图形变换是一种丰富多彩的数学活动,也是新课标要求,新定义图形变换让我们在阅读理解新概念,探究解决新问题中领略图形变换的奥妙,学会创新学习的本领． 一、 定义相似变换
例1 在平面内先将一个多边形以点O为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为K，并且原多边形上的任一点P，它的对应点P’在线段OP或其反向延长线上；接着将所得多边形以点O为旋转中心，逆时针旋转一个角度θ，这种经过放缩和旋转的图形变换叫做旋转相似变换，记为O（K，θ），其中点O叫做旋转相似中心，K叫相似比，θ叫做旋转角．
（1） 填空：① 如图1，将△ABC以点A为旋转相似中心，放大为原来的2倍，再逆时针旋转60°，得到△ADE，这个旋转相似变换记为Ａ（,）；
图1 图2
② 如图２，△ABC是边长为１?cm的等边三角形，将它作旋转相似变换A（3，90°）得到△ADE，则线段BD的长为cm．
（2） 如图3，分别以锐角△ABC的三边AB、BC、CA为边向外作正方形ADEB、BFGC、CHIA，点O1、O2、O3分别是这三个正方形的对角线交点，试分别利用△AO1O3与△ABI，△CIB与△CAO2之间的关系，运用旋转相似变换的知识说明线段O1O3与AO2之间的关系（2007年南京市中考题）．
图3
解析：（1） 旋转相似变换的三要素为：旋转中心，相似比，旋转角．表示对应仿照点的坐标法遵规有序放置．因而①记为A（2，60°）．②由定义知，∠BAD=90°，AD=3，又AB=1，故BD长2?cm．
（2） 线段O1O3和AO2无直接关系，可根据新定义，经△ABI和△CIB置换．?△AO1O3经旋转相似变换A（2，45°）得△ABI，此时线段O1O3变为线段BI，△CIB经过旋转相似变换C（22，45°）得△CAO2，此时线段BI变为线段AO2，因此AO2=2?22O1O3=O1O3，又45°+45°=90°．所以O1O3=AO2，且O1O3⊥AO2 ．
二、 定义全等变换
图4
例2 阅读下面材料
如图4，以AB为轴，把△ABC翻折180°可以变换到△ABD的位置．
如图5，把△ABC沿直线AC平行移动，可以变换到△DEF的位置．
图5
如图6，以点C为中心，把△ABC旋转180°，可以变换到△DEF的位置．
图6
像这样，其中的一个三角形是另一个三角形经翻折、平移、旋转等方法变换成的，这种只改变位置，不改变形状大小的图形变换，叫三角形的全等变换．
必答以下问题：
（1） 如图7，把△ABC沿着AB的方向平行移动到△A′B′C′的位置时，他们重叠部分的面积是△A′B′C′面积的一半，若AB=2，求平移的距离．X
选答以下一个问题：
图7
（2） 如图8，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，把△ADE沿DE翻折，当点A落在四边形BCDE内部变为A′时，则∠A′与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找出这个规律．
（3）如图9，正方形ABCD内一点P，PA=1，PD=2，PC=3，如果将△PCD绕D点顺时针旋转90°，能较快求出∠APD的度数，试试看（2006年湖南省中考题）
图8图9
(4) 如图10，将两块全等的含30°角的三角尺如图(1)摆放在一起，它们的较短直角边长为3．
① 将△ECD沿直线BC向左平移到图(2)的位置，使E点落在AB上，则CC′=；
图10
② 将△ECD绕点C逆时针旋转到图(3)的位置，使点E落在AB上，则△ECD绕点C旋转的度数=；
③ 将△ECD沿直线AC翻折到图(4)的位置，ED′与AB相交于点F，求证AF=FD′．(2008年湖北省荆门市中考题)
解析：(1) 全等变换只改变位置，不改变形状和大小，因而把△ABC沿着AB的方向平移后△A′B′C′≌△ABC，A′BAB?2，由AB=2，知A′B=2，平移距离AA′为2-2．
（2） 翻折后△A′DE≌△ADE，∠DAE=∠DA′E，连接AA′，则
∠1=∠DAA′+∠DA′A，
∠2=∠EAA′+∠EA′A，故∠1+∠2=2∠A′．
（3）旋转后△P′DA≌△PDC，PD′=PD=2．连接PP′,由∠PDP′=90°，知∠P′PD=45°，PP′?2，因此AP?2+P′P?2=A′P?2，∠APP′=90°,∠APD=90°+45°=135°．
(4) ① CC′=3-3-3；②△ECD绕点C旋转的度数=30°；
③ 证明：在△AEF和△D′BF中，
∵AE=AC-EC, D′ B=D′ C-BC，又AC=D′ C,EC=BC，∴AE=D′ B．
又∠AEF=∠D′ BF=180°-60°=120°，∠A=∠CD′E=30°，
∴△AEF≌△D′ BF．∴AF=FD′．
三、 定义反演变换
例3 如图11，在给定了半径为r的圆O，对于任意点P，在射线OP上取一点P′使OP?OP′=r?2，这种把点P变为点P′的变换叫做反演变换，点P与点P′叫做互为反演变换点．
图11
图12
（1） 如图12，⊙O内外各一点A和B，它们的反演变换点分别为A′和B′，求证：∠A′=∠B
（2） 如果一个图形上各点经过反演变换得到的反演点组成另一个图形，那么这两个图形叫做互为反演图形．
① 选择：如果不经过点O的直线L与⊙O相交，那么它关于⊙O的反演图形是（）
A.一个圆B.一条直线
C.一条线段D.两条射线
② 填空：如果直线L与⊙O相切，那么它关于⊙O的反演图形是（），该图形与⊙O的位置关系是（）
解析：（1） 由反演变换的概念知，OA?OA′=OB?OB′=r2即OAOB′=OBOA′，又∠O公共，故△AOB∽△ B′ＯA′，∴∠A′=∠B
（2） 据反演图形定义知①要求图形为直线L上所有点的反演集合，因而它关于⊙O的反演图形是一个圆，选A
②类①知反演图形为一个圆，又切点的反演点在⊙O的切线上，切线L上其它点的反演点都在圆O内，故该圆与⊙O的位置关系为内切．
变换使图形充满魅力，新定义让变换奥妙益趣．阅读――理解――应用是解答新定义图形变换题的整体模式．
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文