随着新课程在江苏的施行，简单的线性规划也成了近几年高考的热点，地位也越发重要，在线性约束条件下研究目标函数的最值问题是一类常见的问题，在近几年高考试题中均有出现，而且灵活多变.本文结合近几年高考出现的几个线性规划问题，对常见的线型规划问题作以专题总结研究.
1． 基本问题
（1） （08年安徽理）如果实数x、y满足条件x-y+1≥0?y+1≥0?x+y+1≤0，那么2x-y的最大值为（）
A． 2
B． 1
C． -2
D． -3
解析：本题为较基本的线性规划问题，解决方式应该是：画定可行域；做目标函数对应平行线束；找到最大值，如图所示显然是平行线过A点时取最大值，将A点坐标代入有
Z??max?=1，故选择B
一般地，目标函数形如ax+by的形式的线性规划问题，可直接作出ax+by=0这样的函数进行平移求最值.
2． 考查可行域问题
(07北京卷)若不等式组x-y≥0?2x+y≤2?y≥0?x+y≤a表示的区域是一个三角形，则a的取值范围是.
解析：则图中的阴影为x-y≥0?2x+y≤2?y≥0所表示的三角行区域.
直线x+y≤a所表示的区域应该在此直线的下方.所以要使x-y≥0?2x+y≤2?y≥0?x+y≤a表示的平面区域为三角形a的取值为0＜a≤1或a≥43.
该类题型在高考中时有出现，实际上就是如何正确求出线性规划可行域的运用，也可以说是线性规划思想的运用.
3． 考查目标函数与距离的关系
（1） 已知点P（x，y）的坐标满足条件x+y≤4?y≥x?x≥1点O为坐标原点，那么z=x?2+y?2的最小值等于,最大值等于.
解析：画出可行域，如图所示：易得A（2，2），OA＝22 B（1，3），OB＝10
C（1，1），OC＝2 故|OP|的最大值为10，最小值为2.
本题约束条件是线性的，但目标函数却是非线性的，问题的解决
关键是能够很好的利用目标函数的几何特点，将求z=x?2+y?2
的最值问题转化为区域内的点到原点的距离问题，从而实现问题
的解决.解答这类与距离相关的线性规划问题，需要注意两点：
一是所求的最值可能是两点间的距离，也可能是点到直线的距离，
要结合所画的区域作出正确的判断；二是要明确最终所求的是距
离的最值还是距离平方的最值.
4． 考查最优解个数问题
（1） 已知变量x,y满足约束条件1≤x+y≤4,-2≤x-y≤2.若目标函数z=ax+y（其中a＞0）仅在点(3,1)处取得最大值，则a的取值范围为.
解析：本题是一个逆向思维问题，已知变量x,y满足约束条件1≤x+y≤4,-2≤x-y≤2.
在坐标系中画出可行域，如图为四边形ABCD，其中A(3,1)，k??AD?=1,k??AB?=-1,目标函数z=ax+y（其中a＞0）中的z表示斜率为-a的直线系中的截距的大小，若仅在点(3,1)处取得最大值，则斜率应小于k??AB?=-1，即-a＜-1，所以a的取值范围为(1，+∞)由解决问题的过程可见，本题的难度加大了，学生需要要良好逆向思维能力，问题转化能力和几何直观能力.
练习：
1． 在平面直角坐标系中，不等式组x+y-2≥0,?x-y+2≥0,?x≤2表示的平面区域的面积是.
解：本题考查简单的线性规划的可行域、三角形的面积.由题知可行域为△ABC，S??△ABC?=｜4-0｜×22=4.
2． 设实数x, y满足x-y-2≤0?x+2y-4≥0?2y-3≤0,则yx的最大值是.
解析：求yx的最大值问题可转化为区域内的点和原点的连线的斜率的最大值，画出可行域，如图所示，当原点和C1,32连线时，斜率最大，为32，由此说明yx的最大值为32.
总结：以上两题说明，在给定约束条件情况下，要利用好目标函数的几何意义，可以使我们能够站在系统的高度，把握问题的规律，有效地实现问题解决，而且有助于加深学生对数学知识的理解和深化.
3． 若a≥0,b≥0且当x≥0?y≥0?x+y≤1时,恒有ax+?by≤1,?则以a,b为坐标的点P(a,b)所形成的平面区域的面积等于.
方法(1) 变换思想:x′=ax?y′=by,区域x≥0?y≥0?x+y≤1变换为区域x′≥0?y′≥0?x′a+y′b≤1时 ,恒有x′+y′≤1成立,得到?0≤a≤?1,0≤b≤1则点P(a,b)所形成的平面区域的面积等于1.
方法(2)：多元化归一元思想：由x+y≤1得到?y≤1?-x则ax+b(1-x)≤1.
对于任意的x∈［0,1］恒成立即ax+b(1-x)-?1≤0对?于任意的x∈［0,1］恒成立，令f(x)=(a-b)x+b-1则f(0)≤0?f(1)≤0得到则点P(a,b)所形成的平面区域的面积为1.
（责任编辑：孙鹏刚）?