题初看与导数无关，也无法构造函数但当我们对欲证不等式进行变形之后，让我们感觉到了函数??ln?(1+x)x?的存在，有了这个函数，一切都变得轻松、自然
三、转化途中产生
例3 设数列?x?n,y?n?满足?x?n=nn+1?，?y?n=n2n+1n+1?，试证：?1－x?n1+x?n1－2?ln?24?
分析：?f(x?2)?是什么？将?x?2?代入到?f(x)?中去以后，又多出了字母?a?，如何处理字母?a?呢？能不能用?x?2?表示出字母?a?？我们知道?f′(x?2)=0?，作出以下证明
证明：由于?f′x=2x+a1+x=2x?2+2x+a1+x(x>－1)?，
令?g(x)=2x?2+2x+a?，其对称轴为?x=－12?
由题意知?x?1、x?2?是方程?g(x)=0?的两个均大于?－1?的不相等的实根，那么?－10,
∴h(x)?在?－12,0?单调递增；
?∴当x∈－12,0时,hx>h－12=1－2?ln?24?，
故?fx?2=h(x?2)>1－2?ln?24?
点评：本题的难度很大，函数隐藏较深也许有的学生能产生?f(x?2)?的结果，也能顺利代换掉字母?a?，由于?f(x?2)?与想象中的函数不一致，最终前功尽弃
五、借助已知函数产生
例5 已知函数?f(x)=12x?2－ax+(a－1)?ln?x(a>1)?
求证：若?a－1?
分析：本题的式子很特别，从给出的式子中隐约感觉到要用导数进行证明，但如何构造函数呢？由于待证式子中既有?f(x)?又有?x?，是不是与?f(x)?及?x?有关联的式子呢？
证明：设函数 ?g(x)=f(x)+x??=12x?2－ax+(a－1)?ln?x+x?，
则?g′(x)=x－(a－1)+a－1x≥2x•a－1x－(a－1)=1－?(a－1－1)??2?，
由于?10?，即?g(x)?在(4，+∞)单调递增，
从而当?x?1>x?2>0?时，有?g(x?1)－g(x?2)>0?，即?f(x?1)－f(x?2)+x?1－x?2>0?，
故?f(x?1)－f(x?2)x?1－x?2>－1?，
当?0－1?
点评：本题的结构很简练，可以说“清脆透明”，一看就能理解题意，如何下手呢？从开始证明到结论产生，不过几行而已但对大多数考生来说，这几行字的书写并非是一件易事
通过上述几例可以看出：导数在证明不等式中的作用是非凡的，有些看似难以下手或结论十分特别的式子，通过利用导数都能顺利获解，因此，高考偏爱导数是正常的，将它放在压轴题的位置上也是应该的所以面对导数这块“硬骨头”，我们必须“啃”掉它
责任编辑 李婷婷