分类谈论是高中数学非常重要的一种方法. 而解含参的一元二次不等式ax?2＋bx＋c＞0(a∈R)，必须对参数进行分类讨论，讨论时要保证参数的取值不重不漏.为达此目的，可把讨论对象逐级讨论，逐步解决.
可分为三级
第一级级讨论：二次项系数a，一般分为a＞0,a=0,a＜0进行讨论；
第二级讨论：方程根的判别式△，一般分为△＞0,△=0,△＜0进行讨论；
第三级讨论：对应方程两根大小.若x?1,x?2是方程x?2＋bx＋c=0的两根，一般分为x?1＞x?2,x?1=x?2,x?1＜x?2进行讨论.
若某级已确定，可直接进入下一级讨论.
例1 解关于x的不等式：a?2x?2-ax-2＞0(其中实数a为常数)
分析：二次项系数含参数，从二次项系数开始讨论.
解：（1） 当a=0时，原不等式化为-2>0,显然不成立，因此不等式的解集为?；
（2） 当a≠0时，a?2＞0，由a?2x?2-ax-2=(ax+1)(ax-2)
得方程a?2x?2-ax-2=0的两根为：x?1=2a,x?2=-1a.
所以，当a>0时，原不等式的解集为x?x＜-1a或x＞2a；
当a＜0时，原不等式的解集为x?x＜2a或x＞-1a；
综上可知，当a=0时，原不等式的解集为?；
当a>0时，原不等式的解集为x?x＜-1a或x＞2a；
当a＜0时，原不等式的解集为x?x＜2a或x＞-1a；
例2 解关于的不等式：x?2＋ax＋4＞0(a∈R).
分析：二次项系数不含参数，可直接从△入手.
解：△=a?2－16.
(1) 当△＞0，即a＞4或a＜－4时，方程x?2＋x＋4=0两根分别为-a-a?2-162、-a+a?2-162,且-a-a?2-162＜-a+a?2-162,∴不等式解集为x|x＜-a-a?2-162，或x＞-a+a?2-162；
(?) 当△=0，即a=±4时，不等式为（x±2）?2＞0,不等式解集为x∈R|x≠－a2；
(?) 当△＜0，即－4＜a＜4时，不等式解集为R.
综上知，当a＜－4或a＞4时，原不等式解集为x|x＜-a-a?2-162或x＞-a+a?2-162；当a=±4时，原不等式解集为x∈R|x≠－a2；当－4＜a＜4时，原不等式解集为R.
例3 解关于x的不等式：ax?2－(a＋1)x＋1＜0(a∈R).
分析：原不等式可化为（ax－1）(x－1)＜0,可知对应方程的两根必存在，只需对二次项系数a和对应方程两根大小进行讨论.
解：原不等式等价于（ax－1）(x－1)＜0.
（Ⅰ） 当a=0时，不等式为－x＋1＜0，解集为{x|x＞1}；
（Ⅱ） 当a＞0时，方程（ax－1）(x－1)=0的两根为1a、1.
(?) 当0＜1a＜1,即a＞1时，解集为x|1a＜x＜1；
(?) 当1a=1，即a=1时，解集为?；
(?) 当1a＞1，即0＜a＜1时，解集为x|1＜x＜1a.
(Ⅲ) 当a＜0时，不等式为(－ax＋1)(x－1)＞0，解集为x|x＞1,或x＜1a.
综上：当a＜0时，原不等式解集为x|x＞1,或x＜1a；
当a=0时，原不等式解集为{x|x＞1}；
当0＜a＜1时，原不等式解集为x|1＜x＜1a；
当a=1时，原不等式解集为?；当＞1时，原不等式解集为x|1a＜x＜1.?
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4. （2009重庆卷理）已知双曲线x?2a?2-y?2b?2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F?1(-c,0),F?2(c,0)，若双曲线上存在一点P使?sin?PF?1F?2?sin?PF?2F?1=ac，则该双曲线的离心率的取值范围是 ．
变式：把条件改为点P在双曲线左支上，P到左准线的距离记作d,若d,PF?1,PF?2成等比数列，则该双曲线的离心率的取值范围是 ．
链接练习参考答案
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